湖南省2013届高三六校联考数学文 含答案

湖南省 2013 年六校联考数学(文)考试试卷
一、 选择题: (共 9 道小题,每小题 5 分,共 45 分,选对一项得 5 分,多选则该小题不得分。 ) 1、已知集合 M ? ?1,2,3,4,5,6?, N ? ?3,4,6? ,则 M ? CM N ? ( A、 ?1, 2,3? B、 ?1,2,4? C、 ?1, 2,5? D、 ?3,4,6? ) D、第四象限 )

2、在复平面内,复数 A、第一象限

i ? (1 ? i) 2 对应的点位于( 1? i
C、第三象限

B、第二象限

3、设 Sn 是等差数列 ?an ? 的前 n 项和, S5 ? 3(a2 ? a8 ) ,则

a5 ?( a3



A、

1 6

B、

1 3

C、

3 5

D、

5 6
) 2 2 俯视图 D、 4 ? 2 2

4、下图为一个几何体的三视图,则该几何体的表面积为( 2 2 正视图 A、 8 ? 4 2 B、 8 ? 8 2 2 侧视图 C、 4 ? 4 2 2

5、如果把函数 y ? cos( x ?

4? ) 的图像向右平移 ? ( ? >0)个单位所得的图像关于 y 轴对称,则 3

? 的最小值为(
A、



2? 4? D、 3 3 6 3 6. 某程序框图如右图所示,若 a ? 3 ,则该程序运行后,
B、 C、 输出的 x 值为 31,则判断框中应填的条件是( A、 n ? 3 ? B、 n ? 2 ? )
开始

?

?

n ? 1, x ? a
C、 n ? 2 ? D、 n ? 3 ?
是 否 输出 x

n ? n ?1 x ? 2x ?1

7、不等式组 ? ( )

? y ? x ?1 所表示平面区域的面积为 ? y ? ?3 x ? 1

结束

-1-

A、 2

B、

3 2

C、

3 2 2
?? ?

D、2

8、已知 m ? (2cos ? , 2sin ? ), n ? (3cos ? ,3sin ? ) ,若 m 与 n 的夹角为 60? ,则直线

??

?

x cos ? ? y sin ? ?
A、相交

1 1 ? 0 与圆 ( x ? cos ? ) 2 ? ( y ? sin ? ) 2 ? 的位置关系是( 2 2
B、相交且过圆心 C、相切



2 2 9、已知点集 A ? ? x, y ? x ? y ? 6 x ? 4 y ? 4 ? 0 , B ? ? x, y ? y ? x ? x0 ? 2, x0 是常数 ,

?

?

D、相离

?

?

点集 A 所表示的平面区域的边界与点集 B 所表示的平面区域的边界的交点为 P, Q ,若点 ,则 D( x0 2) 在点集 A 所表示的平面区域内(不在边界上) ?DPQ 的面积的最大值是( )

A. 3

B. 6

C.

9 2

D. 9

二、填空题: 本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 10、在极坐标系中,圆 ? ? cos ? 的圆心的极坐标坐标为_______________________ 11、若以连续抛掷两枚骰子正面朝上的点数 m, n 分别作为点 P 的横坐标纵坐标,则事件 “ m ? n ? 9 ”的概率为_______________________ 12.在各项均为正数的等比数列 {an }中,若 a3 = 5 ,则 a1 + 2a5 的最小值是 。

13、某学校高一学生有 720 人,现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样方法, 抽取 180 人进行英语水平测试。已知抽取高一学生人数是抽取高二学生人数和高三学生人数 的等差中项,且高二年级抽取 65 人,则该校高三年级学生人数是_____________________

x2 y 2 x2 y 2 14、设 2 ? 2 ? 1 与 2 ? 2 ? 1(a ? 0, m ? b ? 0) 的离心率互为倒数,则以 a, b, m 为边长 m b a b
的三角形的形状一定是_______________________ 15 已 知 定 义 在 ?0,??? 的 函 数 f (x) 和 g (x) 满 足 f ( ) g ( ) ? f (e ) g (e ) ? 1 , 且

