高中数学解题思路大全:函数单调性问题的求解策略

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函数单调性问题的求解策略
周贤才 李小花

函数的单调性是函数的一个极其重要的性质, 在高三的复习中经常会碰到有关函数单 调性求解的问题。下面通过例子来说明此类问题的求解思路。 一. 掌握几种常见函数的单调性,会求复合函数的单调区间 复习过程中要熟练掌握几种常见函数(如一次函数、二次函数、反比例函数、指、对 数函数及三角函数)的单调性,并能利用复合函数单调性的性质求解复合函数的单调性问 题。 例 1.已知 f ( x ) ? 8 ? 2 x ? x 2 ,如果 g ( x ) ? f ( 2 ? x 2 ) ,那么 g ( x ) ( A. 在区间(-1,0)上是减函数 B. 在区间(0,1)上是减函数 C. 在区间(-2,0)上是增函数 D. 在区间(0,2)上是增函数 解:函数 g ( x ) 是由 f ( u) ? 8 ? 2u ? u 2 和 u ? 2 ? x 2 复合而成的。 又 f ( u) ? 8 ? 2u ? u 2 在 u ? 1, ? ? 上递减,在 u ? ??,1 上递增; )

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u ? 2 ? x 2 在x ? 0, ? ? 上为减函数,在 x ? ??, 0 上为增函数。
当 u ? 1 时,得 ?1 ? x ? 1 当 u ? 1 时,得 x ? 1 或 x ? ?1 由此可得,函数 g ( x ) 在 ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 时为减函数 函数 g ( x ) 在 x ? ?1 或 0 ? x ? 1 时,为增函数 故选(A) 解题回顾:本题是有关二次函数的复合函数确定单调区间问题,要求会利用复合函数 的单调性来研究简单复合函数的单调性的问题。 复合函数单调性的判定法则是, 若 f ( x) 与

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g ( x ) 同是增(减)函数,则 f ? g ( x )? 在其定义域上是增函数;若 f ( x ) 与g ( x ) 是一增一减
函数,则 f ? g ( x )? 在其定义域上是减函数。上述法则可简述为:同增异减。

二. 利用函数的图象求解 例 2. 指出函数 f ( x ) ?| x 2 ? 4 x ? 3| 的单调区间。 解:作出函数 f ( x ) ?| x 2 ? 4 x ? 3| 的图象。 根据图象可得,函数在 1, 2 以及 3, ? ? 上为增函数; 在 ??,1 以及 2 , 3 上为减函数

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图1

三. 利用函数单调性的定义 例 3. 求函数 f ( x ) ? x ?

a ( a ? 0) 在 ( 0, ? ? ) 上的单调区间。 x

解:任取 0 ? x1 ? x2 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 )

? a? ? a? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ?a a? ? ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? ? x1 x2 ? ? ( x1 ? x2 ) ( x1 x2 ? a ) x1 x2 (*)

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因为 0 ? x1 ? x2 所以 x1 ? x2 ? 0,x1 x2 ? 0 若函数 f ( x ) 为增函数,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0
所以 x1 x2 ? a ? 0,即a ? x1 x2 因为 0 ? x1 ? x2 所以 a ? x1 ,故 x1 ?
2

a a

同理,若 f ( x ) 为减函数,则 x2 ? 因此,当 x ?

a 时,函数 f ( x ) ? x ?

a ( a ? 0) 为增函数当 0 ? x ? a 时,函数 x

f ( x) ? x ?

a ( a ? 0) 为减函数 x

解题回顾:从定义出发,利用定义解题是数学解题的一个基本出发点。本题从函数单 调性的定义出发,把求字母 a 的取值范围的问题,转化为恒成立的问题来加以求解,同时 得出了很重要的分式函数的单调区间。利用此结论,我们可以研究此类分式函数在某个区 间上的最值问题。

四.利用导数求解 例 4. 已知函数 f ( x ) ? x ? 4 a ? x 在 ??,1 上为单调增函数,求 a 的取值范围。 解:因为 f ( x ) ? x ? 4 a ? x 在 ??,1 上为单调增函数

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所以 f '( x ) ? 1 ?

