江苏省扬州市2014-2015学年高二数学下学期期末考试试题-理

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2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试

注意事项:

数 学 (理科)试 题Ⅰ
(全卷满分 160 分,考试时间 120 分钟)

2015.6

1. 答卷前,请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方.

2.试题答案均写在答题卷相应位置,答在其它地方无效.

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填写在答题卷相应位置)

1.已知集合 A ? {x x ? 0} , B ? {?1,0,1,2},则 A B ?





2.命题:“ ?x ? R , 3x ? 0 ”的否定是 ▲



3.已知复数 z ? (1? i)i ( i 为虚数单位),则 | z |?





4.“ ? ? ? ”是“ tan? ?1”的



4

条件.(从 “充分不必要”、“必要不

充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中,选出适当的一种填空)

5.正弦曲线 y ? sin x 在 x ? ? 处的切线的斜率为





6

6.方程 C1x1

?

C2x?4 11

的解为





7.四位外宾参观某校,需配备两名安保人员.六人依次进入校门,为安全起见,首尾一定 是两名安保人员,则六人的入门顺序共有 ▲ 种不同的安排方案(用数字作答).

8.若函数 y ? f (x) 为定义在 R 上的奇函数,且在区间 (??,0] 上是减函数,则不等式

f (ln x) ? f (1) 的解集为





9.设数列{an} 满足 a1 ? 3 , an?1 ? an2 ? 2nan ? 2 , n ?1, 2,3, ,通过计算 a2 , a3 , a4 ,试归

纳出这个数列的通项公式 an ? ▲



10.将函数 y ? sin 2x 的图象沿 x 轴向左平移 ? 个单位,纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不 6

变)后得到函数 y ? f (x) 图象,对于函数 y ? f (x) 有以下四个判断:

①该函数的解析式为 y ? 2sin(2x ? ? ) ; 6
②该函数图象关于点 (? ,0) 对称; 3
③该函数在[0, ? ]上是增函数; 6
④若函数 y ? f (x) ? a 在[0, ? ] 上的最小值为 3 ,则 a ? 2 3 . 2

1

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其中,正确判断的序号是 ▲ .(写出所有正确判断的序号)

11.已知定义在 R 上的奇函数 f (x) 和偶函数 g(x) 满足关系 f (x) ? g(x) ? (1)x ,则 3
f (1) ▲ g(0) .(从“ ? ”,“ ? ”,“ ? ” 中,选出适当的一种填空)

12.已知 f (x) ? cos x ? cos(? ? x) ? 2 cos xsin(2? ? x) ,若 f (x) ? 2 ,0 ? x ? ? ,则 x 的值为

2

4

▲.

13 . 已 知 函 数

f

(

x)

?

? ??

x?

?

?2x?2

1 , x ?[1, 3)

2

2

?1, x ?[ 3 ,3)

.若存在

x1



x2

, 当 1 ? x1 ? x2 ? 3 时 ,

??

2

f

(x1) ?

f (x2 ) ,则

f

(x2 ) x1

的取值范围是





14.若实数

x



y

满足

log3

[2

cos2

(xy

)?

8

1 cos2

(xy

)

]?

lny ?

y? 3

lne ? 3

0,其中 e 为自然对

数的底数,则 (cos 6x)y 的值为





二、解答题(本大题共 6 小题,计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分 14 分)

已知: sin? ? 4 3 , sin(? ? ? ) ? 3 3 ,且 0 ? ? ? ? ? ? .

7

14

2

求: (1) tan 2? 的值;

(2)角 ? 的大小.

16.(本小题满分 14 分)
设命题 p :函数 f (x) ? lg(x2 ? ax ?1) 的定义域为 R;命题 q :函数 f (x) ? x2 ? 2ax ?1在 (??, ?1]
上单调递减. (1)若命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假,求实数 a 的取值范围; (2)若关于 x 的不等式 (x ? m)(x ? m ? 5) ? 0(m? R) 的解集为 M;命题 p 为真命题时, a 的取
值集合为 N.当 M N ? M 时,求实数 m 的取值范围.

