2011年“华约”自主招生数学试题及答案解析


2011 年“华约”自主招生试题解析
一、选择题

1 5 |? 则|z| = ( ) z 2 4 3 2 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 5 4 3 2 1 1 5 5 2 解: | z ? |? 得 | z | ?1 ? | z | ,已经转化为一个实数的方程.解得|z| =2(舍去) ? . 由 , 2 z 2 2
1.设复数 z 满足|z|<1 且 | z ? 2.在正四棱锥 P-ABCD 中,M、N 分别为 PA、PB 的中点,且侧面与底面所成二面角的正切 为 2 .则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为( )

1 1 1 1 A? ???????B? ???????C? ???????D? 3 6 8 12
[分析]本题有许多条件,可以用“求解法”,即假设题中的一部分要素为已知,利用这些条件 来确定其余的要素.本题中可假设底面边长为已知(不妨设为 2) ,利用侧面与底面所成二面 角可确定其他要素,如正四棱锥的高等.然后我们用两种方法,一种是建立坐标系,另一种 是平移其中一条线段与另一条在一起. z P

P

M

D O

N

M C y B A

D

N

Q

C

A x

B

解法一:如图 1,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为 2 .如 图建立坐标系,则 A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0),P(0,0, 2 ),

???? ? 3 1 2 ???? 1 2 1 1 2 1 3 2 ), N ( , , ) , DM ? ( , ? , ), AN ? (? , , ) .设所成的角 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ???? ???? ? DM ?AN 1 为 θ,则 cos ? ? ???? ???? ? . ? 6 DM AN
则 M( ,? ,

1 2

解法二:如图 2,设底面边长为 2,则由侧面与底面所成二面角的正切为 2 得高为 2 .平 移 DM 与 AN 在一起.即 M 移到 N, 移到 CD 的中点 Q.于是 QN = DM = AN.而 PA = PB D

= AB = 2,所以 QN = AN =

3 ,而 AQ =

5 ,容易算出等腰 ΔAQN 的顶角

cos ?ANQ ?

1 . 6

解法三:也可以平移 AN 与 DM 在一起.即 A 移到 M,N 移到 PN 的中点 Q.以下略. 3.已知 y ? x 3 ? x 2 ? 2x ? 1 ,过点(-1, 1)的直线 l 与该函数图象相切,且(-1, 1)不是切点, 则直线 l 的斜率为 ( )
3 2

A?2??????B1??????C?? 1???????D?? 2 ?
3 2 解:显然(-1, 1)在 y ? x ? x ? 2x ? 1 的图象上.设切点为 ( x0 , x0 ? x0 ? 2x0 ? 1) , 2 y? ? 3x 2 ? 2x ? 2 ,所以 k ? 3x0 ? 2x0 ? 2 .另一方面,
3 2 ( x0 ? x0 ? 2 x0 ? 1) ? 1 2 ? x0 ( x0 ? 2) ? 3x0 ? 2x0 ? 2 .所以 x0=1,所以 k ? ?1 .选 C. k? x0 ? (?1)

4.若 A ? B ?

2? ,则 cos 2 A ? cos 2 B 的最小值和最大值分别为 ( 3

)

A1 ? ?

3 3 1 3 3 3 1 2 ?, ?????B? , ??????C1 ? ? ,1 ? ???????D? ,1 ? 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2

[分析]首先尽可能化简结论中的表达式 cos A ? cos B ,沿着两个方向:①降次:把三角函 数的平方去掉;②去角:原来含两个角,去掉一个. 解: cos A ? cos B ?
2 2

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 1 ? ? 1 ? (cos 2 A ? cos 2 B) 2 2 2

1 ? 1 ? cos( A ? B) cos( A ? B) ? 1 ? cos( A ? B) ,可见答案是 B 2

[分析]题目中的条件是通过三个圆来给出的,有点眼花缭乱.我们来转化一下,就可以去掉三 个圆,已知条件变为:ΔO O1 O2 边 O1 O2 上一点 C,O O1、O O2 延长线上分别一点 A、B,

使得 O1A = O1C,O2B = O2C. 解法一:连接 O1O2 ,C 在 O1O2 上,则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ? ? ? ? ,

1 1 ?O1 AC ? ?O1CA ? ?OO1O2 , ?O2 BC ? ?O2CB ? ?OO2O1 ,故 2 2 1 ? ?? ?O1CA ? ?O2CB ? (?OO1O2 ? ?OO2O1 ) ? , 2 2 ? ?? ? ? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ? , sin ? ? cos . 2 2
解法二:对于选择填空题,可以用特例法,即可以添加条件或取一些特殊值,在本题中假设 两个小圆的半径相等,则 ?OO1O2 ? ?OO2O1 ?

