数学:2[1].3《数学归纳法》PPT课件(新人教A版-选修2-2)_图文

2.3 数学归纳法

教学目标:了解数学归纳法的原理,能用数 学归纳法证明一些简单的数学命题 教学重点:借助具体实例了解数学归纳法的基本 思想,掌握它的基本步骤,运用它证 明一些与正整数n有关的数学命题 教学难点:了解数学归纳法的原理,具体表现在 不了解第二步的作用

数学推理中,常用的方法是演绎法和归纳 法,归纳推理又可以分为完全归纳法和不完全 归纳法。完全归纳法所得结论是可靠的,因为 它考察了问题所涉及的所有对象;不完全归纳 法得出的结论不一定可靠,因为它只考察了部 分对象。数学问题中,有一类问题是与自然数 有关的命题,因为自然数有无限多个,不可能 对所有自然数一一验证,用完全归纳是不可能 的,由于对部分自然数进行验证得到的结论是 不一定可靠的,因此需要研究一种新的方法---数学归纳法

一、归纳法 对于某类事物, 对于某类事物,由它的一些特殊事例或其全部可 能情况,归纳出一般结论的推理方法,叫归纳法。 能情况,归纳出一般结论的推理方法,叫归纳法。
完全归纳法

归纳法
不完全归纳法 特点: 由特殊 特点 a2=a1+d a3=a1+2d a4=a1+3d
……

一般 an=a1+(n-1)d 不完全归纳法

如何证明:1+3+5+…+(2n-1)=n2 如何证明

(n∈N*) ∈

多米诺骨牌游戏:码放骨牌的游戏,码放 多米诺骨牌游戏:码放骨牌的游戏, 时保证任意相邻的两块骨牌, 时保证任意相邻的两块骨牌,若前一块 骨牌倒下, 骨牌倒下,则一定导致后一块骨牌也倒 只要推倒第一块骨牌, 下,只要推倒第一块骨牌,由于第一块 骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下; 骨牌倒下,就可导致第二块骨牌倒下; 而第二块骨牌倒下就可导致第三块骨牌 倒下……最后,不论有多少块骨牌, ……最后 倒下……最后,不论有多少块骨牌,都 能全部倒下 思考:能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么? 思考:能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?

(1)第一块骨牌倒下 (1)第一块骨牌倒下 (2)任意相邻的两块骨牌,前一块倒下一定导致 2)任意相邻的两块骨牌, 任意相邻的两块骨牌 后一块倒下

二 数学归纳法的概念
证明某些与正整数n有关的命题,可用下列步骤来进行: 证明某些与正整数n有关的命题,可用下列步骤来进行: (1)(归纳奠基)验证当n取第一个值n 例如n =1)时 (1)(归纳奠基)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时 命题成立, 命题成立, (2)(归纳递推)假设n=k( n=k(k 时命题成立, (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N* )时命题成立, 证明当n=k+1 n=k+1时命题也成立 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所有 完成这两步,就可以断定这个命题对从n 正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 验证n=n 验证n=n0时命 题成立
归纳奠基

若当n=k(k 时命题成立, 若当n=k(k≥n0 )时命题成立, n=k( 证明当n=k+1 n=k+1时命题也成立 证明当n=k+1时命题也成立
归纳递推

命题对从n 命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。 有正整数n都成立。

等差数列,公差为d 求证: 例1:已知数列为{an}等差数列,公差为d,求证:通 项公式为 an = a1 +(n - 1)d
练 习 : 已 知 数 列 {a ( 提 示 : a = qa )
n

}为 等 比 数 列 ,
n

公 比 为 q ,求 证 : 通 项 公 式 为 a
n n -1

= a 1q

n -1

注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个步 用数学归纳法进行证明时, 两个步骤缺一不可. 骤,两个步骤缺一不可. 2. (1)(归纳奠基)是递推的基础. (1)(归纳奠基 是递推的基础. 归纳奠基) 找准n 找准n0 (2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n= k时 命题成立.作为必用的条件运用, 命题成立.作为必用的条件运用,而n=k+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式、 定理等加以证明

