(名校精品)2018-2019学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学期第一次月半考试数学(文)试题Word版
2018-2019 学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学 期第一次月半考试文数试题
考试时间：120 分钟；分值：150 分 出题人 安素敏
第 I 卷（选择题）
一．选择题（每题 5 分，共 60 分）
1．已知集合
A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0?
，集合 B={x|
log x 4 =2}，则 A B ? （
D．
）
A．
??2,1, 2?
B．
??2, 2?
C．
?1, 2?
?2?
a?i 为纯虚数，则实数 a 1 2．(石家庄二模)若复数 ? i 的值为
A． i
B．0
x 2 ? 2 py ? p ? 0 ?
C．1
D．－1
3．已知抛物线
的准线经过点 ? ?1 ，? 1? ，则抛物线的焦点坐标为（
）
A．
? 0,1?
f
B．
? 0 ，2 ?
C．
?1 ，0?
D．
? 2 ，0 ?
4．已知函数
1 A． 2
? x? ?
x2 e x ，在区间 ? ?1 ，4 ? 上任取一点，则使 f ' ? x0 ? ? 0 的概率是（
1 C． 3
）
2 B． 5
1 D． 6
5． （五年高考真题） 若正数 x , y 满足 3x ? y ? 5 xy ， 则 4 x ? 3 y 的取最小值时 y 的值为 （ A．1 B．3 C．4 D．5
）
6．设函数
f ( x) ? sin ? x ?? ? 0 ?
，将 y ? f ( x) 的图象向右平移 6 个单位长度后，所得图象关于 y ）
[]
?
轴对称，则 ? 的最小值是（
1 A． 3
B．3
C．6
D．9
-1-
7．执行如图所示的算法，则输出的结果是（
）
[]
A．2
4 B． 3
5 C． 4
D．1
8．如图给出了一种植物生长时间 t （月）与枝数 （枝）之间的散点图. 请你根据此判断这种 植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好？（ ）
y
A．指数函数： y ? 2 C．幂函数： y ? t
3
t
B．对数函数： y ? log 2 t D．二次函数： y ? 2t
2
9． （五年高考真题） 若 x , y 满足 A．-1 B．1
?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x ? y ?1 ? 0 ? x?k ?
C．-7
x ? y 的最大值为 6， ， 且z ?2 则 k 的值为 （
D．7 ）
）
10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（
-2-
113 A. 3
B.35
104 C. 3
107 D. 3
2
11．在 △ ABC 中，角
A ，B ，C 所对的边分别是 a ，b ，c ，已知 a ? 3 ， ? b ? c ? ? 3bc ? a 2 ? 0 ，则
）
b ? c 的取值范围是（
（0 ，6] A．
（ 3 ， 6] B．
（1 ，6] C．
（3 ，6] D．
12．已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足：函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称，且 当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立（
b ? (ln2) f (ln2) ，
c ? 2 f (log 1
2
f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数）, 若 a ? (sin 2 ) f (sin 2 ) ，
）
1
1
1 ) 4 , 则 a, b, c 的大小关系是（
A. a ? b ? c
B. b ? a ? c
C. c ? a ? b
D. a ? c ? b
第 II 卷（非选择题）
二．填空题（每题 5 分，共 20 分）
13．已知向量 满足 sin ? ? __________．
a ，b
a ? 1 ，b ? 2 ，a ? b ?
?
3， 2
? ，记向量 a ，b 的夹角为 ?
，则
14．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说： “主要责 任在乙” ；乙说： “丙应负主要责任” ；丙说“甲说的对” ；丁说： “反正我没有责任” ．四人中 只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是_______________．
-3-
C:
15． （神州智达）椭圆
x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? F F a 2 b2 的左、右焦点分别为 1 ， 2 ，焦距为 2c .若直
?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 C 的一个交点 M 满足 ，则该椭圆的离心率等于
__________.
? lg ? ? x ? , x ? 0 ? f ? x? ? ? 2 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ?1 ? 0 ? ? x ? 6 x ? 4, x ? 0 ， 16． 已知函数 若关于 x 的方程 有 8 个不同
根，则实数 b 的取值范围是______________．
三．解答题（写出必要的步骤与过程）
17． （12 分）已知数列
?an ? 的各项均是正数，其前 n 项和为 Sn ，满足 Sn ? 4 ? an (n ? N * ) ．
（1）求数列
bn ?
?an ? 的通项公式；
1 (n ? N *) 2 ? log 2 an ，数列
（2）设
?bn ? bn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ，求证： T
n
?