2

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17.(本小题满分 15 分) 已知函数 f (x) ? sin2 x ? 2sin x cos x ? 3cos2 x . (1)求函数 f (x) 的最小正周期; (2)当 x ?[5? ,11? ]时,求函数 f (x) 的值域;
24 24 (3)当 x ?(? 9? ,? 7? ) 时,设经过函数 f (x) 图象上任意不同两点的直线的斜率为 k ,试判断
88 k 值的符号,并证明你的结论.

18.(本小题满分 15 分) 如图,折叠矩形纸片 ABCD,使 A 点落在边 BC 上的 E 处,折痕的两端点 M 、 N 分别在线

段 AB 和 AD 上(不与端点重合).已知 AB ? 2 , BC ? 4 3 ,设 ?AMN ?? . 3

(1) 用? 表示线段 AM 的长度,并求出? 的取值范围;

(2)试问折痕 MN 的长度是否存在最小值,若存在,求出此时 cos? 的值;若不存在,请说明

理由.

A

ND

θ M

BE

C

(第 18 题图)

3

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19.(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x) ? log3 x .
(1)若 g(2x ?1) ? f (x) ,求函数 g(x) 的解析式,并写出 g(x) 的定义域; (2)记 h(x) ? f (x ? a) . ①若 y ?| h(x) |在 [1, 3] 上的最小值为 1,求实数 a 的值;
2 ②若 A(x ? a, y1) , B(x, y2 ) , C(3 ? a, y3 ) 为 y ? h(x) 图象上的三点,且满足 y1 , y2 , y3 成等差
数列的实数 x 有且只有两个不同的值,求实数 a 的取值范围.
20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f (x) ? x2 ? 5x ?1 , g(x) ? ex .
(1)求函数 y ? f (x) 的极小值; g(x)
(2)设函数 y ? f '(x) ? a ? g(x) (a ? R) ,讨论函数在 (??,4] 上的零点的个数; (3)若存在实数 t ?[0, 2] ,使得对任意 x ?[1, m] ,不等式[xf (x) ? t]? g(x) ? x 恒成立,求正整
数 m 的最大值.
4

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2014-2015 学年度第二学期高二期末调研测试 数 学 (理科)试 题Ⅱ
(全卷满分 40 分,考试时间 30 分钟)
21.(本小题满分 10 分) 已知 ( x ? 1 )n 展开式中各项的二项式系数和为 64.
4x (1)求 n 的值; (2)求展开式中的常数项.

2015.6

22.(本小题满分 10 分) 我市某商场为庆祝“城庆 2500 周年”进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有 8 只除颜色
外,其它完全相同的彩球,其中仅有 5 只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球, 共取三次,拿到红色球的个数记为 X . (1)若取球过程是无放回的,求事件“ X ? 2 ”的概率; (2)若取球过程是有放回的,求 X 的概率分布列及数学期望 E( X ) .

D1
23.(本小题满分 10 分)
如图,正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中,错误!未找到引用源。.A1

C1 B1

(1)点 P 为棱 CC1 上一动点,求证: AP ? B1D1 ;

(2)求 AD1 错误!未找到引用源。与平面 A1CD 错误!未找到引用源。所成角的正P 弦值.

D

C

A

B

24.(本小题满分 10 分)

(第 23 题图)

设 an 为下述正整数 N 的个数: N 的各位数字之和为 n ,且每位数字只能取 1,3 或 4.

(1)求 a1 , a2 , a3 , a4 的值;

5

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(2)对 ?

n?N

* ,试探究

a2n

?

a2n?2



a2 2 n?1

的大小关系,并加以证明.

一、填空题:

2015 年 6 月高二期末调研测试 理科数学试题参考答案

1.{?1,0} 2. ?x ? R , 3x ? 0 3. 2

4.充分不必要

6.4 或 5 7.48

11. ?

