2018年高考数学考点通关练第二章函数导数及其应用5函数的定义域和值域试题文

考点测试 5

函数的定义域和值域

一、基础小题 1.函数 f(x)= A.(0,2] C.(0,1)∪(1,2] 答案 C 1 解析 f(x)= + 2-x是复合函数,所以定义域要满足 lg x≠0 且 2-x≥0 且 x>0, lg x 所以 0<x≤2 且 x≠1. 2.若函数 y=x -4x 的定义域是{x|1≤x<5,x∈N},则其值域为( A.[-3,5) C.{-4,-3,0} 答案 C 解析 分别将 x=1,2,3,4 代入函数解析式,解得 y=-3,-4,-3,0,由集合中元素 的互异性可知值域是{-4,-3,0}. 3.函数 y= 16-4 的值域是( 答案 C 解析 由已知得 0≤16-4 <16,0≤ 16-4 < 16=4, 即函数 y= 16-4 的值域是[0,4). 4.若函数 y= kx -6x+k+8的定义域为 R,则实数 k 的取值范围是( A.(-∞,-9]∪[0,+∞) C.[-9,1] 答案 B 解析 由题意知 kx -6x+k+8≥0 对于 x∈R 恒成立,当 k≤0 时显然不符合,所以
2 2 2

1 + 2-x的定义域为( lg x

) B.(0,2) D.(-∞,2]

)

B.[-4,5) D.{0,1,2,3,4}

x

)

A.[0,+∞) B.[0,4] C.[0,4) D.(0,4)
x x x

)

B.[1,+∞) D.(0,1]

1

?k>0, ? ? ?Δ =36-4k?k+8?≤0, ?

解得 k≥1,故选 B. )

5.若函数 y=f(x)的值域是[1,3],则函数 F(x)=1-f(x+3)的值域是( A.[-8,-3] C.[-2,0] 答案 C B.[-5,-1] D.[1,3]

解析 ∵1≤f(x)≤3,∴-3≤-f(x+3)≤-1,∴-2≤1-f(x+3)≤0,即 F(x)的值 域为[-2,0].
? ??1-2a?x+3a,x<1, 6.已知函数 f(x)=? ?ln x,x≥1 ?

的值域为 R,那么实数 a 的取值范围是

(

) A.(-∞,-1] 1? ? C.?-1, ? 2 ? ? 答案 C 解析 由题意知 y=ln x(x≥1)的值域为[0,+∞),故要使 f(x)的值域为 R,则 y=(1 1? ? B.?-1, ? 2 ? ?

? 1? D.?0, ? ? 2?

1 1 -2a)x+3a 为增函数, 所以 1-2a>0, 即 a< , 同时, 1-2a+3a≥0, 即 a≥-1, 综上, -1≤a< , 2 2 故选 C. 7. 函数 f(x)=a +loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a, 则 a 的值为( A. 1 1 B. 4 2 C.2 D.4
x

)

答案 B 1 解析 当 a>1 时,a+loga2+1=a,loga2=-1,所以 a= ,与 a>1 矛盾;当 0<a<1 时, 2 1 1+a+loga2=a,loga2=-1,所以 a= . 2 1 ?1 ? 8.若函数 f(x)的值域是? ,3?,则函数 F(x)=f(x)+ 的值域是( f?x? ?2 ? )

?1 ? A.? ,3? ?2 ? ?5 10? C.? , ? ?2 3 ?
答案 B 解析 因为 F(x)=f(x)+

? 10? B.?2, ? 3? ? ? 10? D.?3, ? 3? ?
1 1 ≥2,当且仅当 f(x)= ,即 f(x)=1 时取等号, f?x? f?x?

1 5 所以 F(x)min=2;又函数 F(x)为连续函数,当 f(x)= 时,F(x)= ;当 f(x)=3 时,F(x)= 2 2 10 10 ? 10? ,故 F(x)max= ,所以 F(x)的值域为?2, ?.故选 B. 3? 3 3 ?
2

9.下列函数中,值域是(0,+∞)的是( A.y= 1 5 +1
-x

) B.y=

?1?x-1 ?2? ? ?