3 4．
18． （12 分） “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃，即“凑够 一撮人就可以走了，和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响， 从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查，在所有参与调查的人中， “跟从 别人闯红灯” “从不闯红灯” “带头闯红灯”人数如表所示： 跟从别人闯红灯 男生 女生 800 100 从不闯红灯 450 150
[]
带头闯红灯 200 300
（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取 n 人，已知“跟从别人闯红灯”的人 抽取了 45 人，求 n 的值； （Ⅱ）在“带头闯红灯”的人中，将男生的 200 人编号为 1，2，…，200；将女生的 300 人编 号为 201，202，…，500，用系统抽样的方法抽取 4 人参加“文明交通”宣传活动，若抽取的 第一个人的编号为 100，把抽取的 4 人看成一个总体，从这 4 人中任选取 2 人，求这两人均是 女生的概率. 19． （12 分石家庄二模）如图，四棱锥 P ?
-4-
ABCD 的底面 ABCD 为矩形， AB ? 2 2 ，
BC ? 2 ，点 P 在底面上的射影在 AC 上， E ， F 分别是 AB, BC 的中点.
（I）证明： DE ? 平面 PAC ；
PM （II）在 PC 边上是否存在点 M ，使得 FM ∥ 平面 PDE ？若存在，求出 PC 的值；若
不存在，请说明理由.
20． （12 分神州智达）已知椭圆
E:
1 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ，且过点（1， 2 ） 。
若点 M（
x 0 ,y 0
x0 y0 ）在椭圆 E 上，则点 N（ a ， b ）称为点 M 的一个“椭点” 。
（I）求椭圆 E 的方程。 （II）若直 l:y=kx+m 与椭圆 E 交于不同的两 A. B，且 A,B 两点的（椭点）分别为 P,Q,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点，试判断 AOB 的面积是否是定值。若为定值，求出定值；若不是定 值，说明理由。.
21． （12 分）已知函数
f ? x ? ? ? x ? 2? ex
和
g ? x ? ? kx3 ? x ? 2
．
（1）若函数
g ? x?
在区间
?1, 2 ? 不单调，求实数 k 的取值范围；
f ? x? ? g ? x?
恒成立，求实数 k 的最大值．
（2）当
x ? ? 0, ?? ?
时，不等式
22、
-5-
? 2 t, ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? 2 t, ? 2 （ t 为参数） 在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ? ，在 O 为极点， x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ? 2 cos ? . （1）求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 l 与 y 轴的交点为 P ，直线 l 与曲线 C 的交点为 A ， B ，求
PA PB
的值
-6-
参考答案 1．C 2． C 3．A 4．B 5．A 6．B.7．D 8．A 9．B 10．C. 11．D 12．A
13． 1
14．甲
? 17 ? ? 2, ? 15． 3 ? 1 . 16． ? 4 ?
S n ? 4 ? an ，得 S1 ? 4 ? a1 ，解得 a1 ? 2
2an ?1 ? an
17．试题解析： 解： （1）由
而
an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (4 ? an ?1 ) ? (4 ? an ) ? an ? an ?1
，即
，
an ?1 1 ? 2 ∴ an
?a ? 可见数列 n 是首项为 2，公比为 2 的等比数列．
1 1 an ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 2 2 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? log 2 an 2 ? (2 ? n) n ，
1
bn ?
（2）∵
bnbn ? 2 ?
∴
1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2
故数列
Tn ?
?bnbn? 2 ? 的前 n 项和
?( 1 1 1 1 ? ? )?( ? ) n ?1 n ?1 n n?2 ? ?
1? 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 3 5 4 6 ?
?
1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? )? ( ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2
?
3 1 1 1 3 ? ( ? )? 4 2 n ?1 n ? 2 4
n n
考点：1. a 与 S 的关系；2.等比数列的定义与性质；3.裂项相消法求和；4.数列与不等式.
-7-
45 n ? 18． （I）由题意得， 800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ，
解得 n
? 100. .…（4
分）
（II）由系统抽样得到的号码分别为 100 ， 225,350,475
其中 100 号为男生，设为 A ，而 225,350,475 都为女生，分别设为 从这 4 人中任选取 2 人所有的基本事件为：
(AB1 ) ， (AB 2 ) , (AB3 ) , (B1 B 2 ) , (B1 B 3 ) , (B 2 B 3 ) ，共有 6 个
B1 , B 2 , B 3
，
这两人均是女生的基本事件为 (B1 B 2 ) ,
(B1 B 3 ) (B 2 B 3 ) , ，共有 3 个
P? 3 1 ? 6 2
故从这 4 人中任选取 2 人，这两人均是女生的概率为 考点：抽样方法，古典概型. 19． 试题解析： （I）在矩形 ABCD 中， AB : BC ?