? ??
2



?O1CA ? ?O2CB ? sin ? ? cos

?
2

1 ? ?? ? ?? ?OO1O2 ? , ? ? ? ? (?O1CA ? ?O2CB ) ? , 2 4 2

.

6.已知异面直线 a,b 成 60° 角.A 为空间一点则过 A 与 a,b 都成 45° 角的平面 ( ) A.有且只有一个 B.有且只有两个 C.有且只有三个 D.有且只有四个 [分析]已知平面过 A,再知道它的方向,就可以确定该平面了.因为涉及到平面的方向,我们 考虑它的法线,并且假设 a,b 为相交直线也没关系.于是原题简化为:已知两条相交直线 a, b 成 60° 角,求空间中过交点与 a,b 都成 45° 角的直线.答案是 4 个. 7. 已 知 向 量 a ? (0,1), b ? (? 的最小值为( )

?

?

? ? 3 1 ? 3 1 ? , ? ), c ? ( , ? ), xa ? yb ? zc ? (1,1) 则 x2 ? y 2 ? z 2 2 2 2 2

4 3 A?1???????B? ???????C? ???????D?2 3 2

? 3 ? 3 3 y? z ? 1 ?? ( y ? z) ? 1 ?? ? ? ? ? ? 2 解:由 xa ? yb ? zc ? (1,1) 得 ? 2 ,  2 ? ? x ? y ? z ?1 ? x ? y ? z ?1 ? ? ? 2 2 ? 2
由于 x ? y ? z ? x ?
2 2 2 2

( y ? z )2 ? ( y ? z )2 , 2

2 ? ? y?z ?? 可以用换元法的思想,看成关于 x,y + z,y-z 三个变量,变形 ? 3 ,代入 ? y ? z ? 2( x ? 1) ?
( y ? z )2 ? ( y ? z )2 x ?y ?z ?x ? 2
2 2 2 2

? x 2 ? 2( x ? 1) 2 ?

2 8 2 4 ? 3x 2 ? 4 x ? ? 3( x ? ) 2 ? ,答案 B 3 3 3 3

8.AB 为过抛物线 y2=4x 焦点 F 的弦,O 为坐标原点,且 ?OFA ? 135 ,C 为抛物线准线与
?

x 轴的交点,则 ?ACB 的正切值为 (

)

A?2 2???????B?

4 2 4 2 2 2 ???????C? ???????D? 5 3 3

解法一:焦点 F(1,0) ,C(-1,0) ,AB 方程 y = x – 1,与抛物线方程 y2 = 4x 联立, 解得 A???? 2 2?? ? 2 2)?,B????? 2 2?? ? 2 2)? ,于是 ???

kCA ?

k ? kCB ??2 2 2 ??2 2 2 , tan ?ACB ? CA ? 2 2 ,答案 A = ,kCB ? =1 ? kCAkCB 2 ??2 2 2 ??2 2

解法二:如图,利用抛物线的定义,将原题转化为:在直角梯形 ABCD 中,∠ BAD = 45° , EF∥ DA,EF = 2,AF = AD,BF = BC,求∠ AEB. G D A

tan ?AEF ? tan ?EAD ?

DE GF 2 .类似的,有 ? ? AD AF 2
E F

tan ?BEF ? tan ?EBC ?

2 2
C B

?AEB ? ?AEF ? ?BEF ? 2?AEF ,

tan ?AEB ? tan 2?AEF ? 2 2 ,答案 A

解: S ?BDF ?

DF BD S ?BDE ? zS ?BDE , S?BDE ? S?ABE ? (1 ? x) S?ABE , DE AB

S ?ABE ?

AE S ?ABC ? yS ?ABC ,于是 S?BDF ? (1 ? x) yzS?ABC ? 2(1 ? x) yz . AC

,变形为y ? z ? x ? 1 ,暂时将 x 看成常数,欲使 yz 取得最大值必须 将 y ? z ? x ?1
y?z?
大值

1 x ?1 1 2 ,于是 S ?BDF ? (1 ? x )( x ? 1) ,解这个一元函数的极值问题, x ? 时取极 3 2 2

16 . 27

10.将一个正 11 边形用对角线划分为 9 个三角形,这些对角线在正 11 边形内两两不相交,

则( ) A. 存在某种分法,所分出的三角形都不是锐角三角形 B. 存在某种分法,所分出的三角形恰有两个锐角三角形 C. 存在某种分法,所分出的三角形至少有 3 个锐角三角形 D. 任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形 解:我们先证明所分出的三角形中至多只有一个锐角三角形.如图,假设 ΔABC 是锐角三角 形,我们证明另一个三角形 ΔDEF(不妨设在 AC 的另一边)的(其中的边 EF 有可能与 AC 重 合)的∠ 一定是钝角.事实上, D ≥ ∠ D ∠ ADC, 而四边形 ABCD 是圆内接四边形, 所以∠ ADC = 180° B,所以∠ 为钝角.这样就排除了 B,C. -∠ D A E A

