4-4 定积分与微积分基本定理_图文

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考纲要求

考情分析

从近三年的高考试题来看,本节内容要 求较低,定积分的简单计算与应用是高 1.了解定积分的 考的热点,题型均为小题,难度中低 实际背景,了解 档,主要考查微积分基本定理进行定积 定积分的基本思 分的计算,利用定积分的几何意义求平 想,了解定积分 面图形的面积.如2012年山东卷15、江 的概念. 西卷11、湖北卷3等. 2.了解微积分基 预测:2013年高考仍坚持考查利用定积 本定理的含义. 分求值,或求几何图形的面积,题型延 续选择、填空题.
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(对应学生用书 P63)

1.定积分的定义及相关概念 (1)一般地, 如果函数 y=f(x)在某个区间 I 上的图象是一条 连续不断的曲线, 那么我们就把它称为区间 I 上的 连续函数 .

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(2) 如 果 函 数 f(x) 在 区 间 [a , b] 上 连 续 , 用 分 点 a = x0<x1<?<xi-1<xi<?<xn=b 将区间[a, 等分成 n 个小区间, b] 在 每个小区间 [xi - 1 , xi] 上任取一点 ξi(i = 1,2 ,?, n) ,作和式 ,当 n→∞时,上述和式无限接近某 个常数,这个常数叫做函数 f(x)在区间[a,b]上的定积分,记 ?bf(x)dx. 作 ?
?a

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?bf(x)dx (3)在? ?a

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中, a与b

分别叫做积分下限与积分上限,

区间 [a,b] 叫做积分区间, 函数f(x) 叫做被积函数, x 叫 做积分变量, f(x)dx 叫做被积式.

(4)求曲边梯形面积的步骤: ① 分割 ;② 近似代替 ;③ 求和 ;④ 取极限 .

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2.定积分的几何意义

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(1)当函数 f(x)在区间[a,b]上恒为正时,定积分
?b ? ?a

f(x)dx 的几何意义是由直线 x=a,x=b(a≠b),y=0 和曲

线 y= f(x)所围成的曲边梯形的面积(图 1 中阴影部分).

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?b (2)一般情况下, 定积分? ?a

f(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、

曲线 f(x)以及直线 x=a、x=b 之间的曲边梯形面积的代数和 (图 2 中阴影所示),其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的积 分值,在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.

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3.定积分的性质 b k? f(x)dx ? ?bkf(x)dx= ?a (1)? (k 为常数);
?a ?b[ (2)? ?a

f(x)± g(x)]dx= f(x)dx=
?c ? ?a

?b ? ?a

? f(x)dx± g(x)dx ? ?a

b



(3)?

?b ?a

?b f(x)dx+? ?c

f(x)dx

(其中 a<c<b).

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4.微积分基本定理 一般地, 如果 f(x)是在区间[a, b]上的连续函数, F′(x) 且 = f(x).那么? ?
b

?a

f(x)dx= F(b)-F(a) .这个结论叫做微积

分基本定理,又叫做牛顿——莱布尼兹公式. 其中 F(x)叫做 f(x)的一个原函数. 为了方便,我们常把 F(b)-F(a)记作 即?
?b ?a ?b f(x)dx=F(x)? ? ?a
?b F(x)? ? ?a



=F(b)-F(a).

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问题探究:一个函数的导数是惟一的,反过来导函数的原 函数惟一吗?

提示:一个函数的导数是惟一的,而其原函数则有无穷多 个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理 求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般 使用不含常数的原函数,这样有利于计算.

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(1)用微积分基本定理求定积分时, 要掌握积分与导数的互 逆关系及求导公式的逆向形式. (2)求曲边图形区域的面积时, 要注意观察平面图形的结构 特点,灵活利用面积与定积分的关系解答. (3)用定积分知识解答实际生活、 物理学相关问题时, 要注 意积分变量的选择和积分上、下限的选取.

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(对应学生用书 P63)

利用微积分基本定理求定积分, 其关键是求出被积函数的 原函数,求一个函数的原函数与求一个函数的导数是互逆运 算,因此应注意掌握一些常见函数的导数.

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(1)(2012 年江西)计算定积 ________. (2)求下列定积分: ① (x -x)dx; ②
0 2
? ③? |3-2x|dx. ? ?1 ?1 ? ? ?



(x2 + sin

x)dx =

2

sin dx; 2

2x

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2 【答案】 (1) (2)见解析 3

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运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点: (1)对被积函数要先化简再求积分. (2)如果被积函数是绝对值函数或分段函数, 那么可以利用
?b 定积分的性质? ?a ?c f(x)dx=? ?a ?b f(x)dx+? ?c

f(x)dx,根据函数的

定义域,将积分区间分解为若干部分,代入相应的解析式,分 别求出积分值,相加即可.

