人教A版高中数学必修1 3.1.2用二分法求方程的近似解 名师公开课市级获奖课件(24张)

人教版 必修1 第三章 函数的应用 3.1 3.1.2 函数与方程 用二分法求方程的近似解 知识回顾 f(x)=0 的根. 1.函数y=f(x)的零点是指方程 ___________ 2.函数y=f(x)的图象在[a,b]上连续,且在(a,b)内满 f(a )· f(b)<0 足 __________ ,则函数y=f(x)在(a,b)至少存在一个零 点. 注意: (1)若函数f(x)在[a,b]上单调,则零点唯一. (2)若y=f(x)在(a,b)至少存在一个零点,无法判断 f(a)f(b)的符号. 引例 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数. 方法一:∵函数f(x)=lnx+2x-6在定义域 (0, ??) 解: 上图象连续不断且单调递增, 且 f (1) ? f (3) ? ?4 ln 3 ? 0 ∴函数f(x)=lnx+2x-6在定义域内只有一个零点. 方法二:求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数 即是求方程lnx+2x-6=0的解的个数, 即求y=lnx和y=-2x+6=0图象交点个数. 画图可知这两个函数图象只有1个交点. ∴函数f(x)=lnx+2x-6零点只有一个. 例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数. 解:用计算器或计算机作出x,f (x)对应值表和图象. x 1 2 3 4 5 f (x) –4 –1.0369 1.0986 3.3863 5.6094 x 6 7 8 9 f (x)7.7918 9.9459 12.079414.1972 由表和图可知,f (2)<0, f (3)>0, 说明函数f (x)在 则f (2)·f (3)<0, (2,3)内有零点. 由于函数f (x)在 所以它仅有一个零点. 定义域内是增函数, 复习引入 函数 f(x)=lnx+2x-6 在区间(2,3)内有零点 如何找出这个零点? 阅读教材第88~90页,并回答问题: (1)何为二分法? (2)用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤? 区 间 (2, 3) (2.5, 3) 端点的符号 f(2)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(3)>0 f(2.5)<0, f(2.75)>0 中点 的值 2.5 2.75 2.625 中点函数 值的符号 f(2.5) =-0.084 <0 f(2.75)=0.512>0 (2.5, 2.75) f(2.625) =0.215>0 (2.5, 2.625) (2.5, 2.5625) f(2.5)<0, f(2.625)>0 f(2.5)<0, f( 2.5625)>0 2.5625 f(2.5625)=0.066>0 2.53125 f(2.53125) =-0.009 <0 (2.53125, 2.5625) f(2.53125)<0, f(2.5625)>0 2.546875 f(2.546875)>0 (2.53125, 2.546875) f(2.53125)<0, f(2.546875)>0 2.539062 f(2.5390625)>0 5 (2.53125, f(2.53125)<0, 2.5390625) f(2.5390625)>0 f(2.53515625)> 2.535156 0 25 当精确度为0.01时, 由于 |2.539 062 5 – 2.531 25|0.007 = 812 5 <0.01, 所以,我们可以将x = 2.531 25作为函数 f (x) = lnx + 2x – 6零点的近似值, 也即方程 lnx + 2x – 6 = 0根的近似值. 新课讲解 1.二分法的概念 f(a)· f(b)<0 的函数y=f(x), 对于在区间[a,b]上连续不断且 ___________ 通过不断地把函数 f(x) 的零点所在的区间 _________ ,使区 一分为二 逐步逼近零点 间的两个端点 _____________,进而得到零点近似值的方法 叫做二分法. 由函数的零点与相应方程根的关系,我们可用二分法来求方 近似解. 程的_________ 2.给定精确度ε,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤 f(a)· f(b)<0 (1)确定区间[a,b],验证 ___________ ,给定精确度ε; a= + b (2)求区间(a,b)的中点c,c ______ ; 2 (3)计算f(c): ①若f(c)=0,则c就是函数的零点; ② 若 f(a)· f(c) < 0 , 则 令 b = c( 此 时 零 点 (a , c) x0∈______) ; ③ 若 f(c)· f(b) < 0 , 则 令 a = c( 此 时 零 点 (c , x0∈______) ; b) |a-b|< (4)判断是否达到精确度ε:即若_________ ,ε 则得到零点近似值a(或b);否则重复(2)~(4). 问题探究 1 .函数 f(x) = x2 - 2x - 1 在区间 (1,3) 有无零点?若将区间 (1,3)平均分为两个区间,其零点在哪个区间? 提示:f(1)=1-2-1=-2<0,f(3)=9-6-1>0, 在(1,3)上有零点且只有一个零点,对于(1,3)的中点 为2,f(2)=22-2×2-1<0,故零点在(2,3)上. 2.函数y=x2-2x+1能用二分法求其零点吗? 提示:y=x2-2x+1的零点为1,在x=1的两侧, y>0恒成立,不符合二分法的条件. 要点1. 二分法的概念 “二分法”与判定函数零点的定义密切相关, 只有满足函数图象在零点附近连续,且在该零 点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零 点. 例1.下列图象表示的函数中能用二分法求零点 的是( ) 【思路点拨】 根据二分法的概念求解. 【解析】 当且仅当函数 f(x)在区间 [a ,b]上连续 且

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