2016-2017学年云南省云天化中学高二上学期期末考试数学(理)试卷(带解析)

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2016-2017 学年云南省云天化中学高二上学期期末考试数学 (理)试卷(带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.高二某班共有学生 56 人,座号分别为 1,2,3,?,56,现根据座号,用系统抽

样的方法,抽取一个容量为 4 的样本.已知 4 号、18 号、46 号同学在样本中, 那么样本中还有一个同学的座号是( ) A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 2.设, ∈ ,则“≥1 且≥1”是“2 + 2 ≥2”的( ) A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3.设是等差数列{}的前项和,2 + 3 + 4 = 3,则5 为( ) A. 5 B. 7 C. 9 D. 11
4.在区间[0,1]上随机取两个数, ,则事件“ + ≤3”的概率是( A.
1 2 2



B.

2 3

C.

4 9

D.

2 9

5.

试卷第 1 页,总 5 页

A. 22

B. 46

C. 94

D. 190

6.如上图是一名篮球运动员在最近 5 场比赛中所得分数的茎叶图,若该运动员

在这 5 场比赛中的得分的中位数为 12,则该运动员这 5 场比赛得分的平均数不 可能为( )
A.
68 5

B.

69 5

C. 14
2

D.

71 5

7.已知1 , 2 是椭圆 C:2 + 2 = 1 ( > > 0)的两个焦点,为椭圆 C 上的一点,

2

且1 ⊥ 2 1.若1 2 的面积为 9,则=( ) A. 3 B. 6 C. 34 D. 24 2 8.直线 ? + 3 = 0被圆2 + 2 + 4 ? 4 + 6 = 0截得的弦长等于( )
A. 2 3 B. 6 C. 3 D.
6 2

? 4 + 3 ≤ 0 9.已知变量, 满足{ ,则 ? 的取值范围是( ≥ 1 + ? 4 ≤ 0
A. [?2, 5]
6



B. [?2,0]

C. [0, 5]

6

D. [?2,-1]

10.如图是一个几何体的三视图,在该几何体的各个面中,面积最小的面的面积

为(



A. 8 B. 4 C. 4 2 D. 4 3 11.在平面直角坐标系 中,已知直线 : + + = 0与点(0,2),若直线 上存 在点 满足| |2 + | |2 = 10(为坐标原点) ,则实数的取值范围是( ) A. (? 5 ? 1?, 5 ? 1) B. [? 5 ? 1?,? 5 ? 1]
试卷第 2 页,总 5 页

C. (?2 2 ? 1?, 2 2 ? 1) D. [?2 2 ? 1?,?2 2 ? 1] 12.若以1 (?3,0),2 (3,0)为焦点的双曲线与直线 = ? 1有公共点,则该双曲

线的离心率的最小值为(
A.
6 2


D. 3

B.

3 5 5

C.

3 2

试卷第 3 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13.在中, = 75?, = 60?, = 1,则边的长为______. 14.已知双曲线2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且双曲线的一
2 2

个焦点为(? 7,0),则双曲线的方程为______. 15. 某校从高一年级学生中随机抽取 100 名学生, 将他们期中考试的数学成绩 (均 为整数)分成六段: [40,50) ,[50,60) ,?,[90,100]后得到频率分布直 方图(如右图所示) ,则分数在[70,80)内的人数是_______.
16.椭圆 2 +
2 2
5

= 1(为定值,且 > 5)的左焦点为,直线 = 与椭圆交于, 两

点,的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率为_____.
评卷人 得分 三、解答题
2 17.已知命题:2 ? 4 ? 5 ≤ 0,命题:2 ? 2 + 1 ? ≤ 0(> 0) .

(1)若是的充分条件,求实数 的取值范围; (2)若= 5, ∨ 为真命题, ∧ 为假命题,求实数的取值范围.
18.某产品的三个质量指标分别为

,用综合指标

评价该产品的

等级,若

,则该产品为一等品.现从一批该产品中,随机抽取 10 件产品

作为样本,其质量指标列表如下: 产品编号 质量指标 (, , ) 产品编号 质量指标 (, , ) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1)

(1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率; (2)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品, ①用产品编号列出所有可能的结果; ②设事件 为“在取出的 2 件产品中,每件产品的综合指标 S 都等于 4”. 求事件发生的概率.
19.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,长轴长为4,且点(1, )在椭圆上.
2 3

(1)求椭圆的方程; (2)斜率为 1 的直线 过椭圆的右焦点,交椭圆于 两点,求 .