1 e

1 e

2

2

又 f / ( x) g ( x) ? ? g / ( x) f ( x) , f ( x) ? 的个数为

lg a x o , a? 则 g ( x)

;方程 f x g x ? x ? 1 ? 0 的解

? ?? ?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16、 (本小题共 12 分)某公司研发了一款新游戏,为了测试该游戏的受欢迎程度,该公司在 某高校抽取部分学生进行了调研.已知该高校在校学生有 6000 人,其中男生 2800 人,参加调
-2-

研的男生有 140 人. (1) 该校参加调研的女生有多少人? (2) 该公司将调研的情况统计后得到下表 1: 喜爱玩该游戏 男生 女生 合计 请将上表填写完整,并据此说明是否有 99.9%的把握认为“喜爱玩该游戏”与“性别”有关? 附: K 2 ? P( K 2 ? k ) k 100 不太喜爱玩该游戏 40 100 合计 140

n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.05 3.841 0.01 6.635 0.001 10.828

(3)据上表 1 回答:随机抽取一名该校学生,请估算该学生恰好喜欢玩此游戏的概率.

17(本小题共 12 分)已知三角形 ABC 的三内角 A, B, C, 对边分别是 a, b, c, 已知向量

?? ? ?? ? m ? (a, b), n ? (sin A, 3 cos B) ,且向量 m ? n
⑴ .求角 B . 范围. 18. (本小题共 12 分)如图,在底面是菱形的四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , E 为 PD 中点, PA ? AB ? 1, ?ABC ? ⑵ .设 A 是三角形 ABC 的最大内角,求 3 sin( B ? C) ? cos A 的取值

?
3
P E A B C
D

(Ⅰ )求证: PB // 平面 ACE (Ⅱ )求证:平面 PBD ? 平面 PAC ; (Ⅲ )求二面角 A ? PC ? D 的正切值.

19. (本小题共 12 分)某学校实验室有浓度为 2 g / m l 和 0.2 g / m l 的两种 K 溶液。在使用之 前需要重新配制溶液, 具体操作方法为: 取浓度为 2 g / m l 和 0.2 g / m l 的两种 K 溶液各 300 ml 分别装入两个容积都为 500 ml 的锥形瓶 A, B 中, 先从 A 瓶中取出 100 ml 溶液放入 B 瓶中, 充 分混合后,再从 B 瓶中取出 100 ml 溶液放入 A 瓶中,再充分混合.以上两次混合过程完成后算 完成一次操作.设在完成第 n 次操作后,

A 瓶中溶液浓度为 an g / ml , B 瓶中溶液浓度为

-3-

bn g / ml .
, ( lg 2 ? 0.301 lg 3 ? 0.477)
(Ⅰ 请计算 a1 ,b1 ,并判定数列 {a n ? bn }是否为等比数列,若是,求出其通项公式;若不是,说明理 ) 由; (Ⅱ )若要使得 A, B 两个瓶中的溶液浓度之差小于 0.01g / m l ,则至少要经过几次操作. 20. (本小题共 13 分)已知函数 f ( x) ? x[(x ? m)(x ? n) ? 1] (1)若 f ( x) ? x 则称 x 为 f (x) 的“不动点”; 若 f ( f ( x)) ? x 则称 x 为 f (x) 的“稳定点”, 函数 f (x) 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为 A 和 B,求证: f ( A) ? f ( B) (2)当 m ? 0 时,

f ( x) ? 2 ln x ? 2 ? 0 对任意的 x ? (e ?1 ,5) 恒成立,求实数 n 的取值范围. x

21. (本小题共 14 分) 、设椭圆 C1 和抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心点和 C2 的顶点 都是坐标原点,从每条曲线上各取两点,其坐标记录如下表:

x
y

2


3

4

1

?2 3

?4

2 2

⑴.求曲线 C1 , C2 的标准方程。⑵.设直线 l : 3x ? 3 y ? 1 ? 0 交椭圆 C1 于 A, B 两点,若

???? ???? ???? ???? .设直线 l ' 过 P(4,0),交抛物线 C2 交于 A' , B ' M (0,1) ,求证: MA ? MB ? MA ? MB 。⑶
两点, 问是否存在与 x 轴垂直的直线 m , m 被以 A P 为直径的圆 E 所截得的弦长为定值? 使 如果存在,求出 m 的方程,若不存在,说明理由。
'

