北京市丰台区2011届高三一模数学(文)试卷及答案

北京市丰台区 2011 届高三一模 数 学(文科) 文科)

小题, 在每小题列出的四个选项中, 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 求的一项. 1.已知集 合 U = R , A = {x x ? 5 x + 6 ≥ 0} ,那么 ? U A =
2

(A) {x x < 2 或 x > 3} (C) {x x ≤ 2 或 x ≥ 3}

(B) {x 2 < x < 3} (D) {x 2 ≤ x ≤ 3}

2. “a=2”是“直线 ax+2y=0 与直线 x+y+1=0 平行”的 (A) 充分不必要条件 (C) 充 要条件 (B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

3.已知平面向量 a , b 的夹角为 60°, | a |= 4 , | b |= 3 ,则 | a + b | 等于 (A) 37
2

(B)
2

37

(C) 13

(D) 13

4.记集合 A = {( x, y ) x + y ≤ 4} 和集合 B = {( x, y ) | x + y ? 2 ≤ 0, x ≥ 0, y ≥ 0} 表示的平面 . 区域分别为 Ω1,Ω2,若在区域 Ω1 内任取一点 M(x,y),则点 M 落在区域 Ω2 内的概率为 (A )

1 2π

(B)

1 π

(C)

1 4

(D)

π?2 4π

5.如 图所示,O 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 对角线 A1C 与 AC1 的交点,E 为棱 BB1 的中点, . 则空间四边形 OEC1D1 在正方体各面上的正投影不可能是 ...
A1 O D D1 B1 C1

E C B

(A)

(B)

(C)

(D)

A

开始 6.程序框图如图所示,若输入 a 的值是虚数单位 i,则输出的结果是 (A) -1 (C) 0 (B) i-1 S=0,n=1 (D) - i S= S +an n= n +1 n≤2011 否 输出 S 结束 是 7.设 m,n 是两条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.有下列四个命题: ① 若 m ? β , α ⊥ β ,则 m ⊥ α ; 输入 a

② 若 α // β , m ? α ,则 m // β ; ③ 若 n ⊥ α , n ⊥ β , m ⊥ α ,则 m ⊥ β ; ④ 若 α ⊥ γ , β ⊥ γ , m ⊥ α ,则 m ⊥ β . 其中正确命题的序号是 (A) ①③ (B) ①②

(C) ③④

(D) ②③

8.若函数 f ( x ) 满足条件:当 x1 , x2 ∈ [ ?1,1] 时,有 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |≤ 3 | x1 ? x2 | 成立,则称 .

f ( x) ∈ ? .
对于函数 g ( x) = x 3 , h( x ) = (A) g ( x ) ∈ ? 且 h( x ) ? ? (C) g ( x ) ∈ ? 且 h( x ) ∈ ?

1 ,有 x+2
(B) g ( x ) ? ? 且 h( x ) ∈ ? (D) g ( x ) ? ? 且 h( x ) ? ?

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 小题,每小题 9.已知抛物线 y 2 = 4 x 上一点 P(3,y),则点 P 到抛物线焦点的距离为 . . 10.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,若 a2=1,S5=10,则 S7= . y 11.已知函数 f ( x) = ?

? e ? 1, x ≥ 0, 则 f ( ?1) = . ? f ( x + 2), x <0.
x

A

α
O x

12.如图所示,在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边与单位圆交于点 . A,点 A 的纵坐标为

4 ,则 cosα= . 5

13. 路段检查站监控录像显示, 某 在某段时间内有 2000 辆车通过该站, 现随机抽取其中的 200 辆进行车速分析,分析结果表示为如图所示的频率分布直方图.则图中 a= ,估计在这段 时间内通过该站的汽车中速度不小于 90km/h 的约有 辆. 14.用[x]表示不超过 x 的最大整数,如[1.8]=1.对于下面关于函数 14

f ( x) = ( x ? [ x]) 2 的四个命题:
①函数 y = f ( x) 的定义域为 R,值域为 [0,1] ; ②函数 y = f ( x) 的图象关于 y 轴对称; ③函数 y = f ( x) 是周期函数,最小正周期为 1;

③函数 y = f ( x) 在 (0,1) 上是增函数. 其中正确命题的序号是 . (写出所有正确命题的序号)

小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 三、解答题:本 大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题: 15. 本小题共 13 分) . ( 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b2+c2-a2=bc.[来源:学科网] (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) =

x x x 3 sin cos + cos 2 ,求 f (B ) 的最大值. 2 2 2

16. 本小题共 13 分) . ( 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°, BC= 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. D C B M P

1 AD, 2

Q A

17. 本小题共 13 分) . 本小题共 ( 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n = (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中, b1 = 5 , bn +1 = bn + an ,求数列 {bn } 的通项公式.

