《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第二章232向量数量积的运算律课件_图文

2.3.2

2.3.2 向量数量积的运算律

【学习要求】

1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.

本 课

2.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.

时 栏

【学法指导】

目 开

引进向量的数量积以后,考察一下这种运算的运算律是非常必

关 要的.向量 a、b 的数量积 a·b 虽与代数中数 a、b 的乘积 ab

形式相似,实质差别很大.实数中的一些运算性质不能随意简

单地类比到向量的数量积上来.例如,a·b=0 不能推出 a=0

或 b=0;a·b=b·c a=c;(a·b)·c=a·(b·c)也未必成立.

填一填·知识要点、记下疑难点

2.3.2

1.向量的数量积(内积)



|a||b|cos〈a,b〉叫做向量 a 和 b 的数量积(或内积),记作

课 时

a·b.即 a·b= |a||b|cos〈a,b〉.|a|cos θ 叫做向量 a 在 b 方



向上的射影, |b|cos θ 叫做向量 b 在 a 方向上的射影.



开 2.向量数量积的性质



设 a、b 为两个非零向量,e 是与 b 同向的单位向量.

(1)a·e=e·a= |a|cos〈a,b〉;

(2)a⊥b?a·b= 0 且 a·b= 0 ?a⊥b; (3)a·a= |a|2 或|a|= a2 ;

填一填·知识要点、记下疑难点

a·b (4)cos〈a,b〉= |a||b| ;

(5)|a·b| ≤ |a||b|.

本 3.向量数量积的运算律

课 时

(1)a·b= b·a (交换律);

栏 目

(2)(λa)·b= λ(a·b) = a·(λb) (结合律);

开 关

(3)(a+b)·c= a·c+b·c (分配律).

2.3.2

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

探究点一 向量数量积运算律的提出

问题 1 类比实数的运算律,向量的数量积是否具有类似的特

本 课

征?先写出类比后的结论,再判断正误(完成下表):

时 栏

运算律

实数乘法

向量数量积

判断正误

目 开

交换律

ab=ba

a·b=b·a

正确


结合律 (ab)c=a(bc)

(a·b)c=a(b·c)

错误

分配律 (a+b)c=ac+bc (a+b)·c=a·c+b·c 正确

ab=bc(b≠0) 消去律
?a=c

a·b=b·c(b≠0) ?a=c

错误

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

问题 2 在上述类比得到的结论中,对向量数量积不再成立的 有哪些?试各举一反例说明.

答 (a·b)c=a(b·c)不成立,因为(a·b)c 表示

本 课

一个与 c 共线的向量,而 a(b·c)表示一个与

时 栏

a 共线的向量,c 与 a 不一定共线,所以

目 开

(a·b)c=a(b·c),一般情况下不会成立.

关 a·b=b·c(b≠0)?a=c 不成立,如图所示.

显然 a·b=b·c,且 a≠c.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

探究点二 向量数量积的运算律

已知向量 a,b,c 和实数 λ,向量的数量积满足下列运算律:

①a·b=b·a(交换律);

②(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(数乘结合律);

课 ③(a+b)·c=a·c+b·c(分配律).

栏 问题 1 证明 a·b=b·a.



开 关

答 a·b=|a||b|cos〈a,b〉,

b·a=|b||a|cos〈b,a〉,

∵〈a,b〉=〈b,a〉, cos〈a,b〉=cos〈b,a〉,

∴a·b=b·a.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

问题 2 证明(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (提示:分 λ=0,λ>0,λ<0 三种情况讨论)

答 当 λ=0 时,0·b=0·(a·b)=a·0=0.

本 课

当 λ>0 时,(λa)·b=|λa||b|cos〈λa,b〉

时 栏

=λ|a||b|cos〈λa,b〉,

目 开

a·λb=|a||λb|cos〈a,λb〉=λ|a||b|cos〈a,λb〉,

关 λ(a·b)=λ|a||b|cos〈a,b〉;

∵λ>0 时,cos〈λa,b〉=cos〈a,b〉=cos〈a,λb〉,

∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

当 λ<0 时,(λa)·b=|λa||b|cos〈λa,b〉

=-λ|a||b|cos〈λa,b〉,

本 λ(a·b)=λ|a||b|cos〈a,b〉,

课 时

a·(λb)=|a||λb|cos〈a,λb〉=-λ|a||b|cos〈a,λb〉,

栏 目

∵λ<0 时,cos〈λa,b〉=cos〈a,λb〉=-cos〈a,b〉,

开 ∴(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).



综上所述,(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

问题 3 下面是证明分配律(a+b)·c=a·c+b·c 的过程,请你补

充完整.

