第五届全国高中数学青教师观摩与评比活动:《等比数列的前n项和公式》教案与说课稿

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课题:等比数列的前 n 项和

教材:人教版必修五§2.5.1 授课教师: 教学目标:(1)知识目标:理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法;掌握等比数列的前 n
项和公式并能运用公式解决一些简单问题; (2)能力目标:提高学生的建模意识,体会公式探求过程中从特殊到一般的思维
方法,渗透方程思想、分类讨论思想; (3)情感目标:培养学生将数学学习放眼生活,用生活眼光看数学的思维品质;
教学重点:(1)等比数列的前 n 项和公式;
(2)等比数列的前 n 项和公式的应用;
教学难点:等比数列的前 n 项和公式的推导; 教学方法:问题探索法及启发式讲授法 教 具:多媒体 教学过程: 一、复习提问
回顾等比数列定义,通项公式。

an ? q (1)等比数列定义: an?1 ( n ? 2 , q ? 0)

(2)等比数列通项公式: an ? a1 q n?1 (a1 , q ? 0)

(3)等差数列前 n 项和公式的推导方法:倒序相加法。

二、问题引入:

阅读:课本第55页“国王赏麦的故事”。
问题:如何计算 S64 ? 1 ? 2 ? 22 ? 23 ?

? 263

引出课题:等比数列的前 n 项和。

三、问题探讨:

问题:如何求等比数列?an? 的前 n 项和公式

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an

? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? a1qn?2 ? a1qn?1
回顾:等差数列的前 n 项和公式的推导方法。

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倒序相加法。

等差数列 a1, a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是 Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an

根据等差数列的定义 an?1 ? an ? d

Sn ? a1 ? (a1 ? d) ? (a1 ? 2d) ? Sn ? an ? (an ? d) ? (an ? 2d) ?

??a1 ?(n-1)d? ? ?an -(n-1)d ?

(1) (2)

(1)+(2)得: 2Sn ? n(a1 ? an )

Sn

?

n(a1 ? 2

an )

探究:等比数列的前 n 项和公式是否能用倒序相加法推导?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? an

? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? a1qn?2 ? a1qn?1

Sn

?

an?

an q

?

an q2

?

?

an qn?2

?

an q n?1

学生讨论分析,得出等比数列的前 n 项和公式不能用倒序相加法推导。 回顾:等差数列前 n 项和公式的推导方法本质。
构造相同项,化繁为简。 探究:等比数列前 n 项和公式是否能用这种思想推导?

根据等比数列的定义:

an?1 an

? (q n ? N? )

变形: anq ? an?1

具体: a1q ? a2 a2q ? a3 a3q ? a4 ……
学生分组讨论推导等比数列的前 n 项和公式,学生不难发现:
由于等比数列中的每一项乘以公比 q 都等于其后一项。
所以将这一特点应用在前 n 项和上。 由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。

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Sn ? a1 ? a1q ? a1q2 ? ? a1qn?2 ? a1qn?1

(1)

qSn ?

a1q ? a1q2 ? a1q3 ? ? a1qn?1 ? a1qn

(2)

由此构造相同项。数学具有和谐美,错位相减,从而化繁为简。

?(1) ? (2)得:(1? q)Sn ? a1 ? a1qn

当 q=1 时, Sn ? na1

当 q ? 1 时, Sn

?

a1 (1 ? q n ) 1? q

学生经过讨论还发现了其他的推导方法,让学生课后整合自己的思路,将各自的推导

过程展示在班级学习园地,同学们共享探究。 由等比数列的通项公式推出求和公式的第二种形式:

当 q ? 1 时,

Sn

?

a1 ? anq 1? q

四.知识整合:
1.等比数列的前 n 项和公式:

当 q=1 时, Sn ? na1

当q

? 1 时, Sn

?

a1 (1 ? q n ) 1? q

? a1 ? anq 1? q

2.公式特征:

⑴等比数列求和时,应考虑 q ? 1 与 q ? 1 两种情况。

⑵当 q ? 1时,等比数列前 n 项和公式有两种形式,分别都涉及四个量,四个量中“知三求
一”。

⑶等比数列通项公式结合前 n 项和公式涉及五个量, a1, q, n, an, Sn ,
五个量中“知三求二”(方程思想)。 3.等比数列前 n 项和公式推导方法:错位相减法。

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五、例题精讲:

例 1.运用公式解决国王赏麦故事中的难题。

变式练习:⑴求等比数列1,2,4,8…的前多少项和是63.

⑵求等比数列1,2,4,8…第4项到第7项的和.

例2.画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,

依次类推⑴若一共画了7个正方形,求第7个正方形的面积?

⑵若已知所画正方形的面积和为 31 ,求一共画了几个正方形,及所画的最后 4
一个正方形的面积。

解:由题意得:每个正方形的面积构成等比数列,且 a1 ? 4

q? 1 2

(1)

n?7

? a7

?

a1

? q6

?

1 16

? ? (2)

? ?

an

?

?Sn ?

?

? a1qn?1 a1 1? qn
1? q

?

?

? an

?

?

?

? 31 ?

?

?4

??

?

4

? ??

1 2

?n?1 ??

4

? ?1 ??

?

? ??

1 2

n
? ? ?

? ? ??

1? 1 2

?

?n ? ? ??an

?5 ?1
4

答:(1)第七个正方形的面积是 1 cm2 。 16

(2)一共测了5个正方形,所画的最后一个正方形的面积是 1 cm2 。 4

巩固练习:⑴已知等比数列?an? 中, a1 ? ?1 , q ? ?2 ,求 S6 。

⑵已知等比数列?an? 中, a1 ? 1 , q ? 3 , Sn ? 40 ,求n, an 。

六、课堂小结:
1、等比数列的前 n 项和公式:

当 q=1 时, Sn ? na1

当q

? 1 时, Sn

?

a1 (1 ? q n ) 1? q

? a1 ? anq 1? q

2、等比数列的前 n 项和推导方法:错位相减法。

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3、数学思想:类比,分类讨论,方程的数学思想。

七、课后作业:
基础题:课本 P61 习题 2.5 A 组 1,2
提高题:求和( (1? a) ? (2 ? a2) ? ? (2n?1 ? an )
探究与发现:查阅网络,思考等比数列前 n 项和公式还有无其它推导方法?

八、板书设计:

2.5.1 等比数列的前 n 项和

公式:

例1

例2

特征

变式练习:

巩固练习:

九、课后反思:

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