高中数学 第一章 计数原理 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(2)学案新人教A版选修2-3

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(2)
【学习目标】 通过体验“发现规律、寻找联系、探究证明、性质运用”的学习过程,掌握二项式系数的一 些性质,体会应用数形结合、特殊到一般进行归纳、赋值法等重要数学思想方法解决问题的 过程,培养问题意识,提高思维能力,孕育创新精神,激发探索、研究数学的热情。 【能力目标】 掌握二项式系数的性质,培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 【重点难点】 利用二项展开式证明或说明整除性和余数问题。二项式定理的正反应用; 【学法指导】 加深理解“杨辉三角数与二项式系数”关系,增加二项展开式的特征印象,联想其相关的方 法与应用范围和场合。 【学习过程】 一.【课前复习】
0 1 复习: 一般地, (a ? b) 展开式的二项式系数 Cn , Cn ,
n

n 有如下性质 , Cn

m n ?m ① Cn ; ? Cn m m?1 m ② Cn ? Cn ? Cn ?1 ;
n 2 n n ?1 2 n n ?1 2 n

③当 n 为偶数时, C 最大,当 n 为奇数时, C
0 1 ④ Cn ? Cn ? n ? Cn ? 2n ;

?C

且最大;

二. 【课堂学习与研讨】 例 1:求证: 3 证明: 3
2n?2

2 n? 2

? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除.

? 8n ? 9 ? 9n?1 ? 8n ? 9

? (8 ? 1)n?1 ? 8n ? 9 ? 9(8 ? 1)n ? 8n ? 9
0 n 1 n?1 ? (8 ?1)(Cn 8 ? Cn 8 ? 0 n?1 1 n ? (Cn 8 ? Cn 8 ? 0 n?1 1 n ? (Cn 8 ? Cn 8 ? n?1 n ? Cn 8 ? Cn ) ? 8n ? 9 n?1 n ? Cn 8 ? Cn ) ? 8n ? 9

n?1 2 n 0 n 1 n?1 ? Cn 8 ? Cn 8) ?(Cn 8 ? Cn 8 ? n?1 2 0 n 1 n?1 ? Cn 8 ) ? (Cn 8 ? Cn 8 ?

n ?2 2 ? Cn 8)

当 n ? 1 时, 3

2n? 2

? 8n ? 9 ? 81 ? 8 ? 9 ? 64 ,能被 64 整除;
n?1 2 0 n 1 n?1 ? Cn 8 ) ? (Cn 8 ? Cn 8 ? n ?2 2 ? Cn 8 ) 每一项都可以被

0 n?1 1 n 当 n ? 2 时, (Cn 8 ? Cn 8 ?

64 整除,因此, 32n?2 ? 8n ? 9(n ? N * ) 能被 64 整除。 还能其他方法证明吗?数学归纳法 试一试: ①今天是星期五,那么 8
100

后的这一天是星期几?
r ? C100 7100?r ? 99 100 ? C100 7 ? C100

0 1 解: 8100 ? (7 ? 1)100 ? C100 7100 ? C100 799 ? 0 1 ? 7(C100 799 ? C100 798 ? 99 ? C100 ) ?1
1000

余数是 1,所以是星期六.若 3

天后的这一天是星期几?

例 2.在 ( x2 ? 3x ? 2)5 的展开式中 x 的系数为多少?
4 解: ( x ? 3x ? 2) ? ( x ? 1) ( x ? 2) ;在 ( x ? 1) 中的常数项和 x 的项分别是 1, C5 x;
2 5 5 5 5

4 在 ( x ? 2) 中的常数项和 x 的项分别是 32,24 C5 所以, 在 ( x ? 3x ? 2) 的展开式中 x 的 x,
5 2 5

4 系数是 24 C5 ? 32C54 ,即 240.

三. 【课堂检测】 1. 2 ? 3 除以 7 的余数是
30

.
10

0 10 1 9 解: 2 ? 3 ? 8 ? 3 ? (7 ? 1) ? 3 ? C10 7 ? C10 7 ?
30 10

9 10 ? C10 7 ? C10 ?3

0 10 1 9 ? C10 7 ? C10 7 ?
30

9 ? C10 7?2

所以, 2 ? 3 除以 7 的余数是 5. 2. 55 ? 15 除以 8 的余数是
55

.

解: 55 ? 15 ? (56 ? 1) ? 15
55 55

0 1 ? C55 56 ? C55 56 ?
55

54 55 0 1 ? C55 56 ? C55 ? 15 ? C55 56 ? C55 56 ?

54 ? C55 56 ? 16

所以, 55 ? 15 除以 8 的余数是 0

1 2 3 3. Cn ? 2Cn ? 4Cn ?

n 等于(C 2n?1 Cn

)

A. 3

n

B. 3 ? 1
n

C.

3n ? 1 2

D.

3n ?1 2

1 2 3 解: Cn ? 2Cn ? 4Cn ?

1 1 2 3 n n ? (Cn 2 ? 22 Cn ? 23 Cn ? 2n Cn ) 2n?1 Cn 2 1 0 1 1 1 2 3 n ? (Cn ? Cn 2 ? 2 2 Cn ? 2 3 Cn ? 2 n Cn ? 1) ? [(1 ? 2) n ? 1)] ? (3n ? 1) ,故选 C。 2 2 2

4.求 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ?
3 3 3 解: C3 ? C4 ? C5 ? 4 3 3 ? C5 ? C5 ? C6 ?