用数学归纳法证明1+3+5+ 1+3+5+……+(2n-1)=n2 (n∈N ). +(2n例2 用数学归纳法证明1+3+5+ +(2n 证明:(1)当n=1时 左边=1 右边=1 等式成立。 =1, =1, 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立。 :(1) 假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立 时等式成立, (2) 假设n=k(k∈N ,k≥1)时等式成立,即: 1+3+5+……+(2k-1)=k2, +(2k1+3+5+ +(2k n=k+1时 当n=k+1时: 1+3+5+……+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2, +(2k1+3+5+ +(2k 1)+[2(k+1)所以当n=k+1时等式也成立。 n=k+1时等式也成立 所以当n=k+1时等式也成立。 (1)和(2)可知 可知, 原等式都成立。 由(1)和(2)可知,对n∈N ,原等式都成立。

例3:用数学归纳法证明 3:用数学归纳法证明

n(n +1)(2n +1) 1 + 2 + 3 +L+ n = 6
2 2 2 2

求证: n+1)(n+2)…(n+n)=2 (2n例、求证:(n+1)(n+2) (n+n)=2n? 1? 3?… ?(2n-1) (2n
证明: n=1时 左边=1+1=2 右边=2 1=2 左边=右边, =1+1=2, 1=2, 证明:① n=1时:左边=1+1=2,右边=21?1=2,左边=右边,等 式成立。 式成立。 时有: ② 假设当n=k((k∈N )时有: 假设当n=k((k∈N (k+1)(k+2)…(k+k)=2 (2n(k+1)(k+2) (k+k)=2k? 1? 3?…? (2n-1), n=k+1时 当n=k+1时: 左边=(k+2)(k+3) =(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2) 左边=(k+2)(k+3) (k+k)(k+k+1)(k+k+2)
(2k+1)(2k+2) =(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k) (k+k)? =(k+1)(k+2)(k+3) (k+k) k+1

(2k= 2k? 1? 3?…?(2k-1)(2k+1) 2 (2k 1)(2k+1)?2 (2k[2(k+1)右边, = 2k+1?1? 3?…? (2k-1) ?[2(k+1)-1]=右边, 1 [2(k+1) 1]=右边 n=k+1时等式也成立 时等式也成立。 ∴当n=k+1时等式也成立。 可知,对一切n∈N ,原等式均成立 原等式均成立。 由 ①、②可知,对一切n∈N ,原等式均成立。

第二课时

证明某些与自然数有关的数学题, 证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法 来证明它们的正确性: 来证明它们的正确性: (1)验证当 取第一个值n 例如n =1)时命题成立 验证当n 时命题成立, (1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立, (2)假设当n=k(k∈ 假设当n=k(k 时命题成立, (2)假设当n=k(k∈N* ,k≥n0 )时命题成立, 证明当n=k+1 n=k+1时命题也成立 证明当n=k+1时命题也成立 完成这两步,就可以断定这个命题对从n 完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。 用数学归纳法进行证明时, 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. (1)(归纳奠基 是递推的基础. 归纳奠基) 找准n 找准n0 (2)(归纳递推) (2)(归纳递推)是递推的依据 归纳递推 n= k时 命题成立.作为必用的条件,而n=k+1时情 命题成立.作为必用的条件, k+1时情 况则有待利用假设及已知的定义、公式、 况则有待利用假设及已知的定义、公式、定 理等加以证明

回顾

1 1 1 1 例:已知数列 1×4 ,4×7 ,7×10 ,L ,(3n - 2)(3n +1),L 已知数列

根据计算的结果,猜想 计算 S1 ,S2 ,S3 ,S4 ,根据计算的结果 猜想 Sn 根据计算的结果
1 1 解:当n = 1时,s1 = = 1×4 4 1 2 当 = ? n = 1时,s2 = s1 + 4×7 7 1 3 ? n = 1时 , s3 = s 2 + 当 = 7×10 10 1 4 = 当 ? ? ?时 , s 4 = s3 + ? 10×13 13 n 猜想: 猜想:s n = 3n +1

的表达式,并用数学归纳法进行证明 的表达式 并用数学归纳法进行证明. 并用数学归纳法进行证明

例:是否存在常数a、b,使得等式: 是否存在常数a b,使得等式: 使得等式
12 22 n2 an 2 + n + +… + = 13 3 5 (2 n - 1)( 2n + 1) bn + 2

对一切正整数n都成立,并证明你的结论. 对一切正整数n都成立,并证明你的结论.
3a ? b = ?1 a =1 n=1,2,并整理得 解:令n=1,2,并整理得{10a ? 3b = ?2 ,∴{b = 4.