试卷第 4 页,总 5 页

20. 设 +1 = (?2 + 13) ? 2+1的内角 +1 ? = (?2 + 13) ? 2+1 ? (?2 + 15) ? 2 = (11 ? 2) ? 2所对应的边长分别是 +1 ? > 0且2cos(cos + cos) = .

(1)求角; (2)若 = 7, +1 = (?2 + 13) ? 2+1 的面积为
3 3 2

,求 +1 = (?2 + 13) ? 2+1 的

周长. ? 21.设数列{}的前项和为,且2 = ( + 2) ? 1( ∈ ). (1) 求1 的值,并用?1表示; (2) 求数列{}的通项公式; (3) 设 = +
1 3 2

1

1
4

+ + ? + ,求证: < 3.
3 5

1

1

5

+2

22.已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点,离心率等于 ,以椭圆的长轴和短轴为
2

3

对角线的四边形的周长为4 5,直线 : = + 与轴交于点,与椭圆交于、两个 相异点,且 = . (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ)是否存在 ,使 + = 4?若存在,求 的取值范围;若不存在,请说明理由.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.C 【解析】由题意得,样本间隔为56 ÷ 4 = 14,则另外一个号码为14 + 18 = 32,则选 C. 2.B 【解析】由题意得,因为≥1 且≥1,所以2 ≥ 1, 2 ≥ 1 ? 2 + 2 ≥ 2,充分性成立; 但由 2 + 2 ≥ 2不一定得到≥1 且 ≥1,比如 = 0, ≥ 3,因此“ ≥1 且 ≥1”是 “2 + 2 ≥2”的充分不必要条件,故选 B. 【点睛】本题主要考查了不等式的性质以及充要条件,属于基础题,判断充要条件要注意: 1.确定条件和结论分别是什么; 2.依据所学知识合理推导条件的成立性, 或通过举反例来判 定条件的不成立性. 3.A 【解析】由题意得,设数列的首项1 ,公差为,则31 + 6 = 3 ? 1 + 2 = 1 ? 3 = 1 又∵ 1 + 5 = 23 = 2 ∴ 5 = 4.D 【解析】由题意得,如图所示:阴 = 2 × 3 × 3 = 9 ,总 = 1 × 1 = 1 ? = = 9,故选 D.


5(1 +5 ) 2

= 5,故选 A.


1

2

2

2

2

5.C 【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出 S 值. 解:程序运行过程中,各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 1/ 第一圈 2 4 是 第二圈 3 10 是 第三圈 4 22 是 第四圈 5 46 是 第五圈 6 94 否
答案第 1 页,总 7 页

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故输入的 S 值为 94 故选 C. 考点:循环结构;设计程序框图解决实际问题. 6.D 【解析】试题分析:若平均数为 5 ,可得 = 10,中位数为12,合题意;若平均数为 5 ,可 得 = 11,中位数为12,合题意;若平均数为14,可得 = 12,中位数为12,合题意;若平 均数为 ,可得 = 13,中位数为13,不合题意;所以该运动员这5场比赛得分的平均数不可
5 71 68 69

能为 5 ,故选 D. 考点:1、茎叶图的应用;2、中位数与平均值的性质. 7.A 【解析】如图,

71

∵1 ⊥ 2 ,∴1 2 为直角三角形, 又1 2 的面积为 9,∴|1 ||2 | = 18 在 1 2 中 , 由 勾 股 定 理 得 : |1 |2 + |2 |2 = |1 2 |2 ? 2(2 ? 2 ) = |1 ||2 | = 18 ? 2 = 2 ? 2 = 9 ? = 3 , 故选 A. 8.B 【解析】由题意得,圆的方程可化为( + 2)2 + ( ? 2)2 = 2 ,则圆心(?2,2),半径为 2 ∴圆心到直线 ? + 3 = 0的距离 =
1 |?2?2+3| 2 2 2

=

∴直线被圆截得的弦长为2 2 ? 2 = 6,故选 B. 9.A 【解析】试题分析:由题意得,画出约束条件所表示的平面区域,如图所示,设目标函数

= ? , 当 = ? 过点( , )时, 目标函数取得最大值, 此时最大值为max = 5 5
6

13 7

13 5

? = ;
5 5

7

6

当 = ? 过点(1,3)时, 目标函数取得最小值, 此时最小值为min = 1 ? 3 = ?2, 所以 ? 的取值范围是[?2, 5],故选 A.