?1?1-x C.y=? ? ?3?
答案 C
-x

D.y= 1-2x

解析 因为 5 +1>1,所以 A 项中函数的值域为(0,1);B、D 项中函数的值域均为[0, +∞);因为 1-x∈R,根据指数函数性质可知 C 项中函数的值域为(0,+∞),故选 C. 10 .若函数 y= f(x)的定义域为 [0,2],则函数 g(x) =f(x+ 1) -f(x- 1) 的定义域为 ________. 答案 {1}
? ?0≤x+1≤2, 解析 由条件可得? ?0≤x-1≤2, ?
2

解得 x=1,所以 g(x)的定义域为{1}.

11.若函数 y=log2(ax +2x+1)的值域为 R,则 a 的取值范围为________. 答案 [0,1] 解析 设 f(x)=ax +2x+1,由题意知,f(x)取遍所有的正实数.当 a=0 时,f(x)=
? ?a>0, 2x+1 符合条件;当 a≠0 时,则? ?Δ =4-4a≥0, ?
2

解得 0<a≤1.所以 0≤a≤1.

12.已知函数 f(x)与 g(x)分别由下表给出:

x f(x) x g(x)
答案 {2,3,5}

1 2 1 2

2 1 2 3

3 4 3 4

4 2 4 5

则函数 y=g(f(x))的值域为________. 解析 由表格可知,函数 f(x)的定义域是{1,2,3,4}.则当 x=1 时,y=g(f(1))=g(2) =3;当 x=2 时,y=g(f(2))=g(1)=2;当 x=3 时,y=g(f(3))=g(4)=5;当 x=4 时,y =g(f(4))=g(2)=3.所以函数 y=g(f(x))的值域为{2,3,5}. 二、高考小题 13.[2015·重庆高考]函数 f(x)=log2(x +2x-3)的定义域是( A.[-3,1] C.(-∞,-3]∪[1,+∞) 答案 D 解析 由 x +2x-3>0,解得 x<-3 或 x>1,故选 D. 14.[2016·全国卷Ⅱ]下列函数中,其定义域和值域分别与函数 y=10 域相同的是( A.y=x ) B.y=lg x C.y=2
x
lg x 2 2

)

B.(-3,1) D.(-∞,-3)∪(1,+∞)

的定义域和值

D.y=

1

x
3

答案 D 解析 函数 y=10
lg x

的定义域、值域均为(0,+∞),而 y=x,y=2 的定义域均为 R,
3 2

x

排除 A,C;y=lg x 的值域为 R,排除 B,故选 D. 15.[2014·浙江高考]已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,且 0<f(-1)=f(-2)=f(- 3)≤3,则( A.c≤3 答案 C 解析 由 f(-1)=f(-2)=f(-3),得
?-1+a-b+c=-8+4a-2b+c, ? ? ? ?-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,
3 2

) B.3<c≤6 C.6<c≤9 D.c>9

解得?

?a=6, ? ? ?b=11.

所以 f(x)=x +6x +11x+c.由 0<f(-1)≤3, 得 0<-1+6-11+c≤3,即 6<c≤9, 故选 C. 16.[2016·北京高考]函数 f(x)= 答案 2 解析 解法一:∵f′(x)= -1 2,∴x≥2 时,f′(x)<0 恒成立, ?x-1?

x

x-1

(x≥2)的最大值为________.

