(名校精品)2018-2019学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学期第一次月半考试数学(文)试题Word版
2018-2019 学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学 期第一次月半考试文数试题
考试时间:120 分钟;分值:150 分 出题人 安素敏
第 I 卷(选择题)
一.选择题(每题 5 分,共 60 分)
1.已知集合
A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0?
,集合 B={x|
log x 4 =2},则 A B ? (
D.
)
A.
??2,1, 2?
B.
??2, 2?
C.
?1, 2?
?2?
a?i 为纯虚数,则实数 a 1 2.(石家庄二模)若复数 ? i 的值为
A. i
B.0
x 2 ? 2 py ? p ? 0 ?
C.1
D.-1
3.已知抛物线
的准线经过点 ? ?1 ,? 1? ,则抛物线的焦点坐标为(
)
A.
? 0,1?
f
B.
? 0 ,2 ?
C.
?1 ,0?
D.
? 2 ,0 ?
4.已知函数
1 A. 2
? x? ?
x2 e x ,在区间 ? ?1 ,4 ? 上任取一点,则使 f ' ? x0 ? ? 0 的概率是(
1 C. 3
)
2 B. 5
1 D. 6
5. (五年高考真题) 若正数 x , y 满足 3x ? y ? 5 xy , 则 4 x ? 3 y 的取最小值时 y 的值为 ( A.1 B.3 C.4 D.5
)
6.设函数
f ( x) ? sin ? x ?? ? 0 ?
,将 y ? f ( x) 的图象向右平移 6 个单位长度后,所得图象关于 y )
[]
?
轴对称,则 ? 的最小值是(
1 A. 3
B.3
C.6
D.9
-1-
7.执行如图所示的算法,则输出的结果是(
)
[]
A.2
4 B. 3
5 C. 4
D.1
8.如图给出了一种植物生长时间 t (月)与枝数 (枝)之间的散点图. 请你根据此判断这种 植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )
y
A.指数函数: y ? 2 C.幂函数: y ? t
3
t
B.对数函数: y ? log 2 t D.二次函数: y ? 2t
2
9. (五年高考真题) 若 x , y 满足 A.-1 B.1
?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x ? y ?1 ? 0 ? x?k ?
C.-7
x ? y 的最大值为 6, , 且z ?2 则 k 的值为 (
D.7 )
)
10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
-2-
113 A. 3
B.35
104 C. 3
107 D. 3
2
11.在 △ ABC 中,角
A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,已知 a ? 3 , ? b ? c ? ? 3bc ? a 2 ? 0 ,则
)
b ? c 的取值范围是(
(0 ,6] A.
( 3 , 6] B.
(1 ,6] C.
(3 ,6] D.
12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足:函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立(
b ? (ln2) f (ln2) ,
c ? 2 f (log 1
2
f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数), 若 a ? (sin 2 ) f (sin 2 ) ,
)
1
1
1 ) 4 , 则 a, b, c 的大小关系是(
A. a ? b ? c
B. b ? a ? c
C. c ? a ? b
D. a ? c ? b
第 II 卷(非选择题)
二.填空题(每题 5 分,共 20 分)
13.已知向量 满足 sin ? ? __________.
a ,b
a ? 1 ,b ? 2 ,a ? b ?
?
3, 2
? ,记向量 a ,b 的夹角为 ?
,则
14.在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说: “主要责 任在乙” ;乙说: “丙应负主要责任” ;丙说“甲说的对” ;丁说: “反正我没有责任” .四人中 只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是_______________.
-3-
C:
15. (神州智达)椭圆
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? F F a 2 b2 的左、右焦点分别为 1 , 2 ,焦距为 2c .若直
?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 C 的一个交点 M 满足 ,则该椭圆的离心率等于
__________.
? lg ? ? x ? , x ? 0 ? f ? x? ? ? 2 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ?1 ? 0 ? ? x ? 6 x ? 4, x ? 0 , 16. 已知函数 若关于 x 的方程 有 8 个不同
根,则实数 b 的取值范围是______________.
三.解答题(写出必要的步骤与过程)
17. (12 分)已知数列
?an ? 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 4 ? an (n ? N * ) .
(1)求数列
bn ?
?an ? 的通项公式;
1 (n ? N *) 2 ? log 2 an ,数列
(2)设
?bn ? bn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: T
n
?
3 4.