B

D F

B

D

C

C

下面证明所分出的三角形中至少有一个锐角三角形. 假设 ΔABC 中∠ 是钝角, AC 的另一侧一定还有其他顶点, B 在 我们就找在 AC 的另一侧 的相邻(指有公共边 AC) ΔACD,则∠ = 180° B 是锐角,这时如果或是钝角,我们用 D -∠ 同样的方法继续找下去,则最后可以找到一个锐角三角形.所以答案是 D. 二、解答题

解: (I) tan C ? ? tan( A ? B ) ?

tan A ? tan B ,整理得 tan A tan B ? 1 tan A tan B tan C ? tan A ? tan B ? tan C

(II) 由已知 3 tan A tan C ? tan A ? tan B ? tan C , (I) 与 比较知 tan B ? 3,B= 又

?
3

.

1 1 2 2 4 ? ? ? ? sin 2 A sin 2C sin 2B sin 2? 3 3



sin 2 A ? sin 2C 4 ? sin 2 A sin 2C 3



sin( A ? C ) cos( A ? C ) 1 3 ? ,而 sin( A ? C ) ? sin B ? , cos 2( A ? C ) ? cos 2( A ? C ) 2 3
cos 2( A ? C ) ? cos 2 B ? ? 1 ,代入得 2cos 2( A ? C ) ? 1 ? 3cos( A ? C ) , 2
1 A?C 6 ? 1, , cos 4 2 4

? 4cos2 ( A ? C) ? 3cos( A ? C) ?1 ? 0 , cos( A ? C ) ? 1,

12.已知圆柱形水杯质量为 a 克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽略不计,且 水杯直立放置).质量为 b 克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还有圆柱轴的中点 处. (I)若 b = 3a,求装入半杯水的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值; (II)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么? 解:不妨设水杯高为 1. (I)这时,水杯质量 :水的质量 = 2 :3.水杯的重心位置(我们用位置指到水杯底面的

1 1 2? ? 3? 1 1 4? 7 距离)为 ,水的重心位置为 ,所以装入半杯水的水杯的重心位置为 2 2 4 2?3 20
(II) 当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上.设装 x 克水.这时,水杯质量 : 水的质量 = a :x.水杯的重心位置为

1 x x ,水的重心位置为 ,水面位置为 ,于是 2 2b b

1 x a ? ? x? 2 2b ? x ,解得 x ? a2 ? ab ? a a?x b 2x 1 2 1 ,f (1) ? 1,f ( ) ? .令 x1 ? ,xn ?1 ? f ( xn ) . 13.已知函数 f ( x) ? ax ? b 2 3 2
(I)求数列 {xn } 的通项公式;

1 . 2e 1 2 2x 解 由 f (1) ? 1,f ( ) ? 得a ? b ? 1,f ( x) ? 2 3 x ?1
(II)证明 x1 x2 ? xn ?1 ? (I)方法一:先求出 x1 ?

1 2 4 8 2n ?1 ,x2 ? ,x3 ? ,x4 ? ,猜想 xn ? n ?1 .用数学归纳法证 2 3 5 9 2 ?1

明.当 n = 1 显然成立;假设 n = k 成立,即 xk ?

2k ?1 ,则 2k ?1 ? 1

xk ?1 ? f ( xk ) ?
方法二: xn?1 ?

2 xk 2k ,得证. ? k xk ? 1 2 ? 1
2 xn xn ? 1
取倒数后整理得

1 xn?1

?1 ?

1 1 ( ? 1) ,所以 2 xn

1 1 1 ? 1 ? ( ) n?1 ( ? 1) xn 2 x1

所以 x ?

1 1 2 n ?1 ?1

(II)方法一:证明

1 1 1 1 1 ? 2e .事实上, ? 2(1 ? )(1 ? )?(1 ? n ) . x1 x2 ? xn ?1 x1 x2 ? xn?1 2 4 2
n

我们注意到 1 ? 2a ? (1 ? a)2, , 2n a ? (1 ? a)2 , (贝努利 (Bernoulli) 不等式的一般形式: ? 1?