以下用数学归纳法证明: 以下用数学归纳法证明:

12 22 n2 n2 + n + + …+ = (n ∈ N * ). 1? 3 3 ? 5 (2n ?1)(2n +1) 4n + 2

点拨:对这种类型的题目,一般先利用n 点拨:对这种类型的题目,一般先利用n的 特殊值,探求出待定系数, 特殊值,探求出待定系数,然后用数学归纳 法证明它对一切正整数n都成立. 法证明它对一切正整数n都成立.

(1)当n=1时 由上面解法知结论正确. (1)当n=1时,由上面解法知结论正确. (2)假设当n=k时结论正确 假设当n=k时结论正确, (2)假设当n=k时结论正确,即: 则当n=k+1时 则当n=k+1时, n=k+1
12 22 k2 k2 + k + +… + = . 1 3 3 5 (2k - 1)(2k + 1) 4k + 2

12 22 k2 ( k + 1 )2 + +… + + 13 3 5 (2k 1)(2k + 1) (2k + 1)(2k + 3) k2 + k ( k + 1 )2 k ( k + 1 ) ( 2 k + 3 )+ 2 ( k + 1 )2 = + = 4k + 2 (2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) (k + 1)(2k 2 + 3k + 2k + 2) (k + 1)(2k + 1)(k + 2) = = 2(2k + 1)(2k + 3) 2(2k + 1)(2k + 3) k 2 + 3 k + 2 ( k + 1 )2 +( k + 1 ) . = = 4k + 6 4 ( k + 1 )+ 2

故当n=k+1时 结论也正确. 故当n=k+1时,结论也正确. n=k+1 根据(1) (2)知 对一切正整数n,结论正确. (1)、 n,结论正确 根据(1)、(2)知,对一切正整数n,结论正确.

例:比较 2n 与 n2 (n∈N*)的大小
n=1时 解:当n=1时,2n=2,n2=1, 2n>n2 n=2时 当n=2时,2n=4,n2=4, 2n=n2 当n=3时,2n=8,n2=9, 2n<n2 n=3时 n=4时 当n=4时,2n=16,n2=16, 2n=n2 n=5时 当n=5时,2n=32,n2=25, 2n>n2 n=6时 当n=6时,2n=64,n2=36, 2n>n2

证明略) 猜想当n≥5时,2n>n2(证明略) 先猜想, 注:先猜想,再证明

平面内有n条直线, 例:平面内有n条直线,其中任何两条不平 任何三条不过同一点, 行,任何三条不过同一点,证明交点的个数 f(n)=n(n-1)/2. f(n)=n(n说明:用数学归纳法证明几何问题,重难 说明:用数学归纳法证明几何问题, 点是处理好当n=k+1 n=k+1时利用假设结合几 点是处理好当n=k+1时利用假设结合几 何知识证明命题成立. 何知识证明命题成立.

在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: 注:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, (1)设这n条直线互相分割成f(n)条线段或射线, 设这 f(n)条线段或射线 ---则 ---则: f(n)=n2. (2)这 条直线把平面分成(n +n+2)/2个区域 个区域. (2)这n条直线把平面分成(n2+n+2)/2个区域.

作业: 作业:
平面内有n条直线,其中任何两条不平行, 1:平面内有n条直线,其中任何两条不平行,任何三条 不过同一点, 不过同一点, 个区域. 证明这n条直线把平面分成f(n) f(n)= +n+2)/2个区域 证明这n条直线把平面分成f(n)=(n2+n+2)/2个区域.

2.是 否 存 在 常 数 a、 b、 c使 得 等 式 1× 2 + 2×3 + L + n ( n + 1 ) 对 一 切 n∈ N 都成立,并证明你的结论。
* 2 2

思考题
1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 1:n边形有f(n)条对角线,则凸n+1边形的对角线 边形有f(n)条对角线 n+1 ------的条数 的条数f(n+1)=f(n)+_________. ------的条数f(n+1)=f(n)+_________. 2:设有通过一点的k个平面, 2:设有通过一点的k个平面,其中任何三个平面或 设有通过一点的 三个以上的平面不共有一条直线, 三个以上的平面不共有一条直线,这k个平面将 空间分成f(k)个区域, k+1个平面将空间分成 f(k)个区域 空间分成f(k)个区域,则k+1个平面将空间分成 f(k+1)=f(k)+__________个区域 个区域. f(k+1)=f(k)+__________个区域.


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