18. (12 分) “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,即“凑够 一撮人就可以走了,和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响, 从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查,在所有参与调查的人中, “跟从 别人闯红灯” “从不闯红灯” “带头闯红灯”人数如表所示: 跟从别人闯红灯 男生 女生 800 100 从不闯红灯 450 150
[]
带头闯红灯 200 300
(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,已知“跟从别人闯红灯”的人 抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在“带头闯红灯”的人中,将男生的 200 人编号为 1,2,…,200;将女生的 300 人编 号为 201,202,…,500,用系统抽样的方法抽取 4 人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的 第一个人的编号为 100,把抽取的 4 人看成一个总体,从这 4 人中任选取 2 人,求这两人均是 女生的概率. 19. (12 分石家庄二模)如图,四棱锥 P ?
-4-
ABCD 的底面 ABCD 为矩形, AB ? 2 2 ,
BC ? 2 ,点 P 在底面上的射影在 AC 上, E , F 分别是 AB, BC 的中点.
(I)证明: DE ? 平面 PAC ;
PM (II)在 PC 边上是否存在点 M ,使得 FM ∥ 平面 PDE ?若存在,求出 PC 的值;若
不存在,请说明理由.
20. (12 分神州智达)已知椭圆
E:
1 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,且过点(1, 2 ) 。
若点 M(
x 0 ,y 0
x0 y0 )在椭圆 E 上,则点 N( a , b )称为点 M 的一个“椭点” 。
(I)求椭圆 E 的方程。 (II)若直 l:y=kx+m 与椭圆 E 交于不同的两 A. B,且 A,B 两点的(椭点)分别为 P,Q,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断 AOB 的面积是否是定值。若为定值,求出定值;若不是定 值,说明理由。.
21. (12 分)已知函数
f ? x ? ? ? x ? 2? ex
和
g ? x ? ? kx3 ? x ? 2
.
(1)若函数
g ? x?
在区间
?1, 2 ? 不单调,求实数 k 的取值范围;
f ? x? ? g ? x?
恒成立,求实数 k 的最大值.
(2)当
x ? ? 0, ?? ?
时,不等式
22、
-5-
? 2 t, ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? 2 t, ? 2 ( t 为参数) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,在 O 为极点, x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ? 2 cos ? . (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 y 轴的交点为 P ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A , B ,求
PA PB
的值
-6-
参考答案 1.C 2. C 3.A 4.B 5.A 6.B.7.D 8.A 9.B 10.C. 11.D 12.A
13. 1
14.甲
? 17 ? ? 2, ? 15. 3 ? 1 . 16. ? 4 ?
S n ? 4 ? an ,得 S1 ? 4 ? a1 ,解得 a1 ? 2
2an ?1 ? an
17.试题解析: 解: (1)由
而
an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (4 ? an ?1 ) ? (4 ? an ) ? an ? an ?1
,即
,
an ?1 1 ? 2 ∴ an
?a ? 可见数列 n 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
1 1 an ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 2 2 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? log 2 an 2 ? (2 ? n) n ,
1
bn ?
(2)∵
bnbn ? 2 ?
∴
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2
故数列
Tn ?
?bnbn? 2 ? 的前 n 项和
?( 1 1 1 1 ? ? )?( ? ) n ?1 n ?1 n n?2 ? ?
1? 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 3 5 4 6 ?
?
1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? )? ( ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2
?
3 1 1 1 3 ? ( ? )? 4 2 n ?1 n ? 2 4
n n
考点:1. a 与 S 的关系;2.等比数列的定义与性质;3.裂项相消法求和;4.数列与不等式.
-7-
45 n ? 18. (I)由题意得, 800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ,
解得 n
? 100. .…(4
分)
(II)由系统抽样得到的号码分别为 100 , 225,350,475
其中 100 号为男生,设为 A ,而 225,350,475 都为女生,分别设为 从这 4 人中任选取 2 人所有的基本事件为:
(AB1 ) , (AB 2 ) , (AB3 ) , (B1 B 2 ) , (B1 B 3 ) , (B 2 B 3 ) ,共有 6 个
B1 , B 2 , B 3
,
这两人均是女生的基本事件为 (B1 B 2 ) ,
(B1 B 3 ) (B 2 B 3 ) , ,共有 3 个
P? 3 1 ? 6 2
故从这 4 人中任选取 2 人,这两人均是女生的概率为 考点:抽样方法,古典概型. 19. 试题解析: (I)在矩形 ABCD 中, AB : BC ?