∴f(x)在[2,+∞)上单调递减, ∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为 f(2)=2. 解法二:∵f(x)=

x x-1+1 1 = =1+ , x-1 x-1 x-1 x

1 ∴f(x)的图象是将 y= 的图象向右平移 1 个单位,再向上平移 1 个单位得到的. 1 ∵y= 在[2,+∞)上单调递减,

x

∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故 f(x)在[2,+∞)上的最大值为 f(2)=2. 解法三:由题意可得 f(x)=1+ ∵x≥2,∴x-1≥1,∴0< ∴1<1+ 1 ≤2,即 1< 1 1 . x-1

x-1

≤1,

x-1

x ≤2. x-1 x2-y2 (x,y∈R,xy≠0).当 x>0,y>0 时, xy

故 f(x)在[2,+∞)上的最大值为 2. 17.[2015·山东高考]定义运算“?”:x?y=

x?y+(2y)?x 的最小值为________.
答案 2

x2-y2 4y2-x2 x2+2y2 1?x 2y? 解析 因为 x>0,y>0,所以 x?y+(2y)?x= + = = ? + ?≥ 2 , xy 2xy 2xy 2? y x ?
当且仅当 =

x 2y ,即 x= 2y 时取等号.故 x?y+(2y)?x 的最小值为 2. y x
4

x ,x≤1, ? ? 18. [2015·浙江高考]已知函数 f(x)=? 6 x+ -6,x>1, ? ? x f(x)的最小值是________.
1 答案 - 2 2 6 -6

2

则 f(f(-2))=________,

1 1 解析 因为 f(-2)=4,f(4)=- ,所以 f(f(-2))=- ;x≤1 时,f(x)min=0,x>1 2 2 时,f(x)min=2 6-6,又 2 6-6<0,所以 f(x)min=2 6-6. 三、模拟小题 19.[2016·湖南三校联考]函数 f(x)= -x +3x+4+lg (x-1)的定义域是( A.[-1,4] B.(-1,4] C.[1,4] D.(1,4] 答案 D 解析
? ?-x +3x+4≥0, 由题意,得? ?x-1>0, ?
2 2

)

解得 1<x≤4.

1 ?1 ? 20.[2017·内蒙古包头一中模拟]若函数 f(x)= 的定义域为? ,1?∪(1, log3?2x+c? ?2 ? +∞),则实数 c 的值为( ) 1 A.1 B.-1 C.-2 D.- 2 答案 B
? ?2x+c>0, 解析 依题意,不等式组? ?2x+c≠1 ?

?1 ? 的解集应为? ,1?∪(1,+∞),所以 c=-1, ?2 ?

故选 B. 21.[2017·杭州联考]设 f(x)=lg A.(-4,0)∪(0,4) C.(-2,-1)∪(1,2) 答案 B 2+x x 2 2 解析 ∵ >0,∴-2<x<2,∴-2< <2 且-2< <2,取 x=1,则 =2 不合题意(舍去), 2-x 2 x x 故排除 A,取 x=2,满足题意,排除 C、D,故选 B. 4 22.[2017·邵阳石齐中学月考]已知函数 f(x)= -1 的定义域是[a,b](a,b∈ |x|+2 Z),值域是[0,1],那么满足条件的整数数对(a,b)共有( A.2 个 答案 C 4 4 解析 ∵函数 f(x)= -1 的值域是[0,1],∴1≤ ≤2,∴0≤|x|≤2,∴- |x|+2 |x|+2 2≤x≤2,∴[a,b]? [-2,2].
5

2+x ?x? ?2? ,则 f? ?+f? ?的定义域为( 2-x ?2? ?x? B.(-4,-1)∪(1,4) D.(-4,-2)∪(2,4)

)

)

B.3 个

C.5 个

D.无数个

又由于仅当 x=0 时,f(x)=1,当 x=±2 时,f(x)=0,故在定义域中一定有 0,且 2, -2 中必有其一,故满足条件的整数数对(a,b)有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(-1,2), (0,2)共 5 个. 23.[2017·东北三校联考]已知函数 f(x)=? 为( ) A.2017 答案 D 解析 如图作出 y=f(x)的图象,则 f(x)的值域为[0,+∞),故 f(a)不可能为-2. 1 B. C.0 D.-2 2016
?x?x+4?,x>0, ? ? ?x?x-4?,x≤0,

