高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修412052102

3.3 二倍角的正弦、余弦和正切 课堂导学 三点剖析 1.二倍角与降幂公式 【例 1】 已知 sin( ? +x)sin( ? -x)= 1 ,x∈( ? ,π ),求 sin4x 的值. 4 46 2 思路分析:注意到 ? +x+ ? -x= ? ,可用诱导公式变形后计算. 442 解:由 sin( ? +x)sin( ? -x)= 1 可得 4 46 sin( ? +x)cos( ? +x)= 1 ,即 1 sin( ? +2x)= 1 , 4 462 2 6 ∴sin( ? +2x)= 1 ,即 cos2x= 1 . 2 3 3 又∵x∈( ? ,π ),∴2x∈(π ,2π ). 2 ∴sin2x= ? 1 ? (1)2 ? ? 2 2 . 3 3 ∴sin4x=2sin2xcos2x= ? 4 2 . 9 友情提示 在应用二倍角的同时,也用诱导公式或同角的三角函数关系. 各个击破 类题演练 1 已知 sinα = 5 ,α ∈( ? ,π ),求 sin2α ,cos2α ,tan2α 的值. 13 2 解析:∵sinα = 5 ,α ∈( ? ,π ), 13 2 ∴cosα = ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? ( 5 )2 ? ? 12 , 13 13 ∴sin2α =2sinα cosα =2× 5 ×( ? 12 )= ? 120 , 13 13 169 cos2α =1-2sin2α =1-2×( 5 )2= 119 , 13 169 tan2α = sin 2? ? ? 120 ? 169 ? ? 120 . cos2? 169 119 119 变式提升 1 (2006 上海高考,文 6) 函数 y=sinxcosx 的最小正周期是___________. 解析:化简,得 y= 1 sin2x, 2 1 ∴T=π . 答案:π 2.二倍角公式的变式应用 【例 2】已知 cos( ? +x)= 3 , 17? <x< 7? ,求 sin 2x ? 2sin 2 x 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x 思路分析:可先将待求式变形化简看需要哪些值,再由条件求出这些值. ? 解:原式= 2sin x cosx ? 2sin 2 x ? 2sin x(sin x ? cosx) ? 2 1? sin x cosx ? sin x 2 sin x sin(x ? ) cosx 4 2 cos(x ? ? ) c os x c os x 4 Sin2xtanx(x+ ? ). 4 ∵cos( ? +x)= 3 , 17? <x< 7? , 4 5 12 4 ∴sin(x+ ? )= ? 4 45 Tan(x+ ? )= ? 4 , 43 sin2x=-cos( ? +2x) 2 =-[2cos2( ? +x)-1]= 7 . 4 25 ∴原式= 7 ×( ? 4 )= ? 28 . 25 3 75 友情提示 分析角与角的关系,如 ? -x 与 ? +x 互为余角;2x 是 x 的倍角.角的关系往往是解题的 44 突破口. 类题演练 2 求下列各式的值 : (1)(cos ? -sin ? )(cos ? +sin ? ); 12 12 12 12 (2) 1 -cos2 ? . 28 解析:(1)(cos ? -sin ? )(cos ? +sin ? )=cos2 ? -sin2 ? 12 12 12 12 12 12 =cos ? = 3 . 62 (2) 1 -cos2 ? = ? 1 (2cos2 ? -1) 2 82 8 = ? 1 cos ? = ? 2 . 24 4 2 变式提升 2 已知 θ ∈( 5? , 3? ),|cos2θ |= 1 ,则 sinθ 的值是( ) 42 5 A. ? 10 5 B. 10 5 C. ? 15 5 解析:∵θ ∈( 5? , 3? ),∴sinθ <0,且 2θ ∈( 5? ,3π ). 42 2 ∴cos2θ <0.∵|cos2θ |= 1 , 5 ∴cos2θ =- 1 . 5 由 cos2θ =1-2sin2θ , 得 sin2θ = 1 ? cos2? ? 3 , 2 5 D. 15 5 ∴sinθ = ? 15 . 5 ∴应选 C. 答案:C 3.升降幂公式的应用 【例 3】 求函数 y=sin6x+cos6x 的最值. 思路分析:见“高次”降为“低次”,利用 a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)和 sin2x+cos2x=1 求解. 解:y=sin6x+cos6x =(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x) =(sin2x+cos2x)2-3sin2xcos2x =1-3sin2xcos2x=1- 3 sin22x 4 = 5 ? 3 cos4x, 88 ∴当 x= k? (k∈Z)时,y 取最大值为 1. 2 当 x= k? + ? (k∈Z)时,y 取最小值 1 . 24 4 友情提示 遇到高次就降幂,sin2x+cos2x=1,sin2x= 1 ? cos2x ,cos2x= 1? cos2x 都起到了降幂的 2 2 作用,在应用 cos2α 公式变形时,当心出现符号错误. 类题演练 3 已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期; (2)若 x∈[0, ? ],求 f(x)的最大值、最小值. 2 解:(1)因为 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x 3 =(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x =cos2x-sin2x =

相关文档

高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
【最新】高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
北师大版高中数学必修4第三章《三角恒等变形》二倍角的正弦、余弦、正切
高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
【最新】高中数学第三章三角恒等变形33二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必
高中数学第三章三角恒等变形3.3二倍角的正弦余弦和正切课堂导学案北师大版必修4201712052102
高中数学 第三章 三角恒等变形 3.3 二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案 北师大版必修4
高中数学第三章三角恒等变换3.3二倍角的正弦、余弦和正切课堂导学案北师大版必修4
电脑版