证明:当 a+b 与向量 c 夹角为直角时,如图

(1)所示,

本 课

向量 a+b 在向量 c 方向上的射影

时 栏

|a+b|cos〈a+b,c〉= 0 ;

目 开

向量 a 在向量 c 方向上的射影为

关 |a|cos〈a,c〉= OA1 ,

图(1)

向量 b 在向量 c 方向上的射影为

|b|cos〈b,c〉= OB1 ,

易知 OA1 与 OB1 互为相反数,即 OA1+OB1=0. 所以 |a|cos〈a,c〉 + |b|cos〈b,c〉=|a+b|cos〈a+b,c〉.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

两边乘以|c|得: |a||c|cos〈a,c〉+ |b||c|cos〈b,c〉 =|a+b||c|cos〈a+b,c〉,

∴a·c+b·c=(a+b)·c,即(a+b)·c=a·c+b·c.

当 a+b 与向量 c 夹角为锐角时,

本 课

如图(2)所示,

时 栏

向量 a+b 在向量 c 方向上的射影为|a+b|co〈 s a

目 开

+b,c〉= OC1 ;

关 向量 a 在向量 c 方向上的射影为

|a|cos〈a,c〉= OA1 ,

图(2)

向量 b 在 c 方向上的射影为|b|cos〈b,c〉=OB1 ,

∵OC1=OA1+A1C1,A1C1=OB1, ∴OC1 =OA1 + OB1 ,

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

∴ |a+b|cos〈a+b,c〉 = |a|cos〈a,c〉 + |b|cos〈b,c〉.

两边同乘以|c|得:

本 课

|a+b||c|cos〈a+b,c〉=|a||c|cos〈a,c〉+

时 栏

|b||c|cos〈b,c〉,即(a+b)·c=a·c+b·c.

目 开

当a+b与向量c夹角为钝角时,如图(3)所示,

关 同理可证得(a+b)·c=a·c+b·c.

图(3)

研一研·问题探究、课堂更高效 探究点三 平面向量数量积的运算性质

2.3.2

实数中,某些多项式乘法公式“移植”到平面向量的数量

积运算中仍然成立,请你根据下面多项式乘法中的一些乘

法公式类比相应的向量数量积的运算性质.



多项式乘法

向量数量积

课 时

(a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)2=a2+2a·b+b2

栏 目

(a-b)2=a2-2ab+b2 (a-b)2=a2-2a·b+b2





(a+b)(a-b)=a2-b2 (a+b)·(a-b)=a2-b2

(a+b+c)2=a2+b2+ (a+b+c)2=a2+b2+c2+

c2+2ab+2bc+2ca

2a·b+2b·c+2c·a

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

表中的结论可以用作公式使用:

例如,若向量 a、b、c 满足 a+b+c=0 且|a|=3,|b|=1,|c|

=4,则 a·b+b·c+c·a=__-__1_3___. 解析 方法一 由已知得|c|=|a|+|b|,c=-a-b,可知向量 a

本 与 b 同向,而向量 c 与它们反向.

课 时

∴有 a·b+b·c+c·a=3cos 0°+4cos 180°+12cos 180°

栏 目

=3-4-12=-13.

开 关

方法二

∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a),

∴a·b+b·c+c·a=?a+b+c?2-2?a2+b2+c2? =0-?32+2 12+42?=-13.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

[典型例题]

例1 给出下列结论:①若a≠0,a·b=0,则b=0;②若a·b=

b·c,则a=c;③(a·b)c=a(b·c);④a·[b(a·c)-c(a·b)]=0,其

中正确结论的序号是___④_____.

本 解析 因为两个非零向量 a、b 垂直时,a·b=0,故①不正确;

课 时 栏

当a=0,b⊥c时,a·b=b·c=0,但不能得出a=c,故②不正确; 向量(a·b)c与c共线,a(b·c)与a共线,故③不正确;

目 开

a·[b(a·c)-c(a·b)]

关 =(a·b)(a·c)-(a·c)(a·b)=0,故④正确.

小结 向量的数量积 a·b 与实数 a、b 的乘积 a·b 有联系,同时

有许多不同之处.

例如,由 a·b=0 并不能得出 a=0 或 b=0. 特别是向量的数量积不满足结合律,即一般情况下

(a·b)·c≠a·(b·c).

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

跟踪训练 1 设 a,b,c 是任意的非零向量,且它们相互不共

线,给出下列结论:

①a·c-b·c=(a-b)·c;

②(b·c)·a-(c·a)·b 不与 c 垂直;

本 ③|a|-|b|<|a-b|;

课 时

④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.

栏 目

其中正确的序号是_①__③__④___.

