江苏省常州市2012-2013学年高一数学下学期期中试题苏教版

横山桥高中 2012-2013 学年度第二学期期中考试试卷 高一
函数 f ( x) ?

数学

一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1. 2. 3. 4.

4 ? x 2 的定义域是

. . .

在△ABC 中, 角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 a=8, B=60°, C=75°, 则b ? 设 S n 为等差数列 {an } 的前 n 项和,若 S3 ? 3 , S6 ? 24 ,则 a9 ?

在△ ABC 中,角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c,且 (a ? c)( a ? c) ? b(b ? c) ,则

?A ?
5. 6. 7.

.
2

* 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ? 5n ? kn(其中 n ? N ) , 且 a2 ? 18 , 则k=

. .

边长为 5、7、8 的三角形的最大角与最小角之和为 在 为

8 27 和 之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的乘积 3 2


x y

8. 9.

若实数 x、y 满足 x ? y ? 2 ,则 z ? 3 ? 3 的最小值是



在 等 腰 △ ABC 中 , 已 知 sin A : sin B ? 1: 2 , 底 边 BC ? 10 , 则 △ ABC 的 周 长 是 .

10. 数 列 {a n } 中 , an ?

n?
2

1 * ( 其 中 n? N ) , 若 其 前 n 项 和 Sn ? 9 , 则 n ?1 ? n
. .

11. 函数 f ( x) ? lg(ax ? ax ? 4) 的定义域为 R,则实数 a 的取值范围是 12. 函数 f ( x) ?

x2 ? 6 x2 ? 5

的最小值是

.

13. 把一根长为 l cm 的木条锯成两段,分别作为钝角三角形 ABC 的两边 AB 和 BC,且

?ABC ? 1200 ,则边 AC 的最小值是

.

14. 已 知 等 差 数 列 lg x1 , lg x2 ,?, lg xn 的 第 r 项 为 s , 第 s 项 为 r ( 0 ? r ? s ) ,则

x1 ? x2 ? ? ? xn ?



1

二.解答题(本大题共 6 小题,共 58 分) 15. (本小题共 8 分) 设数列 {an } (其中 n ? N )是公差不为 0 的等差数列, S n 为其前 n 项和,数列 {bn } 为
*

S2 ? 5b 2 , S4 ? 25b3 .求数列 {an } 和数列 {bn } 的通项公式 an 及 等比数列且 a1 ? b1 ? 2 ,

bn .

16. (本小题共 8 分) 已知 A ? {x | x ? 2 x ? 3 ? 0} , B ? {x | x ? 5 x ? 6 ? 0} ,求(1) A ? B ; (2)若不等
2 2

式 x ? ax ? b ? 0 的解集是 A ? B ,求 ax ? x ? b ? 0 的解集.
2 2

17. (本小题共 10 分) 如图,为了计算某湖岸边两景点 B 与 C 的距离,由于地形的限制,需要在岸上 A 和 D 两 个测量点,现测得 AD⊥CD,AD=10km,AB=14km,∠BDA=60°,∠BCD=135°,求两景点 B 与 C 之间的距离(假设 A、B、C、D 在同一平面内,测量 结 果 精 确 到 0.1km , 参 考 数 据 :

2 ? 1.414, 3 ? 1.732, 5 ? 2.236 )

18. (本小题共 10 分)
* 数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 Sn ? n ? 2n (其中 n ? N ) .
2

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 bn ? an ? 2

3 n ?3

,求数列 {bn } 的前 n 项的和.

2

19. (本小题共 10 分) 在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 b ? cos C ? 3a ? cos B ? c ? cos B . (1)求 cos B 的值; (2)若△ABC 的面积是 2 2 ,且 b ? 2 2 ,求边 a 与边 c 的值.

20. (本小题共 12 分) 已知等差数列 {an } 的首项 a1=1,公差 d>0,且第二项、第五项、第十四项分别是一个 等比数列 {cn } 的第二项、第三项、第四项. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设 bn ?