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(1) (x2+2x+1)dx;
? (2)? (sin x-cos x)dx; ? ?0

?2 ? ? ?1

π

1? (3) x-x +x?dx; ?
?2 ? ? ? ? ?

?

2

1

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? 解:(1)? (x2+2x+1)dx ? ?1

2

? ? ? =? x2dx+? 2xdx+? 1· dx ? ? ? ?1 ?1 ?1

2

2

2

? ? x3? 19 ? 2? ? = 3 ? +x ? +x? = 3 . ?1 ?1 ?1
2 2 2
? ? ? (2)? (sin x-cos x)dx=? sin xdx-? cos xdx ? ? ? ?

π

π 0

π 0

0

?

?

=(-cos

?π x)? ? ?0

?π -sin x? ? ?0

=2.

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利用微积分基本定理求积分时,若被积函数较为复杂,定 积分不易求出(或者是曲边梯形面积易求)时,可考虑用定积分 的几何意义来求.

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若定积 A.-1 C.1

π 分 -x -2xdx= ,则 m 等于( 4
2

)

B.0 D.2

【思路启迪】 被积函数 y= -x2-2x的原函数不易直接 求出,其图象与圆有关,故可用定积分的几何意义求解.

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【答案】 A

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利用定积分的几何意义, 可通过图形中面积的计算来求定 积分值的大小.

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? 求定积分? ?

1

1-x2dx.
1

?0

? 解:定积分? ?

1-x2dx 的几何意义就是圆 x2+y2=1 在第
?1 ? ? ?0

?0

一象限同坐标轴围成的图形的面积,故

π 1-x dx=4.
2

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求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤: (1)画出图形; (2)确定图形的范围, 通过解方程组求出交点的横坐标, 定 出积分的上、下限; (3)确定被积函数, 特别要注意分清被积函数的上、 下位置; (4)写出平面图形面积的定积分的表达式; (5)运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面 积.
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(1)(2012 年山东)设 a>0.若曲线 y= x与直线 x=a,y=0 所围成封闭图形的面积为 a2,则 a=________. (2)(2012 年广东惠州高三模拟)由曲线 y=x2, y=x3 围成的 封闭图形面积为 1 A. 12 1 C. 3 1 B. 4 7 D. 12 ( )

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?y=x2 ? (2)(2)由? 3 ? y=x ?
2 3

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,得 x=0 或 1,由图易知封闭图形的面积

1 1 1 = (x -x )dx=3-4=12,故选 A.

4 【答案】 (1) (2)A 9
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(1)利用定积分求面积问题时, 第一要准确确定所求面积的 范围, 正确选择被积函数, 第二要准确确定积分的上、 下限. 这 两点在定积分的应用中尤为重要,必须要搞清楚.例 3(1)x≥0 就是一个关键的隐含条件,只有确定 x 的范围,才能准确确定 积分的上、下限.

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(2)在利用定积分的几何意义计算定积分时, 既可以选择以 x 为积分变量,也可以选择以 y 为积分变量,要结合题意灵活 选择简单的求解方式.对于例 3(1)的求解以 x 为积分变量就很 简单,以 y 为积分变量就需要求直线 x=a 与曲线 y= x的交 点坐标,且在结合已知条件确定积分上、下限时,容易出错.

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(2012 年上海)已知函数 y=f(x)的图象是折线段 ABC, 其中 1 A(0,0),B( ,5),C(1,0).函数 y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与 x 轴 2 围成的图形的面积为________.

1 ? ?10x,0≤x≤2, 解析:由题意 f(x)=? ?-10x+10,1<x≤1, 2 ? 1 ? 2 ?10x ,0≤x≤2, 则 xf(x)=? ? -10x2+10x,1<x≤1. 2 ?
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5 答案: 4

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定积分在物理中的应用,主要包括:①求变速直线运动的 路程;②求变力所做的功两部分内容. (1)要求一个物体在一段时间内的位移, 只要求出其运动的 速度函数, 再利用微积分基本定理求出该时间段上的定积分即 可,即物体做变速直线运动的路程 s,等于其速度函数 v= v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a, b]上的定积分? v(t)dt.另外物体做变 ?
?a
b

速直线运动的速度 v, 等于其加速度函数 a=a(t)在时间区间[a,
?ba(t)dt. b]上的定积分? ?a

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(2)如果变力 F(x)使得物体沿力的方向由 x=a 运动到 x= b(a<b),则变力 F(x)对物体所做的功 W=? F(x)dx. ?
?a
b

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列车以 72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度 a =-0.4 m/s2,问列车应在进站前多长时间,以及离车站多远 处开始制动?