-4-

参考答案及评分标准 (文科)
一、选择题(本大题共 9 小题,每小题 5 分,共 45 分) (1)C (6) A (2) D (7)B (3) D (8)D (4)A (9)C (5) B

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) (10) ( , 0) (13) 660

1 2

(11)

5 6

(12)10 2 (15) e ,方程解的个数为2

(14)直角三角形

注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分) (16)(1)160 人 、 (2) 喜爱玩该游戏 男生 女生 合计 100 60 160
2

……3 分 不太喜爱玩该游戏 40 100 140 合计 140 160 300

300 (100 ? 100 ? 40 ? 60) ? 35 ? 10.828 140 ? 160 ? 160 ? 140 ? 有 99.9 %的把握认为“喜爱玩该游戏”与“性别”有关 160 8 ? (3) P ? 300 15 K2 ?
( 17 ) 解 : ⑴ m ? n , ∴ .∵

……9 分 ……12 分

??

?

3a cos B ? b sin A 即

3a sin A cos B ? sin B sin A ,
... ...6分

∴ 3 cos B ? sin B ,∴tan B ? 3, B ? 60? 。 ⑵ .∵ A 为 ? ABC 的最大内角,∴60? ? A ? 120? , ∴
A?
3 sin( B ? C ) ? cos A ? 3 sin A ? cos A ? 2 sin( A ?

?
6

? ) , 由 6 0? A ?

? 得 1 2 0

?
6

?[

? ? ,∴ ? , ) 2 sin( A ? ) ? [1, 2) 即 3 sin( B ? C) ? cos A 的范围是 [1, 2) 。
6 2 6

... ...12 分、 (18) 、解析: )连接 BD,交 AC 于点 O,连接 OE,在三角形 BDP 中, (Ⅰ ? O,E 分别为 BD,PD 中点,? OE 为中位线, ? OE//PB,且 OE ? 平面 ACE,PB ? 平面 ACE, ? PB // 平面 ACE ;………4 分 (Ⅱ ? 底面是菱形,? AC ? BD, ) P 又 PA ? 底面 ABCD ,? PA ? BD

? PA ? AC ? A, PA ? 平面 PAC, AC ? 平面 PAC, BD ?
平面 PBD ? 平面 PBD ? 平面 PAC …………………8 分
-5-

E A
o F D

B

C

(Ⅲ )过点 O 作直线 OF ? PC 于点 F ,连接 DF , 由(Ⅱ )知, OD ? 平面 PAC , ? OD ? PC ,故 PC ? 平面 DFO , ? PC ? FD ,故 ?DFO 为二面角 A ? PC ? D 的平面角。 易得: OF ?

2 3 , OD ? , 4 2 6 ………………12 分 6

? tan?DFO ?

(19) 、解: ) b1 ? 0.65g / ml, a1 ? 1.55g / ml …………………2 分 (Ⅰ

1 1 (300 bn ?1 ? 100 a n ?1 ) ? (3bn ?1 ? a n ?1 ) ,…………..4 分 400 4 1 1 an ? (200 a n ?1 ? 100 bn ) ? (3a n ?1 ? bn ?1 ), ……………………6 分 300 4 1 a n ? bn ? (a n ?1 ? bn ?1 ), ………………….7 分 2 1 ?{an ? bn } 是以 a1 ? b1 为首项, 为公比的等比数列。 2 1 n ?1 ? a n ? bn ? 0.9( ) ……………………8 分 2 1 n ?1 ? 10 ? 2 得………………9 分 (Ⅱ )由 0.9( ) 2
n ? 2 时, bn ?

n ? 1?