1 , Sn ? b1 ? b2 ? ? ? bn ,求 S n ; n(an ? 3)
*

(3)对于(2)中的 S n 是否存在实数 t,使得对任意的 n ? N 均有: 8Sn ? t (an ? 17) 成 立?若存在,求出 t 的范围,若不存在,请说明理由.

2012-2013 学年度第二学期期中考试答案与评分标准 高一 数学 一.填空题(本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分) 1. {x | ?2 ? x ? 2} 6. 120
0

2. 4 6 7. 216

3. 15 8. 6

4. 120

0

5. 3 9. 50 10. 99

11. 0 ? a ? 16

3

12.

6 5 5

13.

l 2

14.

10r ? s 1 (1 ? n ) 9 10

二.解答题(本大题共 6 小题,共 58 分) 15.(本小题共 8 分) 解:设等差数列 {an } 的公差为 d ,等比数列 {bn } 的公比为 q 由?

?4 ? d ? 10 ? q ? S 2 ? 5b2 ,得: ? …………………………………2 分 2 4 ? 3 d ? 25 ? q ? S 4 ? 25b3 ?
2

消 d ,得: 25q ? 30q ? 8 ? 0 ,解之得: q ? 因为 d ? 0 ,得: q ?

2 4 或q ? …………………………2 分 5 5

4 , d ? 4 ……………………………………2 分 5 4 n?1 所以, an ? 4n ? 2 , bn ? 2 ? ( ) ………………………………2 分 5
16.(本小题共 8 分) 解: (1)由题意得: A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | x ? 2或x ? 3} ………………………2 分 得: A ? B ? {x | ?1 ? x ? 2}…………………………2 分 (2)由题意得:-1,2 是方程 x ? ax ? b ? 0 的两根
2

所以 ?

? a ? ?1 ??1 ? 2 ? ?a ,解之得 ? ……………………………2 分 ?b ? ?2 ??1? 2 ? b
2

所以 ? x ? x ? 2 ? 0 ,其解集为 {x | x ? ?1或x ? 2} ……………………2 分 17.(本小题共 10 分) 解:设 BD ? x ,在△ABD 中 由余弦定理得: BA ? BD ? AD ? 2BD ? AD cos ?BDA
2 2 2

整理得: x ? 10 x ? 96 ? 0 ,解得: x ? 16 ………………………………5 分
2

BC BD ,得: BC ? 8 2 ? 11.3 ? sin ?CDB sin ?BCD 答:两景点 B 与 C 之间的距离约为 11.3 km. ………………………………5 分
由正弦定理,得: 18.(本小题共 10 分) 解: (1)①当 n ? 1 时, a1 ? 3 ②当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? 2n ? 1 综上: an ? 2n ? 1……………………………………4 分 (2)由题意得: bn ? (2n ? 1) ? 2
4
3 n ?3



经计算,得其前 n 项的和 Tn ?

(14n ? 5) ? 8n ? 5 …………………………………6 分 49

19.(本小题共 10 分) 解: (1)由题意得: sin B ? cos C ? 3sin A ? cos B ? sin C ? cos B …………………………2 分 所以 sin A ? 3sin A ? cos B ( sin A ? 0 ) ,得: cos B ? (2)由 cos B ?

1 .………………………2 分 3

2 2 1 ,得: sin B ? 3 3
?ac ? 6
2 2 ?a ? c ? 12

由面积公式及余弦定理,得: ? 解之得: a ? c ?

………………………4 分

6 ……………………………2 分

20.(本小题共 12 分) 解: (1)由题意得: 1 ? d ,1 ? 4d ,1 ? 13d 成等比数列,所以 (1 ? 4d ) ? (1 ? d ) ? (1 ? 13d )
2

解之得: d ? 2 ,则 an ? 2n ? 1……………………………3 分

1 1 (1 ? ) ……………………………3 分 2 n ?1 1 * (3)由题意得:任意的 n ? N , 4(1 ? ) ? t (2n ? 16) 恒成立 n ?1
(2) Sn ? 即: t ?

2n 恒成立……………………1 分 (n ? 1)(n ? 8)

可求得:当 n ? 3 时,

2n 3 3 取得最大值 ,则 t ? .……………………5 分 (n ? 1)(n ? 8) 22 22

5


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