12. 7? 12

二、解答题:

8. (e, ??)
13. ( 4 , 2] 3

9. 2n ?1
14. ? 1 8

10.②④

5. 3 2

15.解:(1)∵ sin? ? 4 3 , 0 ? ? ? ? ∴ cos? ? 1 , tan? ? 4 3

7

2

7

…………3 分

∴ tan 2? ? ? 8 3 47

…………7 分

(2)∵ sin(? ? ? ) ? 3 3 且 0 ? ? ? ? ? ? ∴ 0 ? ? ? ? ? ? 且 cos(? ? ? ) ? 13

14

2

2

14

……9 分

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? 1 ? 13 ? 4 3 ? 3 3 ? 1 (求出 sin ? ? 3 也可)…………12 分

7 14 7 14 2

2

∵0?? ?? ∴? ?? .

2

3

…………14 分

16.解:(1)若 p 真:即函数 f (x) ? lg(x2 ? ax ?1) 的定义域为 R

∴ x2 ? ax ?1 ? 0 对 ?x?R 恒成立 ∴ ? ? a2 ? 4 ? 0 ,解得: ?2 ? a ? 2; …………2 分

若 q 真,则 a ? ?1

…………2 分

∵命题“ p ? q ”为真,“ p ? q ”为假 ∴ p 真 q 假或 p 假 q 真



??2 ? a ?

? ?

a ? ?1

2



?a ? ?

?

?2或a a ? ?1

?

2

,解得:

?2

?

a

?

?1或

a

?

2



(2)∵ M N ? M ∴ N ? M ∵ M ? (m ? 5, m), N ? (?2, 2)



?m ? ?

? 5 ? ?2 m?2

,解得:

2

?

m

?

3



…………7 分 …………9 分 …………14 分

17.解: f (x) ? sin2 x ? 2sin xcos x ? 3cos2 x ? cos 2x ? sin 2x ? 2 ? ? 2 sin(2x ? ? ) ? 2 4

6

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(或 f (x) ? 2 cos(2x ? ? ) ? 2 ) 4
(1) T ? ? ;

…………4 分 …………6 分

(2)∵ x ?[5? ,11? ]时,∴ ? ? 2x ? ? ? 2? ,则 sin(2x ? ? ) ?[1 ,1]

24 24

6

43

42

∴ f (x) 的值域为[2 ? 2, 2 ? 2 ] 2

…………10 分

(3) k 值的符号为负号;

∵ x ?(? 9? ,? 7? ) ,∴ ? 5 ? ? 2x ? ? ? ?2? ,

88

2

4

∴ f (x) 在 (? 9? , ? 7? ) 上是减函数. 88

…………12 分

∴当

x1, x2

?(? 9? 8

,? 7? ) 8

,且

x1

?

x2

时,都有

f

( x1 )

?

f

(x2 ) ,从而经过任意两点 (x1,

f

( x1 ))



(x2 , f (x2 )) 的直线的斜率 k ?

f (x1) ? f (x2 ) ? 0 . x1 ? x2

…………15 分

18.解:(1)设 AM ? x ,由图形的对称性可知: AM ? ME ? x , ?BME ? ? ? 2? ,

∵ BM ? 2 ? x

∴ cos(? ? 2? ) ? 2 ? x x

,整理得: x

?2 1? cos 2?

?

1 sin2 ?

…………3 分

∵? ? (0, ? ) 2

又∵

? ? ?

AM AN

? ?

AB AD

,即

? ?? ? ?1 ?? sin 2

1 ?2
sin2 ? ? tan? ?
?

4

3 3



?



?? ?

sin ?

?

???sin 2? ?

2 2
3 2

, ????????3?4??2??

? ?

? 2 2? 3

,解得:? ?(? , ? ) 43

…………6 分

(2)在 Rt?AMN 中,

MN

?

x cos?

?

1 sin2 ? cos?

?

cos?

1 ? cos3 ?



?

?

? (

,

?

)

…………8

43



令 t ? cos? ,t ? (1 , 2 ) ,∴ MN ? 1 ,t ? (1 , 2 ) , 设 h(t) ? t ? t3,t ?(1 , 2 ) …………10 分

22

t ? t3

22

22

∴ h'(t) ? 1? 3t2 ? ?3(t ? 3 )(t ? 3) ,令 h'(t) ? 0 ,则 t ? 3 或 t ? ? 3 (舍),

3

3

3

3

列表得:

t

(1, 3)

23

h '(t)

?

h(t )



3 3 0 极大值

( 3, 2) 32 ?


