(名校精品)2018-2019学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学期第一次月半考试数学(文)试题Word版

2018-2019 学年河北省邯郸市大名县第一中学高二下学 期第一次月半考试文数试题
考试时间:120 分钟;分值:150 分 出题人 安素敏

第 I 卷(选择题)
一.选择题(每题 5 分,共 60 分)

1.已知集合

A ? ? x | x 2 ? 3 x ? 2 ? 0?

,集合 B={x|

log x 4 =2},则 A B ? (
D.



A.

??2,1, 2?

B.

??2, 2?

C.

?1, 2?

?2?

a?i 为纯虚数,则实数 a 1 2.(石家庄二模)若复数 ? i 的值为

A. i

B.0
x 2 ? 2 py ? p ? 0 ?

C.1

D.-1

3.已知抛物线

的准线经过点 ? ?1 ,? 1? ,则抛物线的焦点坐标为(



A.

? 0,1?
f

B.

? 0 ,2 ?

C.

?1 ,0?

D.

? 2 ,0 ?

4.已知函数
1 A. 2

? x? ?

x2 e x ,在区间 ? ?1 ,4 ? 上任取一点,则使 f ' ? x0 ? ? 0 的概率是(
1 C. 3



2 B. 5

1 D. 6

5. (五年高考真题) 若正数 x , y 满足 3x ? y ? 5 xy , 则 4 x ? 3 y 的取最小值时 y 的值为 ( A.1 B.3 C.4 D.5



6.设函数

f ( x) ? sin ? x ?? ? 0 ?

,将 y ? f ( x) 的图象向右平移 6 个单位长度后,所得图象关于 y )
[]

?

轴对称,则 ? 的最小值是(
1 A. 3

B.3

C.6

D.9

-1-

7.执行如图所示的算法,则输出的结果是(



[]

A.2

4 B. 3

5 C. 4

D.1

8.如图给出了一种植物生长时间 t (月)与枝数 (枝)之间的散点图. 请你根据此判断这种 植物生长的时间与枝数的关系用下列哪个函数模型拟合最好?( )

y

A.指数函数: y ? 2 C.幂函数: y ? t
3

t

B.对数函数: y ? log 2 t D.二次函数: y ? 2t
2

9. (五年高考真题) 若 x , y 满足 A.-1 B.1

?x ? y ? 3 ? 0 ? ? x ? y ?1 ? 0 ? x?k ?
C.-7

x ? y 的最大值为 6, , 且z ?2 则 k 的值为 (
D.7 )



10.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(
-2-

113 A. 3

B.35

104 C. 3

107 D. 3
2

11.在 △ ABC 中,角

A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,已知 a ? 3 , ? b ? c ? ? 3bc ? a 2 ? 0 ,则


b ? c 的取值范围是(
(0 ,6] A.

( 3 , 6] B.

(1 ,6] C.

(3 ,6] D.

12.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足:函数 y ? f ( x ? 1) 的图象关于直线 x ? 1 对称,且 当 x ? (??, 0), f ( x) ? xf '( x) ? 0 成立(
b ? (ln2) f (ln2) ,
c ? 2 f (log 1
2

f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数), 若 a ? (sin 2 ) f (sin 2 ) ,


1

1

1 ) 4 , 则 a, b, c 的大小关系是(

A. a ? b ? c

B. b ? a ? c

C. c ? a ? b

D. a ? c ? b

第 II 卷(非选择题)
二.填空题(每题 5 分,共 20 分)

13.已知向量 满足 sin ? ? __________.

a ,b

a ? 1 ,b ? 2 ,a ? b ?

?

3, 2

? ,记向量 a ,b 的夹角为 ?

,则

14.在一次连环交通事故中,只有一个人需要负主要责任,但在警察询问时,甲说: “主要责 任在乙” ;乙说: “丙应负主要责任” ;丙说“甲说的对” ;丁说: “反正我没有责任” .四人中 只有一个人说的是真话,则该事故中需要负主要责任的人是_______________.
-3-

C:
15. (神州智达)椭圆

x2 y 2 ? ? 1 ? a ? b ? 0? F F a 2 b2 的左、右焦点分别为 1 , 2 ,焦距为 2c .若直

?MF1 F2 ? 2?MF2 F1 线 y ? 3( x ? c) 与椭圆 C 的一个交点 M 满足 ,则该椭圆的离心率等于
__________.

? lg ? ? x ? , x ? 0 ? f ? x? ? ? 2 f 2 ? x ? ? bf ? x ? ?1 ? 0 ? ? x ? 6 x ? 4, x ? 0 , 16. 已知函数 若关于 x 的方程 有 8 个不同
根,则实数 b 的取值范围是______________.

三.解答题(写出必要的步骤与过程)

17. (12 分)已知数列

?an ? 的各项均是正数,其前 n 项和为 Sn ,满足 Sn ? 4 ? an (n ? N * ) .

(1)求数列
bn ?

?an ? 的通项公式;
1 (n ? N *) 2 ? log 2 an ,数列

(2)设

?bn ? bn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: T

n

?

3 4.