答案第 2 页,总 7 页

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考点:简单的线性规划求最值. 10.C 【解析】由三视图可知:该几何体的直观图如图所示, 由三视图特征可知, ⊥平面, ⊥平面, ⊥ , = = = 4, = 2,面积最小的为侧面, ∴ = 2 × 4 2 × 2 = 4 2 故选:D.
1

11.D 【解析】设 (, ? ? ) , ∵直线 : + + = 0与点(0,2),直线 上存在点 满足| |2 + | |2 = 10, ∴2 + ( + )2 + 2 + (? ? ? 2)2 = 10, 整理,得42 + 2(2 + 2) + 2 + ( + 2)2 ? 10 = 0 ①, ∵直线 上存在点 M,满足| |2 + | |2 = 10, ∴方程①有解, ∴ ≥ 0, 解得:?2 2 ? 1 ≤ ≤ 2 2 ? 1 , 故选:D. 12.B 【解析】由题意,得 = 3, ∴ = , ∴越大越小,而双曲线与直线相切时,最大
答案第 3 页,总 7 页
3

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设双曲线为 ?

2

2 = 9?

2 1 ,把直线 = ? 1代入,化简整理可得(9 ? 2 )2 + 2 ? 10+ =

0 由△=0,解得:= 5, 于是 = 5, =
3 5 5

.

故选:B. 【点睛】本题主要考查了直线与双曲线的位置关系,考查了双曲线的几何性质,联立方程利 用根的判别式 = 0 求解,解题的关键是分析确定双曲线与直线相切时,最大,进而得到 此时最小. 13.
6 3

【解析】由题意可得, = 45°,则由正弦定理得,sin = sin ? 14. 4 ?
2 2
3






2 2

=

1
3 2

? =

6 3

.

=1


【解析】由题意可得,双曲线的渐近线方程为: = ± ,将点(2, 3)代入到 = 得, 3 = 2,又 = 7,则2 = 4, 2 = 3,双曲线的方程为: 4 ?
2 2
3

= 1.

15.30 【解析】试题分析:由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率,所有小长方形面积 和为 1, 因此分数在[70, 80) 内的概率为 人数为 考点:频率分布直方图 ,

16. 【解析】根据椭圆定义知:4a="12," 得 a="3" , 又

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 17. (1)∈ [4, +∞); (2) ∈ [?4, ?1) ∪ (5,6]. 【解析】试题分析:先解得: ∈ [?1,5], : ∈ [1 ? , 1 + ].(1)由于是的充分条件,故 [?1,5] ? [1 ? , 1 + ], 由此解得∈ [4, +∞; (2) 当= 5时, : ∈ [?4,6].由于 ∨ 真, ∧ 假,故, 一真一假.分别令真假和假真,求得的取值范围. 试题解析: (1)对于: = [?1,5],对于q: = [1 ? , 1 + ], 由已知, ? ,∴{1-m ≤ ?1,∴∈ [4, +∞). 1 + ≥ 5, (2)若真:?1 ≤ ≤ 5,若q真:?4 ≤ ≤ 6, 由已知,、q一真一假.
答案第 4 页,总 7 页

