广州执信、广雅、六中2014届高三三校9月联考(理数)


广州执信、广雅、六中 2014 届高三三校 9 月联考数学(理)
2 一、1.已知全集 U ? R ,集合 A ? x | x ? 1, x ? Z , B ? x | x ? 2 x ? 0

?

?

?

? ,则图中的阴影

部分表示的集合为( A.

) B.

?? 1?
2

?2?

C. ? 1,2?

D. ?0,2?
(第 1 题图)

2. 复数 z ?

(1 ? i ) (i 是虚数单位)的共扼复数是( 1? i
B. ? 1 ? i C. 1 ? i

) D. ? 1 ? i )

A. 1 ? i

3. 等差数列{an}中, “a1<a3”是“an<an+1”的 ( A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

2 4. 已知 ? ~ N (3, ? ) ,若 P(? ? 2) ? 0.2 ,则 P(? ? 4)等于(

A. 0.2

B. 0.3

C. 0.7

D. 0.8

5. 若某程序框图如右图所示,则该程序运行后输出的 B 等于 ( ) A.63 B. 31 C.127 D .15 6. 已知圆 C: ( x ? a ) ? ( y ? b) ? r 的圆心为抛物线 y ? 4 x 的焦
2 2 2 2

点,直线 3x+4y+2=0 与圆 C 相切,则该圆的方程为( A. ( x ? 1) 2 ? y 2 ?
2 2

)

64 25

B. x 2 ? ( y ? 1) 2 ?
2 2

64 25

C. ( x ? 1) ? y ? 1 7.将函数 y=2cos2x 的图象向右平移 到原来的

D. x ? ( y ? 1) ? 1

?
2

个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短 ) D.y=-2cos4x

1 倍(纵坐标不变) ,得到的函数解析式为( 2
B.y=-2cosx

A.y=cos2x

C.y=-2sin4x

8. 函数 f ( x) 的定义域为 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 则称函数 f ( x) 在 D 上为非减函数,设函数 f ( x) 在[0,1]上为非减函数,且满足以下三 个条件: ① f (0) ? 0 ; ② f? ??

? x? ?3?

1 f ( x); 2

③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) 。

则 f (1) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f ( ) 等于(
1

1 2

1 3

1 6

1 7

1 8

)

[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

A.

11 4

B.

21 8

C.

5 2

D.无法确定

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 10.某小学对学生的身高进行抽样调查,如图,是将他们的身高(单位:厘米)数据绘制的 频率分布直方图.若要从身高在[120,130) , [130,140) , [140,150]三组内的学生中, 用分层抽样的方法选取 18 人, 则从身高在 [140, 150] 内的学生中选取的人数应为 .

? x ? y ? 5 ? 0, ? 11. 已知实数 x, y满足 ? x ? 3, 则 z ? 2 x ? 4 y 的最 小值为_____ ? x ? y ? 0, ?
6 ? 2 ? ? 2 1 ? , 2 ? 上恒成立,则 12.设 f ? x ? 是 ? x ? ? 展开式的中间项,若 f ? x ? ? mx 在区间 ? 2x ? ? ? 2 ?

实数 m 的取值范围是______ 13. 将含有 3n 个正整数的集合 M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合 A、B、C,其中 A = {a1 , a2 ,?, an } , B = {b1 , b2 ,?, bn } , C = {c1 , c2 ,?, cn } ,若 A、B、 C 中的元素满足条件:c1 < c2 < ? < cn , ak + bk = ck , k = 1,2,…, n ,则称 M 为“完 并集合”. (1)若 M = {1, x,3,4,5,6} 为“完并集合”,则 x 的一个可能值为 .(写出一个即

可) (2)对于“完并集合” M = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} ,在所有符合条件的集合 C 中, 其元素乘积最小的集合是 . 第 14、15 题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。 14. (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴 为极轴建立极坐标系.曲线 C1 的参数方程为 ?

? ? x? t ( t 为参数),曲线 C2 的极坐标 ? ? y ? t ?1

方程为 ? sin ? ? ? cos ? ? 3 ,则 C1 与 C2 交点在直角坐标系中的坐标为 ____。 15. (几何证明选做题)在△ ABC 中, D 是边 AC 的中点,点 E 在线段 BD 上,且满足

1 BF BE ? BD ,延长 AE 交 BC 于点 F ,则 的值为_____. 3 FC

三、解答题:16. 已知函数 f ( x) ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? 3cos 2 x , x ? R .求:
2

(I) 求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (II) 求函数 f ( x) 在区间 [?

? ?