? (1 ? x)16 的展开式中 x3 项的系数
3 4 3 3 ? C16 ? C4 ? C4 ? C5 ? 3 ? C16 3 ? ? C16 4 ? C16 ? 1820

3 4 3 ? C16 ? C6 ? C6 ?

3 4 ? C16 ? C7 ?

所以, (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? 5.求值:

? (1 ? x)16 的展开式中 x3 项的系数是 1820.

1 2 2 4 3 6 4 8 5 10 ① 1 ? C5 2 ? C5 2 ? C5 2 ? C5 2 ? C5 2 ? 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5 解:原式 ? C5 ? C5 4 ? C5 4 ? C5 4 ? C5 4 ? C5 4 ? (1 ? 4) ? 5
5 5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 ② 310 ? 39 C10 ? 38 C10 ? 37 C10 ? 36 C10 ? 35 C10 ? 34 C10 ? 33 C10 ? 32 C10 ? 3C10 ?

解:原式 ? (3 ? 1) ? 1 ? 2 ? 1
10 10

四. 【课堂小结】 1.求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值,赋值的选择则需根 据所求的展开式系数和特征来确定. 2(1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在 展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记 准、记熟二项式 (a ? b) 的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提.
n

(2)逆用二项式定理更要注意二项展开式的结构特点,如果项的系数是正负相间,则是

(a ? b)n 的形式.
3. 解决与杨辉三角有关的问题的一般思路是:通过观察找出每一行数据间的相互联系以及 行与行间数据的相互联系.然后将数据间的这种联系用数学式子表达出来,使问题得解.注 意观察方向:横看、竖看、斜看、连续看、隔行看、从多角度观察

【课外作业】 1. (1 ? x)2n +1 ( n ? N )的展开式中,二项式系数最大的项所在的项数是
*





A.n,n+1

B.n-1,n

C.n+1,n+2

D.n+2,n+3

解:因为 2n ? 1 为奇数,所以展开式中中间两项的二项式系数最大,中间两项的项数是

n+1,n+2.
C 2.已知 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ?

? (1 ? x)n ? a0 ? a1x ? a2 x2 ?
( C.4 )

? an xn (n ? N* ) ,若

a0 ? a1 ?
A.5

? an ? 30 ,则 n 等于
B.3

D.7

解:令 x ? 1 得 a0 ? a1 ? C

? an ? 2 ? 22 ?

? 2n ? 30 得 n ? 4 .

3. (a ? a )n 的展开式中奇数项系数和为 512 ,则展开式的第八项 T8 ? ________.
0 2 4 解: Cn ? Cn ? Cn ?
13 2
7 3 a ( a )7 ? 120a 2 . ? 2n?1 ? 512 ? 29 ,所以 n ? 10 ,所以 T8 ? C10

13

120a

4. (1 ?

x )n 展开式中的各项系数的和大于 8 而小于 32,则系数最大的项是__________.
r ? Cn ? n ? Cn ? 32 ,即 8 ? 2n ? 32 .所以 n ? 4 .所以展开

0 1 2 解:因为 8 ? Cn ? Cn ? Cn ?

2 式共有 5 项,系数最大的项为 T3 ? C4 ( x )2 ? 6 x . 6 x
5

5.求 1.997 精确到 0.001 的近似值. 解: 1.997 ? (2 ? 0.003)
5 5

0 5 1 4 2 3 3 2 4 5 ? C5 2 ? C5 2 ? 0.003 ? C5 2 ? 0.0032 ? C5 2 ? 0.0033 ? C5 2 ? 0.0034 ? C5 0.0035

? 32 ? 80 ? 0.003 ?
9

? 32.24

6.在二项式 (2x ? 3y) 的展开式中,求: (1)二项式系数之和; (2)各项系数之和;

(3)所有奇数项系数之和; (4)系数绝对值的和. 解: 设 (2x ? 3 y)9 ? a0 x9 ? a1x8 y ? a2 x7 y 2 ?
0 1 2 (1)二项式系数之和 C9 ? C9 ? C9 ?

? a9 y9 .

9 ? C9 ? 29 .

(2)各项系数之和 a0 ? a1 ? a2 ? 令 x ? 1 , y ? 1 ,得 a0 ? a1 ? a2 ? (3)由(2)知 a0 ? a1 ? a2 ?

? a9 ,

? a9 ? (2 ? 3)9 ? ?1 .

? a9 ? ?1 ,

令 x ? 1 , y ? ?1 ,可得 a0 ? a1 ? a2 ?

? a9 ? 59 ,
59 ? 1 . 2

以上两式相加可得 a0 ? a2 ? a4 ? a6 ? a8 ? (4)方法一   | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ? 方法二 | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ?

? | a9 |? a0 ? a1 ? a2 ? a3 ?

? a9 ? 59 .

? | a9 | 即为 (2x ? 3y)9 展开式中各项系数之和,

令 x ? 1 , y ? 1 得,   | a0 | ? | a1 | ? | a2 | ?

? | a9 |? 59 .

【归纳】“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给 字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令 x=0 可得常数项,令 x =1 可得所有项系数之和,令 x=-1 可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.


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