3.2简单的三角恒等变换(2)


3.2 简单的三角恒等变换(二) 班别:____ 组别:____ 姓名:____ 评价:____
【学习目标】 (1)通过三角恒等变形,形如 a sin x ? b cos x 的函数转化为 y ? A sin(x ? ? ) 的函数; (2)灵活利用公式,通过三角恒等变形,解决函数的最值、周期、单调性等问题。

☆预习案☆ (约

分钟)

依据课前预习案通读教材,进行知识梳理,完成预习自测题目,并将预习中不能解决的问题填写 到后面“我的疑惑”处。 【知识要点】 (阅读课文 140—141 页,完成导学案) 1. 二倍角公式

cos ? ? 2 cos 2

?
2

?1



cos ? ? 1 ? 2sin 2

?
2

sin 2
2. 二倍角公式变形为降幂公式 【预习自测】 1. 化简 3 ? cos2 ? 2sin 21 = 2. y ? 2 cos
2

?
2

?

1 ? cos ? 2

cos 2


?
2

?

1 ? cos ? ? 1 ? cos ? tan ? 2 2 1 ? cos ? ;

x ? 1 的最小正周期 2
;最小值

;递增区间 。 (课本 P142)



最大值 【我的疑惑】

请你将预习中未能解决或有疑惑的问题写下来,等待课堂上与老师和同学探究解决。

☆探究案☆ (约
【典型例题】

分钟)

【例题 1】求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期,最大值和最小值. (课本 P140)

【例题 2】如图,已知 OPQ 是半径为 1,圆心角为

形,记 ?COP ? ? ,求当角 ? 取何值时,矩形 ABCD 的面积最大?并求出这个最大的面积。 (课本 P141) Q D

? 的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩 3

C

?
O A B P

☆训练案☆ (约
【基础训练】——把最简单的题做好就叫不简单! 1. 已知 sin ?=

分钟)
5 3
) A. -

2 ,则 cos(?-2?)=( 3

)

A. -

B.

1 9
B.

C. -

1 9 3 4

D.

5 3
D. -

2. 已知?为第二象限的角,sin ?=

3 ,则 tan 2?=( 5
)

24 7
3 B. 2

24 7
C. 3π B. 2

C. 2+1 2

3 4

3.函数 f(x)=cos2x+sinxcosx 的最大值是( 4.函数 f(x)=(1+ 3tanx)cosx 的最小正周期为( 5. 1 3 - 的值为________. sin10° sin80°

A.2 ) A.2π

1+2 2 D. 2 π D. 2

C.π

【能力训练】——挑战高手,我能行! 6. 已知函数 f(x)=cos ? 2 x ? (2)若 f(?)=

? ?

??

2 2 ? +sin x-cos x. (1)求函数 f(x)的单调减区间; 3?

3 ,2?是第一象限角,求 sin 2?的值. 5

【自主总结】——概念、定义、公式、定理、题型、方法…… 1、学会了 2、掌握了 3、还有疑难

3.2 简单的三角恒等变换(二)答案
【知识要点】 【预习自测】1 2cos1 ,2(解析 y ? cos x ? 2 , T ? 2? , [? ? 2k? , 2? ? 2k? ](k ? Z ) ,3,1)

【典型例题】 【例题 1】课本 P140 【例题 2】课本 P141 【基础训练】1 C ; 2 A ;3 C ;4 A; 5 4. 3 [解析] f(x)=

1 ? cos 2 x 1 1 1 2 π 1 ? sin 2 x ? (sin 2 x ? cos 2 x) ? = sin(2x+ )+ 2 4 2 2 2 2 2
即 f(x)max= 2+1 2 1 ×1+ = . 2 2 2

π ∴当 sin(2x+ )=1 时,f(x)取得最大值 4

π? 4[解析] 因为 f(x)=(1+ 3tanx)cosx=cosx+ 3sinx=2cos? ?x-3?,所以 f(x)的最小正周期为 2π. cos10° - 3sin10° 2cos(10° +60° ) 1 3 5[解析] 原式= - = = =4. sin10° cos10° sin10° cos10° 1 sin20° 2 【能力训练】6. (1)因为 f(x)=cos ? 2 x ? =

? ?

??

1 3 2 2 sin 2x-cos 2x ? +sin x-cos x= 2 cos 2x+ 2 3?

1 3 ?? ? sin 2x- cos 2x=sin ? 2 x ? ? . 2 2 6? ? 3? 5? ? ? ? 所以,当 2k?+ ≤2x- ≤2k?+ (k∈Z),即 k?+ ≤x≤k?+ (k∈Z)时, 2 6 2 6 3 ? 5? ? ? 函数 f(x)递减.故所求函数 f(x)的单调递减间区为 ? k? ? , k? ? (k∈Z). 3 6 ? ? ?
(2)因为 2?是第一象限角, 所以 2k?-

? ? ? <2?- <2k?+ (k∈Z). 6 6 3 ?? 3 ?? 4 ? ? 由 f(?)=sin ? 2? ? ? = 得 cos ? 2? ? ? = . 6? 5 6? 5 ? ? ? ? ? ? 3 3?4 ?? ?? ?? 所以 sin 2?=sin ?? 2? ? ? ? ? = sin(2? ? ) cos ? cos(2? ? ) sin = . 6 6 6 6 10 6 ? 6? ??


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