CAB ? 1 2,
2 :1 ,且 E 是 AB 的中点,
∴ tan ∠ ADE = tan ∠ ∴∠ ADE =∠ CAB ,
∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥ DE . 由题可知面 PAC ? 面 ABCD ,且交线为 AC ,∴ DE ? 面 PAC .
-8-
P
M D G H F A E B C
(II)作 DC 的中点 G , GC 的中点 H ,连结 GB 、 HF . ∵ DG ∥ EB ,且 DG ?
EB
∴四边形 EBGD 为平行四边形,∴ DE ∥ GB
∵ F 是 BC 的中点, H 是 GC 的中点,∴ HF ∥ GB ,∴ HF ∥ DE . 作 H 作 HM ∥ PD 交 PC 于 M ,连结 FM , ∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ,∴平面 HMF ∥平面 PDE ,∴ FM ∥平面 PDE .
由 HM
PM DH ? ?3 HC ∥ PD 可知:∴ MC
考点:直线与平面的垂直(平行)的性质与判定.
x2 y 2 ? ?1 3 20. (1) 4
(2)是定值 21.
S
AOB
? 3
试题解析: (1)依题意 ①当 时,
g ? ? x ? ? 3kx 2 ? 1
, 在 单调递减,不满足题意;
,所以
②当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
-9-
因为函数
g ? x?
在区间
?1, 2 ? 不单调,所以
1?
1 1 1 ?2 ?k? 3k 3, ,解得 12
1 1 ?k? 3. 综上所述,实数 k 的取值范围是 12
(2)令
h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? x ? 2? e x ? kx3 ? x ? 2
h ? x ? ? ? x ? 2 ? e x ? kx 3 ? x ? 2 ? 0
,
依题可知
在
?0, ?? ? 上恒成立,
,
h? ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 3kx 2 ? 1
,令
? ? x ? ? h? ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 3kx 2 ? 1
由
? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0
k?
且
? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ?
.
①当 6k ? 1 ,即
1 6 时,
x 因为 x ? 0 , e ? 1 ,所以
? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ? ? 0
,
所以函数
? ? x?
即
h? ? x ?
在
?0, ?? ? 上单调递增,又由 ? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0 ,
,所以
故当
x ? ? 0, ?? ?
h ? 0? ? 0
,即
时,
h? ? x ? ? h? ? 0 ? ? 0
h ? x?
在
?0, ?? ? 上单调递增,
又因为 ②当
,所以
h ? x? ? 0
在
?0, ?? ? 上恒成立,满足题意;
时,
当
x ? ? 0, ln ? 6k ? ?
,
? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ? ? 0
,函数
? ? x?
即
h? ? x ?
单调递减,
又由
? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0
h ? x?
,所以当
x ? ? 0, ln ? 6k ? ?
时,
h? ? x ? ? h? ? 0 ? ? 0
,
所以
在
? 0, ln ? 6k ? ? 上单调递减,又因为 h ? 0 ? ? 0 ,所以 x ? ? 0, ln ? 6k ? ? 时, h ? x ? ? 0 ,
在
这与题意
h ? x? ? 0
k?
?0, ?? ? 上恒成立相矛盾,故舍去.
综上所述,
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1 1 6 ,即实数 k 的最大值是 6 .
考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与不等式.
当且仅当
a?b?c?
2 2 时取等号,此时, ab ? bc 取得最大值 1.
考点:1、零点分段法;2、基本不等式.
? 2 t, ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? 2 t, 2 2 y ? x ? 3? t? t ?3 ? 2 ,∴ 2 2 22. (1)∵直线 l 的参数方程为 ? ,∴直线 l 的普
通方 程为
2 ?,∴曲线C 的直角坐标方程为 , 又 ∵ ? ? 4 ? sin? ? 2? cos
( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ;
? 2 t ?x ? ? 2 ? ? y ? 3+ 2 t 2 2 ? 2 ( t 为参数)代入曲线C :( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,得到: (2)将直线的参数方程 ?
t 2 ? 2 2t ? 3 ? 0 , t1t2 ? ?3 , PA PB ? t1t2 ? 3 .
考点:1.参数方程,极坐标方程与直角方程的互相转化;2.直线与圆的位置关系.
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