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①若真q假,则{

?1 ≤ ≤ 5 ,无解; < ?4 或 > 6

②若假q真,则{ < ?1 或 > 5,∴的取值范围为[?4, ?1) ∪ (5,6]. ?4 ≤ ≤ 6 18.(1) 0.6 (2) ①15 种 ②5 【解析】试题分析: (1)首先将 3 项指标相加,求出综合指标 S.然后找出其中 ≤ 4的产品, 便可估计出该批产品的一等品率 ( . 2) (1) 根据 (1) 题结果可知, 1 、 2 、 4 、 5 、 7 、 9 为一等品, 共 6 件.从这 6 件一等品中随机抽取 2 件产品的所有可能结果为: {1 , 2 }, {1 , 4 }, {1 , 5 }, {1 , 7 } , {1 , 9 } , {2 , 4 }, {2 , 5 }, {2 , 7 }, {2 , 9 }, {4 , 5 }, {4 , 7 }, {4 , 9 }, {5 , 7 }, {5 , 9 }, {7 , 9 }, 共 15 种 ( . 2) 在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为1 、2 、5 、7 ,则事件 B 发生 的所有可能结果为{1 , 2 }, {1 , 5 }, {1 , 7 }, {2 , 5 }, {2 , 7 }, {5 , 7 }共 6 种.由古典概型概率公 式可得事件 B 发生的概率. 试题解析: (1)10 件产品的综合指标 S 如下表所示: 产品编 号
2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

S

4

4

6

3

4

5

4

5

3

5

其中 ≤ 4的有1 、2 、4 、5 、7 、9 ,共 6 件,故该样本的一等品率为

6 10

= 0.6,从而可估

计该批产品的一等品率为0.6. (2) (1)在该样本的一等品中,随机抽取 2 件产品的所有可能结果为 {1 , 2 }, {1 , 4 }, {1 , 5 }, {1 , 7 } , {1 , 9 }, {2 , 4 }, {2 , 5 }, {2 , 7 }, {2 , 9 }, {4 , 5 }, {4 , 7 }, {4 , 9 }, {5 , 7 } , {5 , 9 }, {7 , 9 } , 共 15 种.(2)在该样本的一等品中,综合指标 S 等于 4 的产品编号分别为1 、2 、5 、7 ,则 事件 B 发生的所有可能结果为 {1 , 2 }, {1 , 5 }, {1 , 7 }, {2 , 5 }, {2 , 7 }, {5 , 7 }共 6 种 . 所以

() = 15 = 5.
考点:1、频率;2、基本随机事件;3、古典概型. 19. (1)椭圆的方程为 + 2 = 1; (2)|AB| =
4

6

2

2

8 5

【解析】试题分析: (1)利用椭圆长轴长设出椭圆方程,利用点在椭圆上,求出,即可得 到椭圆方程; (2)设出,直线 的方程,联立直线与椭圆方程,设出坐标,求出线段的长 度即可. 试题解析:(1)因为椭圆的焦点在轴上且长轴长为4, 故可设椭圆的方程为: 4 + 2 = 1(0 < < 2), 因为点(1, 2 )在椭圆上,所以4 + 42 = 1, 解得2 = 1,
答案第 5 页,总 7 页
3 1 3

2

2

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∴椭圆的方程为 + 2 = 1.
4

2

(2)由题意直线 的斜率是1,过( 3, 0), 故直线 的方程是: = ? 3, 将 = ? 3代入到方程 4 + 2 = 1中,则52 ? 8 3 + 8 = 0 故1 + 2 = 故|AB| = 5. 20. (1) = ;(2) + + = 5 + 7.
3 π 8 8 3 5

2

, 1 2 = ,
5

8

【解析】试题分析: (1)已知等式利用正弦定理化简,整理后利用两角和与差的正弦函数公 式及诱导公式化简,根据sin 不为 0 求出cos的值,即可确定出 的度数; (2)利用余弦定理列出关系式,利用三角形面积公式列出关系式,求出 + 的值,即可求 的周长. 试题解析: (1)2cos(cos + cos) = 由正弦定理得:2cos(sin ? cos + sin ? cos) = sin 2cos ? sin( + ) = sin,∵ + + = π,?、???、?? ∈ (0?,??π),

∴sin( + ) = sin > 0∴2cos = 1,cos = 2,∵ ∈ (0?,??π),∴ = 3
1

1

π

(2)由余弦定理得: 2 = 2 + 2 ? 2 ? cos,7 = 2 + 2 ? 2 ? 2,( + )2 ? 3 = 7
= 2 ? sin =
1 3 4

=

3 3 2

,∴ = 6,∴( + )2 ? 18 = 7, + = 5

∴△ 周长为 + + = 5 + 7
21.(1)

=

+1 ?1

( ≥ 2);(2) =

+1
2

;

(3) 见解析.