3 an ? 1 ( n ∈ N * ) . 2

18. 本小题共 14 分) . ( 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y = kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 OA 上存在一点 M , OB 上存在一点

1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

N ,使得 MN =

1 AB ,若原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值. 2

19. 本小题共 14 分) . ( 已知函数 f ( x) = x 3 + ax 2 + bx + 4 在 (?∞, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数. ( Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 x ≥ 0 时,曲线 y = f ( x) 总在直线 y = a 2 x ? 4 上方,求 a 的取值范围.

20. 本小题共 13 分) . ( 已知 S n = { A A = ( a1 , a2 , a3 ,? , an ) , i = 0 或 1, = 1, 2,? , n} ( n ≥ 2) , a i 对于 U , V ∈ S n ,

d (U , V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.
(Ⅰ)如果 U = (0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ∈ S 4 ,使得 d (U , V ) = 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)如果 W = (0, 0, 0,? , 0) , U , V ∈ S n ,求证: d (U , W ) + d (V , W ) ≥ d (U , V ) .
n个 0

(考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效) 考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效)

北京市丰台区 2011 届高三一模 数 学(文科)参考答案
5 A 6 A 7 D 8 C

小题, 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 选择题: 1 2 3 4 题号 答案 B C B A

小题, 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 填空题: 9.4 10.21 12. ?

11.e-1 14. ③③(写对一个给 2 分,

3 5

13.0.02,600

多写不给分) 注:两个空的填空题第一个空填对得 2 分,第二个空填对得 3 分. 小题, 解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 解答题: 15. 本小题共 13 分) . ( 已知△ABC 的内角 A,B,C 的对边 a,b,c 满足 b2+c2-a2=bc. (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)设函数 f ( x ) =

x x x 3 sin cos + cos 2 ,求 f (B ) 的最大值. 2 2 2
可得 cosA=

解: (Ⅰ)在△ABC 中,因为 b2+c2-a2=bc, 由余弦定理 a2= b2+c2-2bccosA 分) ……3 分 ∵ 角) ∴A= …………5 分 (

1 .(余弦定理或公式必须有一个,否则扣 1 2
是 三 角 形 内

0<A<π





写 成 A ……………………4 分

π . 3


…………

) ……………………7

x x x 3 1 1 f ( x) = 3 sin cos + cos 2 = sin x + cos x + 2 2 2 2 2 2


π 1 = sin( x + ) + , 6 2
……………9 分 ∵ A=

………

π 3 B+

∴ B ∈ (0,

2π ) 3




π π 5π < B+ < 6 6 6 π 3
时 ,

(没讨论,扣 1

分)……………… …10 分 ∴ 当

π π = 6 2



B=

f ( B)











3 . 2

……………………13 分

16. 本小题共 13 分) . ( 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 为直角梯形, AD//BC, ∠ADC=90°, BC= PA=PD,Q 为 AD 的中点. (Ⅰ)求证:AD⊥平面 PBQ; (Ⅱ)若点 M 在棱 PC 上,设 PM=tMC,试确定 t 的值,使得 PA//平面 BMQ. 证明: (Ⅰ)AD // BC,BC=

1 AD, 2

1 AD,Q 为 AD 的中点, 2
P [来源:学_科_网 Z_X_X_K] ……………………3 分 D ……………………4 分 Q ……………………5 分 A ……………………6 分 BMQ . ( 没 写 结 论 扣 N B 2 C M

∴ 四边形 BCDQ 为平行四边形, ……………………2 分 ∴CD // BQ . ∵ ∠ADC=90° ,

∴∠AQB= 90° , 即 QB⊥AD. ∵ PA=PD,Q 为 AD 的中点, ∴PQ⊥AD. ∵ PQ∩BQ=Q , ∴AD⊥平面 PBQ. ( Ⅱ ) 当 分)

t = 1 时 , PA// 平 面

……………………8 分 连接 AC,交 BQ 于 N,连接 MN. ∵BC // ∴

1 DQ, 2
BCQA 为 平 行 四 边 形 , 且 N 为 AC 中

四 边 形

点,

……………………9 分 ∵点 M 是线段 PC 的中点, ∴ MN// ……………………10 分 ∵ MN

PA.

?





BMQ



PA

?





BMQ, ∴

……………………11 分 PA // 平 面

BMQ.