【解】 a=-0.4 m/s2,v0=72 km/h=20 m/s. 设 t s 后的速度为 v,则 v=20-0.4t. 令 v=0,即 20-0.4t=0,得 t=50(s).

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设列车由开始制动到停止所走过的路程为 s, 则 s=∫50vdt=∫50(20-0.4t)dt 0 0 =(20t-0.2t2)|50=20×50-0.2×502=500(m), 0 即列车应在进站前 50 s 和进站前 500 m 处制动.

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位移 s(t)关于时间 t 的函数的导数是速度 v(t),速度 v(t)关 于时间 t 的函数的导数是加速度 a(t); 反之, 加速度 a(t)关于时 间 t 的函数的定积分是速度 v(t), 速度 v(t)关于时间 t 的函数的 定积分是位移 s(t).

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2012 年 7 月 2 日,美国费米国家加速器实验室宣布,接 近发现“上帝粒子”的存在, 再次把人们的目光聚集在微观世 m1m2 界. 按万有引力定律, 两质点间的吸引力 F=k 2 , 为常数, k r m1,m2 分别为两质点的质量,r 为两质点间的距离,若两质点 起始距离为 a, 质点 m1 沿直线移动至离质点 m2 的距离为 b 处, 则吸引力所做的功(b>a)为________.

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b b 解析:W= ? F(x)dx= ? k ? ? ?a ?a

m1m2 dr=km1m2· (-1)·- 1|b =- r a 2 r

km1m2· r

-1

1 1 b |a=km1m2( - ). a b

1 1 答案:km1m2( - ) a b

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(对应学生用书 P65)

易错点 对定积分的几何意义理解不到位

5 求曲线 f(x)=sin x, x∈[0, π]与 x 轴围成的图形的面积. 4 5 【错解】 设曲线 f(x)=sin x,x∈[0,4π]与 x 轴围成的图

形的面积为 S,

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【错因分析】 本题的错误在于没有理解定积分的几何意 义,当对应的曲边梯形位于 x 轴下方时,定积分的值取负值, 其面积应是该定积分的相反数.

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利用定积分求图象所围成的阴影部分的面积时, 要注意利 用数形结合的方法确定出被积函数和积分的上限与下限, 但也 要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负,另外在求定积 分时还要注意:(1)将要求面积的图形进行科学而准确的划分, 可使面积的求解变得简捷. (2)被积函数若含有绝对值号, 应去 绝对值号,再分段积分.(3)若积分式子中有几个不同的参数, 则必须先分清谁是被积变量.

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?-1 求定积分:? ?-2

3-4x-x2dx.

解:设 y= 3-4x-x2,则(x+2)2+y2=1(y≥0).
-1 ∵? ? ?-2 -1 ∴? ? ?-2

1 3-4x-x dx 表示以 1 为半径的圆的面积的4,
2

π 3-4x-x dx=4.
2

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1.求定积分的方法 (1)利用定义求定积分(定义法),可操作性不强. (2)利用微积分基本定理求定积分步骤如下: ①求被积函数 f(x)的一个原函数 F(x);②计算 F(b)-F(a). (3)利用定积分的几何意义求定积分 当曲边梯形面积易求时, 可通过求曲边梯形的面积求定积 分.如本节例 2.

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2.求曲边多边形的面积 其步骤为: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图 象. (2)借助图形确定被积函数, 求出交点坐标, 确定积分的上 限、下限. (3)将曲边梯形的面积表示为若干定积分之和. (4)计算定积分.

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不规则积分区间的求解方法 求复杂曲边图形的面积时,要画出草图,把复杂的图形分 割成几个较为简单的图形, 对于每个简单的图形分别使用定积 分求出其面积,然后再进行求和.

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在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定点 t 的值, 使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值.

【思路启迪】 (1)题目要求是求 S1 与 S2 之和最小,所以 要先构造 S=S1+S2 的函数,利用函数思想求解.(2)S1、S2 的 面积只能通过定积分求解,所以要选准积分变量.
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【解】 S1 面积等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y =x2 与 x 轴、直线 x=t 所围成的面积, 23 即 S1=t· - x dx= t . t 3 0
2
?t ? ? ?

2

S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积 去掉矩形面积,矩形边长分别为 t2,1-t, 23 2 1 即 S2= x dx-t (1-t)=3t -t +3.
?1 ? ? ?

2

2

t

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所以阴影部分面积 43 2 1 S=S1+S2=3t -t +3(0≤t≤1). 1 1 令 S′(t)=4t -2t=4t(t- )=0 时,得 t=0 或 t= . 2 2
2

1 1 1 2 t=0 时,S=3;t=2时,S=4;t=1 时,S=3. 1 1 所以当 t=2时,S 最小,且最小值为4.