开 解析 根据向量积的分配律知①正确;

关 因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c

=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0, ∴(b·c)·a-(c·a)·b 与 c 垂直,②错误; 因为 a,b 不共线,所以|a|、|b|、|a-b|组成三角形三边,

∴|a|-|b|<|a-b|成立,③正确; ④正确.故正确命题的序号是①③④.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

例 2 已知|a|=6,|b|=4,a 与 b 的夹角为 60°,求(a+2b)·(a

-3b). 解 (a+2b)·(a-3b)

=a·a-a·b-6b·b

本 课

=|a|2-a·b-6|b|2

时 栏

=|a|2-|a|·|b|cos θ-6|b|2

目 开

=62-6×4×cos 60°-6×42

关 =-72.

小结 熟练掌握两向量的数量积定义及运算性质,是解决此

类问题的关键.计算形如(ma+nb)·(pa+qb)的数量积可仿多

项式乘法的法则展开计算,再运用数量积定义和模的公式化

简求解.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

跟踪训练 2 已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,且|a|=4,|b|=2,

求:

(1)(2a-b)·(a+3b);(2)|3a-4b|.

本 课



(1)(2a-b)·(a+3b)=2a2+6a·b-a·b-3b2

时 栏

=2|a|2+5a·b-3|b|2

目 开

=2×16+5×4×2×cos 120°-3×4=0.

关 (2)|3a-4b|2=(3a-4b)2=9a2-24a·b+16b2

=9×16-24×(-4)+16×4=16×19,

∴|3a-4b|=4 19.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

例 3 已知|a|=3,|b|=4,且 a 与 b 不共线,k 为何值时,向量

a+kb 与 a-kb 互相垂直.

解 a+kb 与 a-kb 互相垂直的条件是

本 (a+kb)·(a-kb)=0,即 a2-k2b2=0.

课 时 栏 目

∵|a|=3,|b|=4,∴9-16k2=0, ∴k=±34.

开 关

当 k=±34时,a+kb 与 a-kb 互相垂直.

小结 向量 a,b 夹角为锐角的等价条件是 a·b>0 且 a 与 b 不

同向共线;a·b 夹角为钝角的等价条件是 a·b<0 且 a 与 b 不反

向共线:a 与 b 垂直的等价条件是 a·b=0.

研一研·问题探究、课堂更高效

2.3.2

跟踪训练 3 已知 e1 与 e2 是两个互相垂直的单位向量,k 为何

值时,向量 e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角?

解 ∵e1+ke2 与 ke1+e2 的夹角为锐角,

本 课

∴(e1+ke2)·(ke1+e2)

时 =ke21+ke22+(k2+1)e1·e2

栏 目

=2k>0,∴k>0,

开 关

但当 k=1 时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为 0,不符合题意,

舍去.

综上,k 的取值范围为 k>0 且 k≠1.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.2

1. 已知|a|=2,|b|=1,a 与 b 之间的夹角为 60°,那么向量 a

本 课

-4b 的模为

(B)

时 栏

A.2

B.2 3

C.6

D.12

目 开

解析 ∵|a-4b|2=a2-8a·b+16b2



=22-8×2×1×cos 60°+16×12=12,

∴|a-4b|=2 3.

练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.2

3. 设|a|=3,|b|=2,|c|=5,向量 a 与 b 的夹角为π6,向量 b

本 课 时

与 c 的夹角为π3,则|(a·b)·c|=__1_5__3___;|a·(b·c)|=____1_5___.









练一练·当堂检测、目标达成落实处

2.3.2

1.两向量 a 与 b 的数量积是一个实数,不是一个向量,其值

可以为正(当 a≠0,b≠0,0°≤θ<90°时),也可以为负(当

a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为 0(当 a=0 或 b=0





或 θ=90°时).

时 栏

2.数量积对结合律一般不成立,因为(a·b)·c=|a||b|·cos〈a,b〉·c

目 开

是一个与 c 共线的向量,而(a·c)·b=|a|·|c|cos〈a,c〉·b 是



一个与 b 共线的向量,两者一般不同.

3.在实数中,若 ab=0 则 a=0 或 b=0,但是在数量积中,

即使 a·b=0,也不能推出 a=0 或 b=0,因为其中 cos θ 有

可能为 0. 4.在实数中,若 ab=bc,b≠0 则 a=c,在向量中 a·b=b·c,

b≠0 a=c.


相关文档

《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第二章241向量在几何中的应用课件-文档资料
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第二章向量数量积的坐标运算与度量公式课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章弧度制和弧度制与角度制的换算课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第二章2.3.1向量数量积的物理背景与定义课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章124诱导公式(一)课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第二章211第二章213向量的减法
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修2第二章两条直线的位置关系(二)课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章133已知三角函数值求角课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章同角三角函数的基本关系式(二)课件
《步步高学案导学设计》2013-2014学年高中数学人教B版必修4第一章111角的概念的推广课件
电脑版