2 lg 3 ? 1 ? 7.49 ……………………11 分 lg 2

所以至少要操作 8 次才能达到要求………………12 分 (20)(1)证明:若 A ? ? , 则A ? B显然成立 ? f ( A) ? f ( B) 、 若 A ? ? , 设t ? A, 则f (t ) ? t , f ( f (t )) ? f (t ) ? t ,即t ? B ,从而 A ? B, f ( A) ? f ( B) ……5 分 (2)当 m ? 0 时,

f ( x) ? 2 ln x ? 2 ? 0 即 x 2 ? nx ? 2 ln x ? 3 ? 0 x 2 ln x 3 ? ?n 可化为 x ? x x 2 ln x 3 ? , x ? (e ?1 ,5) 记 g ( x) ? x ? x x
则 g ?( x) ? 1 ?

……7 分

2 ? 2 ln x 3 x 2 ? 2 ln x ? 1 ? 2 ? x2 x x2

……9 分

-6-

记 m( x) ? x 2 ? 2 ln x ? 1 , 则 m ?( x) ? 2 x ?

x ? (e ?1 ,5)

2 2( x ? 1)( x ? 1) ? x x

故 m( x)在(e ?1 ,1)上递减,在1,5)上递增 ( 从而 g ?( x) ? 0, g ( x)在(e ?1 ,5)上递增 又 g (e ?1 ) ? e ? e ?1

? m( x) ? m(1) ? 0

……11 分

? n ? e ? e ?1

……13 分

(21) 、解:因 C1 , C2 的焦点均在 x 轴上,设 C1 方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) , a 2 b2

依题意点 ( 2, 0), (1,

? 2 在椭圆上,∴? a ? 2 ∴a ? 2 ) ?1 1 2 b ?1 ? 2 ? 2 ?1 2b ?a

∴ 椭圆方程为

x2 ? y2 ? 1 2

设抛物线方程 y 2 ? 2 px ,过点 (3, ?2 3), (4, ?4) ∴ p ? 2 ∴ 抛物线方程 y 2 ? 4 x 。

……4 分

?3 x ? 3 y ? 1 ? 0 (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? 2 ? x ? y2 ? 1 ? ? 2

4 ? ? x1 ? x2 ? 9 2 消去 y 整理得 27x ? 12x ? 16 ? 0 ,由韦达定理得,则 ? 16 ? x1 x2 ? ? 27 ?
由 TA ? TB ? TA ? TB 两边平方整理可得 TA ?TB ? 0 只需证明 TA ?TB ? 0

TA ? TB ? x1 , y1 ? 1 (x2 , y2 ? 1 ( ) ? )
? x1 x2 ? ( y1 ? 1)( y2 ? 1) ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1
而 y1 y 2 ? ( x1 ? )( x 2 ? ) ? x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 ) ?

1 1 1 3 3 3 1 1 2 y1 ? y 2 ? x1 ? ? x2 ? ? x1 ? x 2 ? 3 3 3

1 9

-7-

32 16 16 4 16 ?- - ? ?0 ? TA ? TB ? x1 x2 ? y1 y2 ? ( y1 ? y2 ) ? 1 ? 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 9 27 27 9


TA ? TB ? TA ? TB 恒成立
(3).设存在直线 m: x ? a 满足题意,设 P 点坐标为 ( x3 , y3 ) ,则圆心 E (

……9 分
x3 ? 4 y3 , ) ,过 E 2 2

作直线 x ? a 的垂线,垂足为 M ,设直线 m 与圆 E 的一个交点为 G ,可得: 2 ( x ? 4) 2 ? y3 x ?4 2 2 2 2 2 MG ? EG ? EM ? EA ? EM ? 3 ?( 3 ? a)2 4 2 ? x3 ? 4 x3 ? a( x3 ? 4) ? a 2 ? (a ? 3) x3 ? 4a ? a 2 所以,当 a ? 3 时, MG ? 3 ,此时直线 m 被以 A' P 为直径的圆 E 所截得的弦长恒为定值
2

2 3 ,因此,存在 m: x ? 3 满足题意。

……14 分

-8-


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