, ] 上的值域. (本题满分 12 分) 6 3

17.在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投 6 个球,至少投进 4 个球且最后 2 个球 都投进者获奖;否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2 . 3

(Ⅰ)记教师甲在每场的 6 次投球中投进球的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望; (Ⅱ)求教师甲在一场比赛中获奖的概率. (本题满分 12 分)

3

18. 如 图 , 四 棱 柱 A B C ?D A1 B1C1 D1 的 底 面 ABCD 是 平 行 四 边 形 , 且

AB ? 1 , BC ? 2 , ?ABC ? 60 0 , E 为 BC 的中点, AA1 ? 平面 ABCD .
(Ⅰ)证明:平面 A1 AE ? 平面 A1 DE ; (Ⅱ)若 DE ? A1 E ,试求异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角 C -A1D-E 的余弦值. (本题满分 14 分)

A1 B1 C1

D1

A B E
C

D

19.已知数列 ? an ? 前 n 项和为 Sn , 首项为a1 , 且 ,an , Sn 成等差数列.(I)求数列 ? an ? 的通 项公式; (II)数列满足 bn ? (log2
a2 n ?1

1 2

) ? (log2 a2 n ?3 ) ,求证:

1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? b1 b2 b3 bn 2

4

20. 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的两个焦点 F1 , F2 和上下两个顶点 B1 , B2 是一个边 a 2 b2
?

长为 2 且∠F1B1F2 为 60 的菱形的四个顶点.(1)求椭圆 C 的方程; (2)过右焦点 F2 ,斜率为 k ( k ? 0 )的直线 l 与椭圆 C 相交于 E , F 两点,A 为椭圆的右 顶点, 直线 AE ,AF 分别交直线 x ? 3 于点 M , N , 线段 MN 的中点为 P , 记直线 PF2 的 斜率为 k ? .求证: k ? k ? 为定值. (本题满分 14 分)

21、已知函数 f ( x) = 2ln x - x 2 - ax .

(Ⅰ)当 a ? 3 时,讨论函数 y = f ( x) 在[ , ? ?)
,

1 2

上的单调性; (Ⅱ)如果 x1 , x2 ( x1 < x2 ) 是函数 f ( x) 的两个零点, f ( x) 为函数 f ( x) 的导 数,证明: f (
,

x1 ? 2 x 2 (本题满分 14 分) ) ? 0。 3

5

理科数学答案
一、选择题:1. B 二、9 、 2. B 3. C 11、 -6 4. D 5. A 6. C 7. D 8. A ( 2)

? 6

10、 3

12 、 ?5, ?? ? 15、

13 、 ( 1) 7,9,11 中任一个

{6,10,11,12}

14、 (2,5)

三、16、 【解】(I): f ( x) ?

1 ? cos 2 x 3(1 ? cos 2 x) ? 3 sin 2 x ? 2 2

1 4

? 2 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x
= 2 ? 2( 2 sin 2 x ? 2 cos 2 x )

3

1

? 2sin(2 x ? ) ? 2 6

?

????4 分

∴函数 f ( x) 的最小正周期 T ? ∵?

?
2

? 2k? ? 2 x ?

?
6

2? ? ? , ????6 分 2

? 2k? ?

?

∴ f ( x) 的单调递增区间为 [k? ?

?

2

, k ? Z 时 f ( x) 为单调递增函数

, k? ? ], k ? Z 3 6

?

????8 分

(II)解:由题意得: ?

? ? 5? ? ? ? x ? ∴ 2 x ? ? [? , ] , 6 6 6 6 3
????10 分

∴ sin(2 x ?

?

1 ) ? [? ,1] ,∴ f ( x) ?[1, 4] 6 2

∴ f ( x) 值域为 [1, 4] ????12 分 17、解:(Ⅰ)X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5,6. 依条件可知 X~B(6,

2 ). 3
k 6?k

? 2? ?1? P( X ? k ) ? C ? ? ? ? ? ? ? 3? ?3?
k 6

( k ? 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ) ????3 分

X 的分布列为: X P ????6 分 0 1 2 3 4 5 6

1 729

12 729

60 729

160 729

240 729

192 729

64 729

6

1 2916 (0 ?1 ? 1?12 ? 2 ? 60 ? 3 ?160 ? 4 ? 240 ? 5 ?192 ? 6 ? 64) = ?4. 729 729 2 2 或因为 X~B(6, ),所以 EX ? 6 ? ? 4 . 即 X 的数学期望为 4 ????7 分 3 3 EX ?
(Ⅱ)设教师甲在一场比赛中获奖为事件 A,

2 2 32 . ???? 11 分 3 3 81 32 答:教师甲在一场比赛中获奖的概率为 . ????12 分 81 1 18、解(Ⅰ)依题意, BE ? EC ? BC ? AB ? CD 2
2 1 则 P ( A) ? C4 ? ( ) 2 ? ( ) 4 ? C4 ? ? ( )5 ? ( ) 6 ?

1 3

2 3

1 3

所以 ?ABE 是正三角形, ?AEB ? 60 又 ?CED ?