……………………13 分

17. 本小题共 13 分) . 本小题共 ( 已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn,且 S n = (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)在数列 {bn } 中, b1 = 5 , bn +1 = bn + an ,求数列 {bn } 的通项公式. 解 : ( I ) 当 n=1 时 ,

3 an ? 1 ( n ∈ N * ) . 2

a1 =

3 a1 ? 1 2





a1=2. 当 n ≥ 2 时, ∵ Sn =

……………………2 分

3 an ? 1 2 3 S n ?1 = an ?1 ? 1(n ≥ 2) 2
② 得

① ② :



3 3 an = ( an ? 1) ? ( an ?1 ? 1) 2 2





an = 3an ?1 ,
∴ 列. ∴ 数 列 {an }

……………………3 分 是 首 项 为 2 , 公 比 为 3 的 等 比 数

……………………4 分

an = 2 ? 3n ?1 .
…6 分 (II)∵ bn +1 = bn + an , ∴当 n ≥ 2 时, bn = bn ?1 + 2 ? 3 ……
n?2

…………………

b3 = b2 + 2 ? 31 b2 = b1 + 2 ? 30
…………8 分 相 加 得 ……………………11 分 …………

bn = b1 + 2 ? (3n ? 2 + ? + 31 + 30 ) = 5 +

1 ? 3n ?1 = 3n ?1 + 4 . 1? 3

(相加 1 分,求和 1 分,结果 1 分) 当 n=1 时 …………………… 12 分 ,

31?1 + 4 = 5 = b1 ,


bn = 3n ?1 + 4 .

……………………13 分

18. 本小题共 14 分) . ( 已知椭圆 E 的焦点在 x 轴上,离心率为 (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)直线 y = kx ? 2 与椭圆 E 相交于 A,B 两点,在 OA 上存在一点 M , OB 上存在一点

1 3 ,对称轴为坐标轴,且经过点 (1, ) . 2 2

N ,使得 MN =
解 : ( Ⅰ )

1 AB ,若原点 O 在以 MN 为直径的圆上,求直线斜率 k 的值. 2
题 意 , 可 设 椭 圆



E









x2 y2 + = 1 (a > b > 0) . a2 b2


……………………1 分

c 1 = a 2



∴ ……………………3 分

a = 2c



b 2 = a 2 ? c 2 = 3c 2 .
∵ 椭圆经过点 (1, ) , ∴ 椭

3 2











x2 y 2 + = 1. 4 3

……………………5 分

(Ⅱ) 记 A, B 两点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,

? y = kx ? 2 ? 2 ?x y2 + =1 ? 3 ?4 (4k 2 + 3) x 2 ? 16kx + 4 = 0 .



y





……………………7 分

∵ 直线与椭圆有两个交点,[来源:学科网]

∴ ? = (16k ) ? 16(4k + 3) > 0 ,
2 4



k2 >

1 . 4
由韦达定理 x1 + x2 =

……………………9 分

16k 4 , x1 x2 = . 2 2 4k + 3 4k + 3

∵ 原点 O 在以 MN 为直径的圆上, ∴ OM ⊥ ON ,即 OM ? ON = 0 . ∵ MN = ∴

1 AB , M 在 OA 上, N 在 OB 上 2

OA ? OB = 0 ,
又 OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y2 ) ,

……………………10 分

∴ OA ? OB = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + ( kx1 ? 2)( kx2 ? 2) = ( k + 1) x1 x2 ? 2k ( x1 +x2 )+4
2

= (k 2 + 1)


4 16k ? 2k 2 +4=0 . 4k + 3 4k + 3
2

k2=

4 1 > 3 2



……………………13 分 ∴

k= ±

2 3 . 3

……………………14 分

19. 本小题共 14 分) . ( 已知函数 f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 4 在 (?∞, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数. (Ⅰ)求 b 的值; (Ⅱ)当 x ≥ 0 时,曲线 y = f ( x) 总在直线 y = a 2 x ? 4 上方,求 a 的取值范围. 解: (Ⅰ)∵ f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + 4 , ∴

f '( x) = 3 x 2 + 2ax + b .

……………………2 分

∵ f ( x ) 在 (?∞, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数, ∴ 当

x=0





f ( x)













f '(0) = 0 ,


……………………4 分

b = 0.
(Ⅱ) f '( x) = 3 x + 2ax = x(3 x + 2a ) ,
2

……………………6 分

∵ f ( x) 在 (?∞, 0) 上是增函数,在 (0,1) 上是减函数,[来源:学科网] ∴

2 ? a ≥1 3

, ……………………8 分



3 a≤? . 2
2 ∵曲线 y = f ( x) 在直线 y = a x ? 4 的上方,



g ( x) = ( x3 + ax 2 + 4) ? (a 2 x ? 4) ,
∴在 x ∈ [0, +∞ ) 时, g ( x ) ≥ 0 恒成立. ∵ g '( x ) = 3 x 2 + 2ax ? a 2 = (3 x ? a )( x + a ) , 令

……………………9 分

g '( x) = 0











?a



a 3





a < 0 < ?a , 3

……………………10 分

x
g '( x) g ( x)


(0, ? a )


?a
0
极小值

(?a, +∞)


?