∴ h(t)max

? h(

3) ? 3

23 9

∴当 cos? ? 3 时, MN 有最小值为 3 3 .

3

2

7

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(直接对 ?

求导或直接研究函数

MN

?

t

1 ? t3

,t

?(1 2

,

2 ) 皆可) 2

答:当 cos? ? 3 时, MN 存在最小值为 3 3 .

3

2

…………15 分

19.解:(1)令 t ? 2x ?1 , x ? 0 ,则 t ? 1且 x ? t ?1 2

∵ g(2x ?1) ? f (x)



g(t)

?

log3

(

t

? 2

1)



g(x)

?

log3

(

x

?1) 2

,定义域为

(1,

??)

;…………4



(2) h(x) ? log3(x ? a) (x ? a)

①在

y

?|

log3 (x

?

a)

|?

????lloogg33((xx

? ?

a) a)

(x ? a ? 1) ∴函数在 (a,a ? 1) 上单调减,在 (a ?1, ??) (a ? x ? a ? 1)

上单调增;

…………6 分

(Ⅰ)当 a

?1?

3 2

?

a ?1 ,即

1 2

?

a

? 1时,当

x

?

3 2

时,ymin

?

?

log3

(

3 2

? a)

? 1,∴ a

?

7 6

? 1(舍)

(Ⅱ)当1 ?

a

?1?

3 2

,即 0

?

a

?

1 2

时,当

x

? a ?1时,

ymin

?

0 (舍)

(Ⅲ)当 a ?1?1,即 a ? 0 时,当 x ?1时, ymin ? log3(1? a) ? 1 ∴ a ? ?2

∴综上: a ? ?2 ;( a ? 7 不舍扣 2 分) 6

…………10 分

②∵ y1 , y2 , y3 成等差数列 ∴ 2y2 ? y1 ? y3 ,即 2log3( x ? a) ? log 3 x ? log 33

化简得: x2 ? (2a ? 3)x ? a2 ? 0 (*) ∵满足条件的实数 x 有且只有两个不同的值 ∴(*)在 (a, ??) 上有两个不等实根,设 H (x) ? x2 ? (2a ? 3)x ? a2

…………13 分

? ? ? (2a ? 3)2 ? 4a2 ? 0



?? ?

?

2a ? 3 ? a 2

,解得: ? 3 ? a ? 0 . 4

??H (a) ? a2 ? (2a ? 3)a ? a2 ? 0

…………16 分

20.证:(1)

y

?

f (x) g(x)

?

x2

? 5x ex

?1 ,

x?R

则 y ' ? ? x2 ? 7x ? 6 ? ? (x ? 6)(x ?1) ,

ex

ex

令 y ' ? 0 ,得1? x ? 6;令 y ' ? 0 ,得 x ?1或 x ? 6 (或列表求)

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∴函数 y ? f (x) 在 (??,1) 单调减,在(1,6)单调增,在 (6,??) 上单调减, g(x)

∴函数 y ? f (x) 在 x ?1处取得极小值 ? 3 ;

g(x)

e

…………3 分

(2) y ? f '(x) ? a ? g(x) ? 2x ? 5 ? a ? ex ? 0 ,

∵ ex ? 0

∴ a ? ? 2x ? 5 , ex

…………5 分



h(x)

?

?

2x ? ex

5

,则

h '( x)

?

2x ? ex

7

,令

h '( x)

?

0

,则

x

?

7 2



h(x)

?

?

2x ? ex

5



(??, 7) 2

上单调减,在

(7 , 4) 2

上单调增,且

x

?

??,

h(x) ? ??



h( 7

)

?

?7
?2e 2



h(4) ? ?3e?4

2

∴当 a

? ?3e?4 或 a

?

?7
?2e 2

时,h(x)

?a有

1

解,即

y

?

f

'(x) ? a ? g(x) 在 (??,4] 上的零点的个数

为 1 个;



?
?2e

7 2

?a?