CAB ? 1 2,
2 :1 ，且 E 是 AB 的中点，
∴ tan ∠ ADE = tan ∠ ∴∠ ADE =∠ CAB ,
∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥ DE . 由题可知面 PAC ? 面 ABCD ，且交线为 AC ，∴ DE ? 面 PAC .
-8-
P
M D G H F A E B C
（II）作 DC 的中点 G ， GC 的中点 H ，连结 GB 、 HF . ∵ DG ∥ EB ，且 DG ?
EB
∴四边形 EBGD 为平行四边形，∴ DE ∥ GB
∵ F 是 BC 的中点， H 是 GC 的中点，∴ HF ∥ GB ，∴ HF ∥ DE . 作 H 作 HM ∥ PD 交 PC 于 M ，连结 FM ， ∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ，∴平面 HMF ∥平面 PDE ，∴ FM ∥平面 PDE .
由 HM
PM DH ? ?3 HC ∥ PD 可知：∴ MC
考点：直线与平面的垂直（平行）的性质与判定.
x2 y 2 ? ?1 3 20． （1） 4
(2)是定值 21．
S
AOB
? 3
试题解析： （1）依题意 ①当 时，
g ? ? x ? ? 3kx 2 ? 1
， 在 单调递减，不满足题意；
，所以
②当
时，
在
上单调递减，在
上单调递增，
-9-
因为函数
g ? x?
在区间
?1, 2 ? 不单调，所以
1?
1 1 1 ?2 ?k? 3k 3， ，解得 12
1 1 ?k? 3． 综上所述，实数 k 的取值范围是 12
（2）令
h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? x ? 2? e x ? kx3 ? x ? 2
h ? x ? ? ? x ? 2 ? e x ? kx 3 ? x ? 2 ? 0
，
依题可知
在
?0, ?? ? 上恒成立，
，
h? ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 3kx 2 ? 1
，令
? ? x ? ? h? ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 3kx 2 ? 1
由
? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0
k?
且
? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ?
．
①当 6k ? 1 ，即
1 6 时，
x 因为 x ? 0 ， e ? 1 ，所以
? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ? ? 0
，
所以函数
? ? x?
即
h? ? x ?
在
?0, ?? ? 上单调递增，又由 ? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0 ，
，所以
故当
x ? ? 0, ?? ?
h ? 0? ? 0
，即
时，
h? ? x ? ? h? ? 0 ? ? 0
h ? x?
在
?0, ?? ? 上单调递增，
又因为 ②当
，所以
h ? x? ? 0
在
?0, ?? ? 上恒成立，满足题意；
时，
当
x ? ? 0, ln ? 6k ? ?
，
? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ? ? 0
，函数
? ? x?
即
h? ? x ?
单调递减，
又由
? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0
h ? x?
，所以当
x ? ? 0, ln ? 6k ? ?
时，
h? ? x ? ? h? ? 0 ? ? 0
，
所以
在
? 0, ln ? 6k ? ? 上单调递减，又因为 h ? 0 ? ? 0 ，所以 x ? ? 0, ln ? 6k ? ? 时， h ? x ? ? 0 ，
在
这与题意
h ? x? ? 0
k?
?0, ?? ? 上恒成立相矛盾，故舍去．
综上所述，
- 10 -
1 1 6 ，即实数 k 的最大值是 6 ．
考点：1．导数与函数的单调性、极值；2．函数与不等式．
当且仅当
a?b?c?
2 2 时取等号，此时， ab ? bc 取得最大值 1.
考点：1、零点分段法；2、基本不等式．
? 2 t, ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? 2 t, 2 2 y ? x ? 3? t? t ?3 ? 2 ，∴ 2 2 22． （1）∵直线 l 的参数方程为 ? ，∴直线 l 的普
通方 程为
2 ?，∴曲线C 的直角坐标方程为 ， 又 ∵ ? ? 4 ? sin? ? 2? cos
( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ；
? 2 t ?x ? ? 2 ? ? y ? 3+ 2 t 2 2 ? 2 （ t 为参数）代入曲线C ：( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ，得到： （2）将直线的参数方程 ?
t 2 ? 2 2t ? 3 ? 0 ， t1t2 ? ?3 ， PA PB ? t1t2 ? 3 ．
考点：1．参数方程，极坐标方程与直角方程的互相转化；2．直线与圆的位置关系．
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