1 1 ?4 ? 0 在 ???,1 上恒成立 2 a?x

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2 ? 1 恒成立 a?x

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即 a ? x ? 4 恒成立 因为 x ? 1,x ? 4 ? 5 ,所以 a ? 5 说明:导数是高中数学和高等数学的连接点,是高中教材新增加的内容,许多高次函 数、分式函数以及无理函数的单调区间和最值问题的研究都离不开导数,因此不可忽视导 数在函数中的作用。 例 1 若用导数解则更简便, 由 g '( x ) ? 0 得函数的增区间为 ??, ? 1

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及 ( 0,1) ;由 g '( x ) ? 0 得减区间为 ( ?1, 0) 及 (1, ? ? ) 。很快就能确定答案为(A)。 由此可以看出,导数在单调区间的求解方面有着很大的优势。

例 5. 已知函数 f ( x ) ? x ? 范围。

a ?1 ( a ? 0) 在区间 0, 2 上是减函数,求实数 a 的取值 x

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解法 1:利用例 3 中的结论。 函数 f ( x ) ? x ?

a ?1 在 0, a ? 1 上为减函数,在 x

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a ? 1, ? ? 上为增函数。

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由题知,该函数在 0, 2 上是减函数所以 a ? 1 ? 2 ,得 a ? 3 解法 2:利用函数的单调性的定义。 任取 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

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f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? a ? 1? ? a ? 1? ? ? x1 ? ? ? ? x2 ? ? x1 ? ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? x1 x2 ? ( a ? 1) x1 x2

因为 0 ? x1 ? x2 ? 2 所以 x1 ? x2 ? 0 且 x1 x2 ? 0 因为 f ( x ) 在 0, 2 上为增函数 所以 x1 x2 ? ( a ? 1) ? 0 恒成立

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所以 a ? 1 ? x1 x2 恒成立 因为 x1 x2 ? 4 ,所以 a ? 1 ? 4 ,得 a ? 3 解法 3:利用导数 因为 f ( x ) ? x ? 所以 f '( x ) ? 1 ? 因为 f ( x ) ? x ?

a ?1 x a ?1 x2 a ?1 在 0, 2 上为减函数,所以 f '( x ) ? 0 对 x ? 0, 2 恒成立 x

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即 a ? x 2 ? 1 对 x ? 0, 2 恒成立 因为当 x ? 0, 2 时, ?1 ? x 2 ? 1 ? 3 所以 a ? 3 说明:本题从三个不同角度对问题作出了解答,不同的方法各有巧妙,突出了不同知 识在解题中的作用。通过此问题的求解可加强各知识间的联系,提高对所学知识的全面认 识。

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例 6. (2003 年新课程高考理) 设a ? 0, 求函数 f ( x ) ? 的单调区间。 解:求导数得:

x ? ln( x ? a )( x ? (0, ? ?))

f '( x ) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) x?a

当 a ? 0,x ? 0 时

f '( x ) ? 0 ? x 2 ? ( 2a ? 4) x ? a 2 ? 0 f '( x ) ? 0 ? x 2 ? ( 2a ? 4) x ? a 2 ? 0
(1)当 a ? 1 时,对所有 x ? 0 ,有

x 2 ? ( 2a ? 4) x ? a 2 ? 0

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即 f '( x ) ? 0 此时 f ( x ) 在 ( 0, ? ? ) 内单调递增 (2)当 a ? 1 ,对 x ? 1 ,有 x 2 ? ( 2a ? 4) x ? a 2 ? 0 即 f '( x ) ? 0 此时 f ( x ) 在(0,1)内单调递增,在 (1, ? ? ) 内单调递增 又知函数 f ( x ) 在 x ? 1 处连续,因此,函数 f ( x ) 在 ( 0, ? ? ) 内单调递增 (3)当 0 ? a ? 1 时,令 f '( x ) ? 0 即 x 2 ? ( 2a ? 4) x ? a 2 ? 0 解得 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a 或 x ? 2 ? a ? 2 1 ? a 因此,函数 f ( x ) 在区间 ( 0, 2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递增 在区间 ( 2 ? a ? 2 1 ? a , ? ? ) 内也单调递增 令 f '( x ) ? 0 ,即 x 2 ? ( 2a ? 4) x ? a 2 ? 0 解得 2 ? a ? 2 1 ? a ? x ? 2 ? a ? 2 1 ? a 因此,函数 f ( x ) 在区间 ( 2 ? a ? 2 1 ? a , 2 ? a ? 2 1 ? a ) 内单调递减 解题回顾:本题主要考查导数在求函数单调区间方面的应用,对求导公式及复合函数 的求导有一定的要求,对考生分类讨论思想和等价转换思想有较高要求。

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