?3e?4 时, h(x)

?

a有

2

解,即

y

?

f

'(x) ? a ? g(x) 在 (??,4] 上的零点的个数为

2

个;

当a

?

?7
?2e 2

时, h(x)

?

a有

0

解,即

y

?

f

'(x) ?

a ? g(x)

在 (??,4] 上的零点的个数为

0

个.

…………8 分

(3)∵ ex ? 0 ,存在实数 t ?[0, 2],使对任意的 x ?[1, m] ,不等式[xf (x) ? t]? g(x) ? x 恒成立,

∴存在实数 t ?[0, 2],使对任意的 x ?[1, m] ,不等式 t ? x ? xf (x) 恒成立 g(x)

∵ tmin ? 0

∴对任意的 x ?[1, m] ,不等式 0 ? 1 ? f (x) 恒成立 g(x)

…………10 分

解法(一):设 H (x) ? 1 ? f (x) ? e?x ? x2 ? 5x ?1, x ?[1, ??) g(x)

∴ H '(x) ? ?e?x ? 2x ? 5 ,设 F(x) ? H '(x) ? ?e?x ? 2x ? 5 ,

∴ F '(x) ? e?x ? 2 ? 0 在[1, ??) 上恒成立 ∴ F(x) ? H '(x) ? ?e?x ? 2x ? 5 在[1, ??) 上单调减 而 H '(1) ? ?e?1 ? 2 ? 5 ? 3 ? 1 ? 0 , H '(2) ? ?e?2 ?1 ? 0 , H '(3) ? ?e?3 ?1 ? 0
e ∴ ?x0 ?(2,3) ,使得 H '(x0 ) ? 0 ,当1 ? x ? x0 时, H '(x) ? 0 ,当 x ? x0 时, H '(x) ? 0 ∴ H (x) 在 (1, x0 ) 上单调增,在 (x0 , ??) 上单调减 ∵ H (1) ? e?1 ? 3 ? 0 , H (2) ? e?2 ? 5 ? 0 , H (3) ? e?3 ? 5 ? 0 , H (4) ? e?4 ? 3 ? 0 ,

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H (5) ? e?5 ?1 ? 0 且 x ? 5 , H(x) ? H(5) ? 0 (若不交代函数 H(x) 的单调性,扣 4 分)

∴正整数 m 的最大值为 4.

…………16 分

解法(二):即对任意的 x ?[1, m] ,不等式 (x2 ? 5x ?1)ex ? 1 恒成立.

设 G(x) ? (x2 ? 5x ?1)ex , x ?[1, ??) ,

∴ G '(x) ? (2x ? 5)ex ? (x2 ? 5x ?1)ex ? (x2 ? 3x ? 4)ex ? (x ? 4)(x ?1)ex ,可求得 G(x) 在 (??, ?1) 上

单调增,在 (?1, 4) 上单调减,在 (4, ??) 上单调增,

则 G(x) ? (x2 ? 5x ?1)ex [1, 4) 上单调减,在 (4, ??) 上单调增

当 m ? 4 时, G(x) max ? G(1) ? ?3e ?1恒成立;

当 m ? 4 时, G(x) max ? max{G(1),G(m)} ,G(1) ? ?3e ?1 , G(4) ? ?3e4 ? 1,而 G(5) ? e5 ?1 ;

∴正整数 m 的最大值为 4.

…………16 分

21.解:(1) Cn0 ? Cn1 ? ? Cnn ? 2n ? 64 ∴ n ? 6 ;

…………4 分

(2) Tr?1 ? C6r (

x)6?r ( 1 )r 4x

?

C6r

3?
x

3r 4



…………7 分



3?

3r 4

?

0 ,即

r

?

4 时, T5

?

C64

? 15

为常数项.

…………10 分

22.(1) P( X ? 2) ? C52C31 ? 15 ; C83 28

…………4 分

(2)随机变量 X 的可能取值为:0,1,2,3

P( X

?

k)

?

C3k

(

5)k 8

(

3)3?k 8

,

k

?