【解析】试题分析: (1)首先利用赋值法求出数列的首项,进一步建立数列?1 和间的联 系(2)利用叠乘法求出数列的通项公式. (3)利用裂项相消法求出数列的和,进一步利用 放缩法求出结果. 试题解析:(1)由21 = (1 + 2)1 ? 1 = 21,得1 = 1

当 ≥ 2时, = ? ?1 =

(+2)?1 2

?

(+1)?1 ?1 2

? = ( + 1)?1 ( ≥ 2),即 =

+1 ?1

( ≥ 2).

(2) 由(Ⅰ),得
2 = 2 1 ,3 = 3 2 ,4 = 4 3 ,? ? =
3 4 5

+1 , ?1 +1
2

将以上( ? 1)个式子相乘,得 = (3) ∵
1 1 4 1
+2

+1
2 1

1 .而1 = 1,故 =

.

= (+1)(+3) = 2(+1 ? +3)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

= 2[(2 ? 4) + (3 ? 5) + (4 ? 6) + ? + (+1 ? +3)] = 2(2 + 3 ? +2 ? +3).
答案第 6 页,总 7 页

1

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= 3 ? +2 ? +3 < 3 . 【点睛】本题主要考查了数列的通项公式,考查了不等式的证明,确定数列的通项,利用递 推关系求数列的通项公式,属于难题,解决本类题目,需要学生掌握常见的递推关系求数列 的通项公式的方法,以及叠乘法,裂项相消法求出数列的和,合理利用放缩法证明不等式成 立是解题的关键. 22.(Ⅰ)2 +
2
4

5

2

2

5

= 1;(Ⅱ)?2 < < ?1或= 0或1 < < 2.

【解析】试题分析:(Ⅰ)设出椭圆的标准方程,利用离心率、四边形的周长进行求解;(Ⅱ) 利用平面向量的线性运算得到 的关系,联立直线与椭圆的方程,得到关于 的一元二

次方程,利用椭圆的对称性、平面向量的坐标运算和判别式进行求解. 试题解析: (Ⅰ)根据已知设椭圆的方程为2 + 2 = 1( > > 0),焦距为2 , 由已知得 =

3 2

2

2

,∴ =

3 2

, 2 = 2 ? 2 = 4 .

2

∵以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 5, ∴4 2 + 2 = 2 5 = 4 5, ∴ = 2, = 1. ∴椭圆的方程为2 +
2
4

= 1.

(Ⅱ)根据已知得(0, ),由 = ,得 ? = ( ? ). ∴ + = (1 + ).∵ + = 4,∴(1 + )=4, 若= 0,由椭圆的对称性得 = ,即 + = 0. ∴= 0能使 + = 4成立. 若≠ 0,则1 + = 4,解得 = 3.

= + 2 设(1 , 1 + ), (2 , 2 + ),由{ 2 得(2 + 4)2 + 2 + ? 4 = 0, 4 + 2 ? 4 = 0
2 2 2 2 由已知得 = 4 ? 4(2 + 4)( ? 4) > 0,即2 ? + 4 > 0. ?2
2 ?4

且1 + 2 = 2 +4 , 1 2 = 2 +4.…10 分 由 = 3得?1 = 32 ,即1 = ?32 .∴3(1 + 2 )2 + 41 2 = 0, ∴(2 +4)2 +
2 122 2 4( ?4)

2 +4

2 2 2 = 0,即 + ? 2 ? 4 = 0.
2 4?

2 2 2 2 当 = 1时, + ? 2 ? 4 = 0不成立.∴2 = 2 ∵2 ? + 4 > 0,∴
2 4? 2 ?1

2 ?1

,

2 ? + 4 > 0,即

2 2 (4? ) 2 ?1

> 0.

2 ∴1 < < 4,解得?2 < < ?1或1 < < 2.

综上述,当?2 < < ?1或= 0或1 < < 2时, + = 4. 考点:1.椭圆的标准方程;2.平面向量的线性运算;3.直线与椭圆的位置关系.

答案第 7 页,总 7 页


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