18. (12 分) “中国式过马路”是网友对部分中国人集体闯红灯现象的一种调侃,即“凑够 一撮人就可以走了,和红绿灯无关.”出现这种现象是大家受法不责众的“从众”心理影响, 从而不顾及交通安全.某校对全校学生过马路方式进行调查,在所有参与调查的人中, “跟从 别人闯红灯” “从不闯红灯” “带头闯红灯”人数如表所示: 跟从别人闯红灯 男生 女生 800 100 从不闯红灯 450 150
[]

带头闯红灯 200 300

(Ⅰ)在所有参与调查的人中,用分层抽样的方法抽取 n 人,已知“跟从别人闯红灯”的人 抽取了 45 人,求 n 的值; (Ⅱ)在“带头闯红灯”的人中,将男生的 200 人编号为 1,2,…,200;将女生的 300 人编 号为 201,202,…,500,用系统抽样的方法抽取 4 人参加“文明交通”宣传活动,若抽取的 第一个人的编号为 100,把抽取的 4 人看成一个总体,从这 4 人中任选取 2 人,求这两人均是 女生的概率. 19. (12 分石家庄二模)如图,四棱锥 P ?
-4-

ABCD 的底面 ABCD 为矩形, AB ? 2 2 ,

BC ? 2 ,点 P 在底面上的射影在 AC 上, E , F 分别是 AB, BC 的中点.

(I)证明: DE ? 平面 PAC ;
PM (II)在 PC 边上是否存在点 M ,使得 FM ∥ 平面 PDE ?若存在,求出 PC 的值;若

不存在,请说明理由.

20. (12 分神州智达)已知椭圆

E:

1 3 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b 的离心率为 2 ,且过点(1, 2 ) 。

若点 M(

x 0 ,y 0

x0 y0 )在椭圆 E 上,则点 N( a , b )称为点 M 的一个“椭点” 。

(I)求椭圆 E 的方程。 (II)若直 l:y=kx+m 与椭圆 E 交于不同的两 A. B,且 A,B 两点的(椭点)分别为 P,Q,以 PQ 为直径的圆经过坐标原点,试判断 AOB 的面积是否是定值。若为定值,求出定值;若不是定 值,说明理由。.

21. (12 分)已知函数

f ? x ? ? ? x ? 2? ex



g ? x ? ? kx3 ? x ? 2



(1)若函数

g ? x?

在区间

?1, 2 ? 不单调,求实数 k 的取值范围;
f ? x? ? g ? x?
恒成立,求实数 k 的最大值.

(2)当

x ? ? 0, ?? ?

时,不等式

22、

-5-

? 2 t, ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? 2 t, ? 2 ( t 为参数) 在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ,在 O 为极点, x 轴正半
轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4 sin ? ? 2 cos ? . (1)求直线 l 的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程; (2)若直线 l 与 y 轴的交点为 P ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A , B ,求

PA PB

的值

-6-

参考答案 1.C 2. C 3.A 4.B 5.A 6.B.7.D 8.A 9.B 10.C. 11.D 12.A

13. 1

14.甲

? 17 ? ? 2, ? 15. 3 ? 1 . 16. ? 4 ?
S n ? 4 ? an ,得 S1 ? 4 ? a1 ,解得 a1 ? 2
2an ?1 ? an

17.试题解析: 解: (1)由



an ?1 ? Sn ?1 ? Sn ? (4 ? an ?1 ) ? (4 ? an ) ? an ? an ?1

,即



an ?1 1 ? 2 ∴ an

?a ? 可见数列 n 是首项为 2,公比为 2 的等比数列.
1 1 an ? 2( ) n ?1 ? ( ) n ? 2 2 2 ∴
1 1 1 ? ? 2 ? log 2 an 2 ? (2 ? n) n ,

1

bn ?
(2)∵
bnbn ? 2 ?



1 1 1 1 ? ( ? ) n(n ? 2) 2 n n ? 2

故数列
Tn ?

?bnbn? 2 ? 的前 n 项和
?( 1 1 1 1 ? ? )?( ? ) n ?1 n ?1 n n?2 ? ?

1? 1 1 1 1 1 1 1 (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 2? 3 2 4 3 5 4 6 ?

?

1 1 1 1 1 3 1 1 (1 ? ? ? )? ( ? ? ) 2 2 n ?1 n ? 2 2 2 n ?1 n ? 2

?

3 1 1 1 3 ? ( ? )? 4 2 n ?1 n ? 2 4
n n

考点:1. a 与 S 的关系;2.等比数列的定义与性质;3.裂项相消法求和;4.数列与不等式.