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(1)本题既不是直接求曲边梯形面积问题, 也不是直接求函 数的最小值问题,而是先利用定积分求出面积的和,然后利用 导数的知识求面积和的最小值, 难点在于把用导数求函数最小 值的问题置于先求定积分的题境中, 突出考查学生知识的迁移 能力和导数的应用意识. (2)本题易错点有: 一是缺乏函数的意识; 二是不能正确选 择被积区间.

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如图所示, 已知曲线 C1: 2 与曲线 C2: y=x y=-x2+2ax(a>1) 交于点 O,A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1,C2 分别相交于点 D,B,连接 OD,DA,AB.

(1)写出曲边四边形 ABOD(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数 关系式 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.
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【解】
?x=a, ? ? ?y=a2, ?

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?y=x2, ? (1)由? ?y=-x2+2ax, ? ?x=0, ? 解得? ?y=0 ?

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∴O(0,0),A(a,a2).

又由已知得 B(t,-t2+2at),D(t,t2), 1 1 2 ∴S= (-x +2ax)dx-2t×t +2(-t2+2at-t2)×(a-t)
?t ? ? ?

2

0

1 3 13 2 t =(-3x +ax )|0-2t +(-t2+at)×(a-t)
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13 2 1 3 =- t +at - t +t3-2at2+a2t 3 2 13 = t -at2+a2t. 6 13 ∴S=f(t)= t -at2+a2t(0<t≤1). 6 12 (2)f′(t)= t -2at+a2,令 f′(t)=0, 2 12 即 t -2at+a2=0. 2 解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a. ∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+ 2)a 应舍去.
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2+ 2 1 当(2- 2a)≥1,即 a≥ = 时, 2 2- 2 ∵0<t≤1,∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增, 1 S 的最大值是 f(1)=a -a+6.
2

2+ 2 若(2- 2)a<1,即 1<a< 时, 2 当 0<t<(2- 2)a 时,f′(t)>0. 当(2- 2)a<t≤1 时,f′(t)<0.

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∴f(t)在区间(0, (2- 2)a]上单调递增, 在区间[(2- 2)a,1] 上单调递减. ∴f(t)的最大值是 f((2- 2)a) 2 2-2 3 1 3 2 2 = [(2- 2)a] -a[(2- 2)a] +a (2- 2)a= a. 6 3

? 2 ?a -a+1,a≥2+ 2, 6 2 ? 综上所述 f(t)max=? 2+ 2 ?2 2-2 3 ? 3 a ,1<a< 2 . ?
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(1)由函数图象或解析几何中曲线围成的曲线图形面积的 计算及应用,一般转化为定积分的计算及应用,但一定要找准 积分上限、下限及被积函数,且当图形的边界不同时,要分不 同情况讨论解决. (2)对于定积分与函数、方程、不等式等问题的综合题,求 解时,除用好定积分的知识外,还要适时地用好涉及到的知识 及处理相关问题的规律方法.

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【试一试】 1.由抛物线 y=x2-1,直线 x=0,x=2 及 x 轴围成的图 形面积为________.

解析:如图所示,由 y=x2-1=0, 得抛物线与 x 轴的交点分别为(-1,0)和(1,0).

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? 所以 S=? |x2-1|dx ? ?0

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2

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? ? =? (1-x2)dx+? (x2-1)dx ? ? ?0 ?1

1

2

? x3? 1 ?x3 ? 2 =?x- 3 ?|0+? 3 -x?|1 ? ? ? ? ?1 ?? ? 1? ?8 =?1-3?+?3-2-?3-1?? ? ?? ? ? ?

=2.
答案:2

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数学(理)

2.曲线 y=x2+2 与直线 5x-y-4=0 所围成的图形的面 积等于________.
?y=x2+2, ? 解析:由? ?5x-y-4=0, ?

消去 y,得 x2-5x+6=0,解得

x1=2,x2=3. 如图所示,当 2<x<3 时,直线 5x-y-4=0 在曲线 y=x2 +2 的上方,

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?3 ? ? ?

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数学(理)

所以所求面积为 [(5x-4)-(x2+2)]dx
2

= [(5x-x2-6)]dx
?5 2 1 3 ?3 =? x - x -6x?|2 3 ?2 ? ?5 ? ?5 ? 1 3 1 3 2 2 =? ×3 - ×3 -6×3?-? ×2 - ×2 -6×2? 3 3 ?2 ? ?2 ? ? 9? ? 14? =?-2?-?- 3 ? ? ? ? ?

?3 ? ? ?2

1 = . 6 1 答案: 6
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