则 f(a)的值不可能

24.[2016·汕头模拟]函数 y=3 -1 的定义域为[-1,2],则函数的值域为________. 答案 [0,8] 解析 当 x=0 时,ymin=3 -1=3 -1=0,当 x=2 时,ymax=3 -1=3 -1=8,故值 域为[0,8].
|x| 0 |x| 2

|x|

一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型. 二、模拟大题 1.[2017·贵州六盘水二中月考]已知 f(x)=2+log3x,x∈[1,9],试求函数 y=[f(x)] +f(x )的值域. 解
2 2 2 2 2

∵f(x)=2+log3x 的定义域为[1,9],要使[f(x)] +f(x )有意义,必有 1≤x≤9 且
2 2 2 2 2

1≤x ≤9,∴1≤x≤3,∴y=[f(x)] +f(x )的定义域为[1,3]. 又 y=(2+log3x) +2+log3x =(log3x+3) -3. ∵x∈[1,3],∴log3x∈[0,1],∴ymax=(1+3) -3=13,ymin=(0+3) -3=6. ∴函数 y=[f(x)] +f(x )的值域为[6,13]. 2.[2017·云南师大附中月考]已知函数 f(x)=x -4ax+2a+6,x∈R. (1)若函数的值域为[0,+∞),求 a 的值; (2)若函数的值域为非负数集,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域. 解
2 2 2 2 2

f(x)=x2-4ax+2a+6=(x-2a)2+2a+6-4a2.

6

(1)∵函数值域为[0,+∞),∴2a+6-4a =0. 3 解得 a=-1 或 a= . 2 (2)∵函数值域为非负数集,∴2a+6-4a ≥0, 3 2 即 2a -a-3≤0,解得-1≤a≤ . 2 ∴f(a)=2-a|a+3|=2-a(a+3)
2

2

? 3?2 17 =-?a+ ? + , ? 2? 4
3? ? ∴f(a)在?-1, ?上单调递减, 2? ? 19 ∴- ≤f(a)≤4, 4

? 19 ? 即 f(a)值域为?- ,4?. ? 4 ?
3.[2016·浙江温州统考]已知函数 f(x)=lg(a -b )(a>1>b>0). (1)求 f(x)的定义域; (2)问是否存在实数 a、 b, 当 x∈(1, +∞)时, f(x)的值域为(0, +∞), 且 f(2)=lg 2? 若存在,求出 a、b 的值;若不存在,说明理由. 解 (1)由 a -b >0(a>1>b>0),得? ? >1,∵ >1, b
x x x x x x

?a?x ? ?

a b

∴x>0.∴f(x)的定义域为(0,+∞). (2)存在实数 a,b 满足条件,令 g(x)=a -b ,又 a>1>b>0,∴g(x)在(0,+∞)上为增 函数. 当 x∈(1,+∞)时,f(x)的值取到一切正数,则 g(1)=1,得 a-b=1.① 又 f(2)=lg 2,∴a -b =2.② 3 1 由①②得 a= ,b= . 2 2 4.[2016·山西质检]已知函数 g(x)= x+1,h(x)= 数且 a>0,令函数 f(x)=g(x)·h(x). (1)求函数 f(x)的表达式,并求其定义域; 1 (2)当 a= 时,求函数 f(x)的值域. 4 解 (1)∵g(x)= x+1,h(x)= 1 ,x∈(-3,a], x+3 1 1 ,x∈(-3,a],其中 a 为常 x+3
2 2

∴f(x)=g(x)·h(x)=( x+1)· 即 f(x)=

x+3



x+1 , x+3

x+1 ,x∈[0,a](a>0). x+3

7

1 ? 1? (2)当 a= 时,函数 f(x)的定义域为?0, ?, 4 ? 4?

? 3? 2 令 x+1=t,则 x=(t-1) ,t∈?1, ?. ? 2?
∴f(x)=F(t)=

t 1 = , t -2t+4 4 t+ -2 t
2

4 ? 3? 当 t= 时,t=±2??1, ?, t ? 2? 4 ? 3? 又 t∈?1, ?时,y=t+ 单调递减, t ? 2?

?1 6 ? 则 F(t)单调递增,∴F(t)∈? , ?, ?3 13? ?1 6 ? 即函数 f(x)的值域为? , ?. ?3 13?

8


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