-7-

45 n ? 18. (I)由题意得, 800 ? 100 800 ? 450 ? 200 ? 100 ? 150 ? 300 ,

解得 n

? 100. .…(4

分)

(II)由系统抽样得到的号码分别为 100 , 225,350,475

其中 100 号为男生,设为 A ,而 225,350,475 都为女生,分别设为 从这 4 人中任选取 2 人所有的基本事件为:
(AB1 ) , (AB 2 ) , (AB3 ) , (B1 B 2 ) , (B1 B 3 ) , (B 2 B 3 ) ,共有 6 个

B1 , B 2 , B 3



这两人均是女生的基本事件为 (B1 B 2 ) ,

(B1 B 3 ) (B 2 B 3 ) , ,共有 3 个
P? 3 1 ? 6 2

故从这 4 人中任选取 2 人,这两人均是女生的概率为 考点:抽样方法,古典概型. 19. 试题解析: (I)在矩形 ABCD 中, AB : BC ?
CAB ? 1 2,

2 :1 ,且 E 是 AB 的中点,

∴ tan ∠ ADE = tan ∠ ∴∠ ADE =∠ CAB ,

∵∠ CAB ? ∠ DAC ? 90 ,∴∠ ADE ? ∠ DAC ? 90 ,即 AC ⊥ DE . 由题可知面 PAC ? 面 ABCD ,且交线为 AC ,∴ DE ? 面 PAC .

-8-

P

M D G H F A E B C

(II)作 DC 的中点 G , GC 的中点 H ,连结 GB 、 HF . ∵ DG ∥ EB ,且 DG ?
EB

∴四边形 EBGD 为平行四边形,∴ DE ∥ GB

∵ F 是 BC 的中点, H 是 GC 的中点,∴ HF ∥ GB ,∴ HF ∥ DE . 作 H 作 HM ∥ PD 交 PC 于 M ,连结 FM , ∵ HF ∥ DE , HM ∥ PD ,∴平面 HMF ∥平面 PDE ,∴ FM ∥平面 PDE .

由 HM

PM DH ? ?3 HC ∥ PD 可知:∴ MC

考点:直线与平面的垂直(平行)的性质与判定.

x2 y 2 ? ?1 3 20. (1) 4

(2)是定值 21.

S

AOB

? 3

试题解析: (1)依题意 ①当 时,

g ? ? x ? ? 3kx 2 ? 1

, 在 单调递减,不满足题意;

,所以

②当

时,



上单调递减,在

上单调递增,

-9-

因为函数

g ? x?

在区间

?1, 2 ? 不单调,所以

1?

1 1 1 ?2 ?k? 3k 3, ,解得 12

1 1 ?k? 3. 综上所述,实数 k 的取值范围是 12
(2)令

h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? x ? 2? e x ? kx3 ? x ? 2
h ? x ? ? ? x ? 2 ? e x ? kx 3 ? x ? 2 ? 0



依题可知



?0, ?? ? 上恒成立,


h? ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 3kx 2 ? 1

,令

? ? x ? ? h? ? x ? ? ? x ? 1? e x ? 3kx 2 ? 1



? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0
k?



? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ?



①当 6k ? 1 ,即

1 6 时,

x 因为 x ? 0 , e ? 1 ,所以

? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ? ? 0



所以函数

? ? x?



h? ? x ?



?0, ?? ? 上单调递增,又由 ? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0 ,
,所以

故当

x ? ? 0, ?? ?
h ? 0? ? 0
,即

时,

h? ? x ? ? h? ? 0 ? ? 0

h ? x?



?0, ?? ? 上单调递增,

又因为 ②当

,所以

h ? x? ? 0



?0, ?? ? 上恒成立,满足题意;

时,



x ? ? 0, ln ? 6k ? ?



? ? ? x ? ? x ? e x ? 6k ? ? 0

,函数

? ? x?



h? ? x ?

单调递减,

又由

? ? 0 ? ? h? ? 0 ? ? 0
h ? x?

,所以当

x ? ? 0, ln ? 6k ? ?

时,

h? ? x ? ? h? ? 0 ? ? 0



所以



? 0, ln ? 6k ? ? 上单调递减,又因为 h ? 0 ? ? 0 ,所以 x ? ? 0, ln ? 6k ? ? 时, h ? x ? ? 0 ,


这与题意

h ? x? ? 0
k?

?0, ?? ? 上恒成立相矛盾,故舍去.

综上所述,
- 10 -

1 1 6 ,即实数 k 的最大值是 6 .

考点:1.导数与函数的单调性、极值;2.函数与不等式.

当且仅当

a?b?c?

2 2 时取等号,此时, ab ? bc 取得最大值 1.

考点:1、零点分段法;2、基本不等式.

? 2 t, ?x ? ? 2 ? ? y ? 3 ? 2 t, 2 2 y ? x ? 3? t? t ?3 ? 2 ,∴ 2 2 22. (1)∵直线 l 的参数方程为 ? ,∴直线 l 的普
通方 程为
2 ?,∴曲线C 的直角坐标方程为 , 又 ∵ ? ? 4 ? sin? ? 2? cos

( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 5 ;
? 2 t ?x ? ? 2 ? ? y ? 3+ 2 t 2 2 ? 2 ( t 为参数)代入曲线C :( x ? 1) ? ( y ? 2) ? 5 ,得到: (2)将直线的参数方程 ?

t 2 ? 2 2t ? 3 ? 0 , t1t2 ? ?3 , PA PB ? t1t2 ? 3 .
考点:1.参数方程,极坐标方程与直角方程的互相转化;2.直线与圆的位置关系.

- 11 -


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