(1 ? x) n ? 1 ? nx , x ? (?1,??) )

于是

1 1 n?1 1 n 1 n ? 2(1 ? n )2 ??? 2?1 ? 2(1 ? n )2 ?1 ? 2(1 ? n ) 2 ? 2e x1 x2 ? xn?1 2 2 2
1 1 ) ? (1 ? n ) ? e 2 2 2 1 1 1 ? ln[(1 ? )(1 ? 2 ) ? (1 ? n )] ? 1 2 2 2 1 1 1 ? ln(1 ? ) ? ln(1 ? 2 ) ? ? ? ln(1 ? n ) ? 1 2 2 2 构造函数 g ( x) ? ln( ? x) ? x 1 ( x ? 0) 1 ?x g ?( x) ? ?1 ? ? 0 ,所以 g ( x) ? g (0) ? 0 1? x 1? x 所以 ln( ? x) ? x 1 ( x ? 0) 1 1 1 令 x ? n 则 ln(1 ? n ) ? n 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln(1 ? ) ? ln(1 ? 2 ) ? ? ? ln(1 ? n ) ? ? 2 ? ? ? n ? 1 ? n ? 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2

方法二:原不等式 ? (1 ? )(1 ?

14.已知双曲线 C : 且使 ?F1 PF2 =

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0), F1 , F2 分别为 C 的左右焦点.P 为 C 右支上一点, a 2 b2

?
3

, 又?F1 PF2的面积为3 3a 2 .

(I)求 C 的离心率 e ; (II)设 A 为 C 的左顶点,Q 为第一象限内 C 上的任意一点,问是否存在常数 λ(λ>0),使得

?QF2 A ? ??QAF2 恒成立.若存在,求出 λ 的值;若不存在,请说明理由.
解:(I)如图,利用双曲线的定义,将原题转化为:在 ΔP F1 F2 中,

?F1 PF2 = ,?F1 PF2的面积为3 3a 2 , 为 PF1 上一点, = PF2, F1 =2a, 1 F2 = E PE E F 3
2c,求

?

c .设 PE = PF2 = EF2 = x,F F2 = a

3 x, 2

S?F1PF2 ?

1 1 3 PF1 ?FF2 ? ( x ? 2a) x ? 3 3a 2 , x2 ? 4ax ? 12a 2 ? 0 , x ? 2a . 2 2 2
2? ,于是 3
P F E 2a F1 P 2c x F2
2

ΔE F1 F2 为等腰三角形, ?EF1 F2 ?

2c ? 2 3a , e ?
1 (II) ? ? 2
此解法可能有误

c ? 3. a

15.将一枚均匀的硬币连续抛掷 n 次,以 pn 表示未出现连续 3 次正面的概率. (I)求 p1,p2,p3,p4; (II)探究数列{ pn}的递推公式,并给出证明; (III)讨论数列{ pn}的单调性及其极限,并阐述该极限的概率意义. 分析与解:

1 7 ? ;又投掷四次连续出现三次正面向上的情况只有:正正 8 8 3 13 ? 正正或正正正反或反正正正,故 p 4 ? 1 ? . 16 16 1 (II)共分三种情况: ①如果第 n 次出现反面, 那么前 n 次不出现连续三次正面的概率 ? Pn ?1 ; 2
(I)显然 p1=p2=1, p 3 ? 1 ? ②如果第 n 次出现正面,第 n-1 次出现反面,那么前 n 次不出现连续三次正面和前 n-2 次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概率是

1 ? Pn ? 2 ;③ 4

如果第 n 次出现正面,第 n-1 次出现正面,第 n-2 次出现反面,那么前 n 次不出现连续三 次正面和前 n-3 次不出现连续三次正面是相同的,所以这个时候不出现连续三次正面的概 率是 ? Pn ?3 .

1 8

1 1 1 ? Pn ?1 ? ? Pn ?2 ? ? Pn ?3 .( n ? 4 ) ,④ 8 2 4 1 1 1 (III)由(II)知 Pn?1 ? ? Pn ?2 ? ? Pn ?3 ? ? Pn ? 4 , n ? 5 )⑤, ( 8 2 4 1 1 ? Pn ? 4 ( n ? 5 ) ④- ×⑤,有 Pn ? Pn?1 ? 2 16 所以 n ? 5 时,pn 的单调递减,又易见 p1=p2>p3>p4>….
综上, Pn ?

n ? 3 时,pn 的单调递减,且显然有下界 0,所以 pn 的极限存在.对 Pn ? Pn?1 ?
边同时取极限可得 lim p n ? 0 .
n ? ??

1 ? Pn ? 4 两 16

其统计意义:当投掷的次数足够多时,不出现连续三次正面向上的次数非常少,两者比值趋 近于零.


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