0

1 ? (180 0 ? 120 0 ) ? 30 0 2
0

所以 ?AED ? 90 , DE ? AE

????2 分

因为 AA1 ? 平面 ABCD , DE ? 平面 ABCD ,所以 AA1 ? DE ????3 分 因为 AA1 ? AE ? A ,所以 DE ? 平面 A1 AE ????4 分 ????5 分

因为 DE ? 平面 A1 DE ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)取 BB1 的中点 F ,连接 EF 、 AF

,连接 B1C ,则 EF // B1C // A1 D

所以 ?AEF 是异面直线 AE 与 A1 D 所成的角 ????7 分 因为 DE ? 所以 A1 A ?

3 , A1 E ?
2 , BF ?

A1 A 2 ? AE 2 ,

2 , AF ? EF ? 2

1 6 ?1 ? 2 2
????9 分

所以 cos ?AEF ?

AE 2 ? EF 2 ? AF 2 6 ? 2 ? AE ? EF 6

(Ⅱ)解法 2:以 A 为原点,过 A 且垂直于 BC 的直线为 x 轴, AD 所在直线为 y 轴、 AA1 所在直线为 z 建立右手系空间直角坐标系 设 AA1 ? a ( a ? 0 ), A(0 , 0 , 0) 则 D(0 , 2 , 0) A1 (0 , 0 , a) E (

3 1 , , 0) 2 2

(Ⅰ)设平面 A1 AE 的一个法向量为 n1 ? (m , n , p) ,
7

? 3 1 m? n ?0 ?n1 ? AE ? 则? 2 2 ?n ? AA ? ap ? 0 1 ? 1
p ? 0 ,取 m ? 1 ,则 n ? ? 3 ,从而 n1 ? (1 , ? 3 , 0) ,
同理可得平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 ,

2 ), a

直接计算知 n1 ? n2 ? 0 ,所以平面 A1 AE ? 平面 A1 DE (Ⅱ)由 DE ? A1 E 即 ( 解得 a ?

3 2 1 3 1 ) ? (2 ? ) 2 ? 0 ? ( ) 2 ? ( ) 2 ? a 2 2 2 2 2

2
3 1 , , 0) , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 2 2

AE ? (

所以异面直线 AE 与 A1 D 所成角的余弦值

cos? ?

| AE ? A1 D | | AE | ? | A1 D |

?

6 6

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 A1 A ? 又 CD = ? -

?? ? 2 ,平面 A1 DE 的一个法向量为 n2 ? ( 3 , 1 ,

2)

??? ??? ? ? 3 1 ? , ,0 D , A1 D ? (0 , 2 , ? 2 ) 设 平 面 C A 的 法 向 量 n3 = ? x, y , z ?则 ? 1 ? 2 2 ? ? ? ???? ? ?? ? ?? ? ? A D ? n ? 1 3 =0 ????11 分 ? ?? ? 得 n3 = 1, 3, 6 ? ??? CD ? n =0 ? 3 ?

?

?

设二面角 C -A1D-E 的平面角为 ? ,且 ? 为锐角

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n2 ? n3 4 3 2 5 = 则 cos ? = cos n2 ,n3 = ?? ????13 分 ? ?? ? = 5 10 ? 6 n2 n3
2 5 5

所以二面角 C -A1D-E 的余弦值为

????14 分

19、(1)? ,an , Sn 成等差数列,∴ 2an ? Sn ?

1 2

1 ????1 分 2

8

1 1 当n ? 1时, 2a1 ? a1 ? ,? a1 ? ????2 分 2 2
当 n ? 2时,sn ? 2an ?

1 1 ; sn ?1 ? 2an ?1 ? , 2 2
an ? 2 ????5 分 an ?1

两式相减得: an ? sn ? sn ?1 ? 2an ? 2an ?1 ,? 所以数列 ?a n ? 是首项为 (2) bn ? log 2
a2 n ?1

1 n ?1 n ?2 ,公比为 2 的等比数列, an ? a1 ? 2 ? 2 ????7 分 2
2 n ?1? 2

? log 2 a2 n ?3 ? log 2 2

? log 2 2

2 n ? 3? 2

? (2n ? 1)(2n ? 1) ????9 分

1 1 1 1 1 1 ? ? ? ( ? ) ????11 分 bn 2n ? 1 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ( [ 1 ? )( + - ) +? +( ? )] b1 b2 b3 bn 2 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1

=

1 1 1 (1 ? ) ? ????14 分 2 2n ? 1 2
????2 分

20、解: (1)由条件知 a =2,b= 3 ,

故所求椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . ????4 分 4 3

(2)设过点 P(1,0)的直线 l 方程为: y ? k ( x ? 1) ,设点 E(x1,y1),点 F(x2,y2),

x2 y2 将直线 l 方程 y ? k ( x ? 1) 代入椭圆 C: ? ? 1, 4 3
整理得: (4k ? 3) x ? 8k x ? 4k ? 12 ? 0 ,????6 分
2 2 2 2

因 为 点 P 在 椭 圆 内 , 所 以 直 线 l 和 椭 圆 都 相 交 , ??0 恒 成 立 , 且

x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x2 ?