?
时 ,

x = ?a

g ( x)









g (?a ) .

……………………12 分

令 g ( ?a ) = ( ? a 3 + a 3 + 4) ? ( ? a 3 ? 4) > 0 , ∴ a > ?8 ,由 a ≤ ?
3

3 , 2



?2 < a ≤ ?
……………………14 分

3 2

.

3 2 2 另解: 另解: f ( x) = x + ax + 4 , f '( x) = 3 x + 2ax = x(3 x + 2a )

当 a=0 时, f ( x) = x + 4 , f '( x) = 3 x ≥ 0 ,函数 f ( x ) 在定义域上为增函数,与已
3 2

知矛盾,舍; ………… …………7 分 当 a>0 时,由(Ⅰ)知, f '( x ) = x (3 x + 2a ) , 函数 f ( x ) 在 ( ?∞, ?

2a 2a ) 上为增函数,在 (? , 0) 上为减函数,与已知矛盾,舍; 3 3
…………

…………8 分 当 a<0 时 ,

f '( x) = x(3 x + 2a ) , 由 已 知 可 得 1 < ?

2a , ∴ 3

a≤?

3 2


……………………9 分

g ( x) = ( x3 + ax 2 + 4) ? (a 2 x ? 4) ,
分 ∴ g '( x ) = 3 x 2 + 2ax ? a 2 = (3 x ? a )( x + a ) 。 令 g '( x ) = 0 ,两个根为 ? a ,

……………………10

a a , < 0 < ?a , 3 3

x [来
源:Z+xx+k.Com]

(0, ? a )


?a
0
极小值 时 ,

(?a, +∞)


g '( x) g ( x)
∴ 当

?

? g ( x)
有 最 小 值

x = ?a

g (?a ) .

……………………12 分

令 g ( ?a ) = ( ? a 3 + a 3 + 4) ? ( ? a 3 ? 4) > 0 , ∴ a > ?8 ,由 a ≤ ?
3

3 , 2



3 ?2 < a ≤ ? . 2


………………… …14

20. 本小题共 13 分) . ( 已知 S n = { A A = ( a1 , a2 , a3 ,? , an ) , i = 0 或 1, = 1, 2,? , n} ( n ≥ 2) , a i 对于 U , V ∈ S n ,

d (U , V ) 表示 U 和 V 中相对应的元素不同的个数.
(Ⅰ)如果 U = (0, 0, 0, 0) ,存在 m 个 V ∈ S 4 ,使得 d (U , V ) = 2 ,写出 m 的值; (Ⅱ)如果 W = (0, 0, 0,? , 0) , U , V ∈ S n ,求证: d (U , W ) + d (V , W ) ≥ d (U , V ) .
n个 0

解 6. 4分







) ……………………

(Ⅱ)证明:令 U = ( a1 , a2 , a3 ,? , an ) , V = (b1 , b2 , b3 ,? , bn ) . ∵ ai = 0 或 1, bi = 0 或 1; 当 ai = 0 , bi = 0 时, | ai | + | bi |= 0 =| ai ? bi | ; 当 ai = 0 , bi = 1 时, | ai | + | bi |= 1 =| ai ? bi | ; 当 ai = 1 , bi = 0 时, | ai | + | bi |= 1 =| ai ? bi | ; 当 ai = 1 , bi = 1 时, | ai | + | bi |= 2 ≥| ai ? bi |= 0 . 故 | ai | + | bi | ≥| ai ? bi | . ∴ d (U , W ) + d (V , W ) = (a1 + a2 + a3 + ? +an ) + (b1 + b2 + b3 + ? +bn )

= (| a1 | + | a2 | + | a3|+ ? +|an |) + (| b1 | + | b2 | + | b3|+ ? +|bn |) ≥ (| a1 ? b1 | + | a2 ? b2 | + | a3 ? b3|+ ? +|an ? bn |) = d (U , V )
………13 分 法二:记 U 、V 中对应项同时为 0 的项的个数为 p ,对应项同时为 1 的项的个数为 q , 则对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数为 n ? p ? q ; ( p、q ∈ N,p + q ≤ n) . ……………

d (U , W ) 即是 U 中 1 的个数, d (V , W ) 即是 V 中 1 的个数,
d (U , V ) 是 U 、V 中对应项一个为 1,一个为 0 的项的个数.[来源:学*科*网]
于是有 d (U , V ) = n ? p ? q .

U 、V 中 1 一共有 2q + (n ? p ? q ) 个,即 d (U , W ) + d (V , W ) = n ? p + q .
所以有 d (U , W ) + d (V , W ) ? d (U , V ) = 2q ≥ 0 , 于 是 ……………………12 分

d (U , W ) + d (V , W ) ≥ d (U , V ) .


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