0,1, 2, 3



X

0

1

2

3

27

135

225

125

P

512

512

512

512

…………8 分

E(X ) ? 0? 27 ?1? 135 ? 2? 225 ? 3? 125 ? 15 512 512 512 512 8

答:数学期望为 15 . 8

…………10 分

23.解:(1)以 D 为原点, DA , DC , DD1 所在直线分别为 x 轴, y 错误!未找到引用源。

轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .设 AB ?1 错误!未找到引用源。,则

D(0,0,0),A(1,0,0),

z

B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,2), A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2).

D1

C1

A1

B1

(1)设 P(0,1, m) ,则 AP ? (?1,1, m) , D1B1 ? (1,1, 0)

D xA

P

Cy

B

10

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则 AP ? D1B1 ? 0 ∴ AP ? B1D1 …………4 分

(2) A1C ? (?1,1, ?2), DA1 ? (1, 0, 2)

设平面 A1CD 的一个法向量 n ? (x, y, z)

(第 23 题图)



??n ? ??

?

A1C ? ?x ? y ? n ? DA1 ? x ? 2z

2z ? ?0

0

,令

z

?

1

,则

? ? ?

x ? ?2 y?0



n

?

(?2,

0,1)



|

n

|?

5

…………7 分错

误!未找到引用源。

设错误!未找到引用源。与面错误!未找到引用源。所成角的大小为错误!未找到引用源。,

AD1 ? (?1, 0, 2) 错误!未找到引用源。,| AD1 |? 5

∴ sin? ?| cos ? AD1, n ?|?

4 5?

?4



5 5 错误!未找到引用源。

所以错误!未找到引用源。与平面错误!未找到引用源。所成角的正弦值为

4 5

错误!未

. 找到引用源。

…………10 分

24.解:(1) n ?1,则 N ?1,∴ a1 ? 1 ; n ? 2 ,则 N ?11 ,∴ a2 ?1 ;

n ? 3,则 N ?111或 N ? 3 ,∴ a3 ? 2 ;

n ? 4 ,则 N ?1111, N ?13 , N ? 31, N ? 4 ,∴ a4 ? 4 ;

综上: a1 ? 1 , a2 ? 1 , a3 ? 2 , a4 ? 4

…………2 分

(2)由(1)猜想: a2na2n?2

?

a2 2 n?1



…………3 分

记 N ? x1x2 xk ,其中 x1 , x2 ,…, xk ?{1,3, 4} 且 x1 ? x2 ? ? xk ? n

假定 n ? 4 ,删去 x1 ,则当 x1 依次取 1,3,4 时,x2 ? x3 ? ? xk 分别等于 n ?1,n ? 3 ,n ? 4 .

故当 n ? 4 时, an ? an?1 ? an?3 ? an?4 .

…………5 分

先用数学归纳法证明下式成立: a2n?1 ? a2n ? a2n?1

① n ?1时,由(1)得: a3 ? a1 ? a2 ,结论成立;

②假设 n ? k 时, a2k?1 ? a2k ? a2k?1 ;

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当 n ? k ?1 时, a2k?3 ? a2k?2 ? a2k ? a2k?1 ? a2k?2 ? a2k ? (a2k?1 ? a2k ) ? a2k?2 ? a2k?1 ∴ n ? k ?1时,结论成立;

综合①②, a2n?1 ? a2n ? a2n?1 , n? N * .

…………8 分

再用数学数学归纳法证明下式成立: a2na2n?2

?

a2 2 n?1

① n ?1时,由(1)得: a2a4 ? a32 ,结论成立;

②假设 n ? k

时, a2k a2k ?2

?

a2 2 k ?1



当 n ? k ?1时,

a a 2k ?2 2k ?4

? a2k?2 (a2k?3

? a2k?1

? a2k ) ? a2k?2a2k?3

? a2k ?2a2k ?1

? a2 2 k ?1

? a a 2k ?2 2k ?3

? a2k ?1 (a2k ?2

? a2k?1 )

?

a a 2k ?2 2k ?3

? a2k a ?1 2k ?3

?

a2k ?3 (a2k ?2

? a2k?1 )

?

a2 2k ?3

∴ n ? k ?1时,结论成立;

综合①②, a2na2n?2

?

a2 2 n?1

, n?N *.

…………10 分

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