4k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

????8 分

直线 AE 的方程为:y ?

y1 y2 ( x ? 2) , ( x ? 2) , 直线 AF 的方程为:y ? 令 x=3, x1 ? 2 x2 ? 2

得点 M (3,

y2 y1 y 1 y ) , N (3, 2 ) ,所以点 P 的坐标 (3, ( 1 ? )) . ???9 分 x1 ? 2 x2 ? 2 2 x1 ? 2 x2 ? 2

9

y2 1 y1 ( ? )?0 2 x1 ? 2 x 2 ? 2 y2 1 y / ? ( 1 ? ) 直线 PF2 的斜率为 k ? 3 ?1 4 x1 ? 2 x 2 ? 2
? 1 y2 x1 ? x2 y1 ? 2( y1 ? y2 ) 1 2kx1 x2 ? 3k ( x1 ? x2 ) ? 4k .????11 分 ? ? ? 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 4 x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4

将 x1 ? x 2 ?

8k 2 , 4k 2 ? 3

x1 x2 ?

4k 2 ? 12 代入上式得: 4k 2 ? 3

4k 2 ? 12 8k 2 2k ? ? 3k ? 2 ? 4k 1 3 4k 2 ? 3 4k ? 3 . k/ ? ? ?? 2 2 4k ? 12 8k 4 4k ? 2? 2 ?4 4k 2 ? 3 4k ? 3 3 所以 k ? k ? 为定值 ? . ????14 分 4
21、解: (Ⅰ) f ? ( x) =

2 - 2 x - a , ????1 分 x

1 易知 f ? ????2 分 ( x) 在 [ , + ) 上单调递减, 2 1 1 ∴当 x ? [ , ) 时, f ? ( x) ? f / ( ) 3 - a .??????3 分 2 2 1 当 a ? 3 时, f ? ( x) ? 0 在 [ , + ) 上恒成立. 2 1 ∴当 a ? 3 时,函数 y = f ( x) 在 [ , + ) 上单调递减.????5 分 2 (Ⅱ)∵ x1 , x2 ( x1 < x2 ) 是函数 f ( x) 的两个零点,
f ( x1 ) = 2ln x1 - x12 - ax1 = 0 f ( x2 ) = 2ln x2 - x2 - ax2 = 0 由(2)—(1)得:
2

?????(1) ?????(2)???6 分

x2 2 - ( x2 - x12 ) - a( x2 - x1 ) = 0 ? a x1 2 ∵ f? ( x) = - 2 x - a ,所以: x x1 + 2 x2 x + 2 x2 2 6 2 f? ( )= - 2( 1 )- a = - ( x1 + 2 x2 ) - a , x1 + 2 x2 3 3 x1 + 2 x2 3 3 x - 2ln 2 x + 2 x2 x1 6 1 将 a 代入化简得: f ? ( 1 )= + - ( x2 - x1 ) ???9 分 3 x2 - x1 x1 + 2 x2 3 x - 2ln 2 x1 6 1 因为 - ( x2 - x1 ) < 0 ,故只要研究 的符号 + x x x + 2 x2 3 2 1 1 2ln

x2 x1 - ( x2 + x1 ) ???8 分 x2 - x1 2ln

10

x2 x 3( 2 - 1) 6 - 2 x x1 x1 + = [ln 2 ] ????10 分 x2 - x1 x1 + 2 x2 x2 - x1 x1 2 ? x2 1 x1 x 3( 2 - 1) x - 2 x - 2 3(t - 1) x1 令 2 = t ,则 t > 1 ,且 [ln 2 ]= [ln t ], x1 x2 - x1 x1 2 ? x2 1 x2 - x1 2t + 1 x1 3(t - 1) 令 j (t ) = ln t ( t > 1) ,???????????????????12 分 2t + 1 1 9 (t - 1)(4t - 1) 所以: j ? , (t ) = = 2 t (2t + 1) t (2t + 1)2 当 t ? 1 时, j ? (t ) ? 0恒 成 立, 所以 j (t ) 在 [1, + ) 上 单调 递增 ,所 以当 t > 1 时, - 2ln
,所以 h( x) < 0 ,又 j (t ) > j (1)= 0

1 ( x2 - x1 ) < 0 , 3

- 2ln


x2 x1 x + 2 x2 6 1 + - ( x2 - x1 ) < 0 ,所以 f ? ( 1 ) < 0 .?????14 分 x2 - x1 x1 + 2 x2 3 3

11


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