2013年北京市高三二模各区理科数学试题与答案海淀、西城、丰台、朝阳、东城

2013 北京市海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 (理科)

2013.5.6

本试卷共 4 页,150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上

作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项.
1.集合 A ? ?x | (x ?1)(x ? 2) ? 0?, B ? ?x x ? 0?,则 A B ?

A. (??,0]

B. (??,1]

C. [1,2]

D. [1, ??)

2.已知数列?an ? 是公比为 q 的等比数列,且 a1 ? a3 ? 4 , a4 ? 8 ,则 a1 ? q 的值为

A. 3

B. 2

C. 3 或 ?2

D. 3 或 ?3

3. 如图,在边长为 a 的正方形内有不规则图形 ? . 向正方形内随机撒豆子,若

撒在图形 ? 内和正方形内的豆子数分别为 m, n ,则图形 ? 面积的估计值为

A. ma n

B. na m

C. ma2 n

D. na2 m

4.某空间几何体的三视图如右图所示,则该几何体的表面积为

5

A.180 C. 276

B. 240 D. 300

5. 在 四边 形 ABCD 中 , “ ?? ?R , 使 得 A B ? ? DC, A D? ? B C” 是 “ 四边 形

ABCD 为平行四边形”的
A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

6

主视图 6

左视图

6

俯视图

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

6.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,且 5 不排在百位,2,4 都不排在个

位和万位,则这样的五位数个数为

A. 32

B. 36

C. 42

D. 48

7.双曲线 C 的左右焦点分别为 F1, F2 ,且 F2 恰为抛物线 y2 ? 4x 的焦点,设双曲线 C 与该抛

物线的一个交点为 A,若 ?AF1F2 是以 AF1 为底边的等腰三角形,则双曲线 C 的离心率为

A. 2

B.1? 2

C.1? 3

D. 2 ? 3

8. 若数列{an} 满足:存在正整数 T ,对于任意正整数 n 都有 an?T ? an 成立,则称数列{an} 为

周期数列,周期为 T .

已知数列{an} 满足 a1 ? m

(m

?

0)



an

?1

=

??an ?1 ?? an

? ,

1,

an ? 1, 0 ? an ? 1.

则下列结论中错.误.的是

A. 若 a3 ? 4 ,则 m 可以取 3 个不同的值

B. 若 m ? 2 ,则数列{an} 是周期为 3 的数列

C. ?T ?N* 且 T ? 2 ,存在 m ? 1,{an} 是周期为 T 的数列

D. ?m?Q 且 m ? 2,数列{an} 是周期数列

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 在极坐标系中,极点到直线 ? cos? ? 2 的距离为_______.

10.已知

a

?

ln

1 2

,b

?

sin

1 2

,c

?

?1
22

,则

a, b, c

按照从.大.到.小.排列为______.

11.直线 l1 过点 (?2,0) 且倾斜角为 30 ,直线 l2 过点 (2,0) 且与直线 l1 垂直,则直线 l1 与直线 l2 的交点坐标为____.

12.在 ?ABC 中, ?A ? 30 ,?B ? 45 ,a ? 2 ,则 b ? _____; S?ABC ? _____.

13.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为1 ,若动点 P 在线段 BD1 上运动,则 DC ? AP 的取值范
围是______________. 14.在平面直角坐标系中,动点 P(x, y) 到两条坐标轴的距离之和等于它到点 (1,1) 的距离,记
点 P 的轨迹为曲线W .
(I) 给出下列三个结论:
①曲线W 关于原点对称; ②曲线W 关于直线 y ? x 对称; ③曲线W 与 x 轴非负半轴, y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于 1 ;
2 其中,所有正确结论的序号是_____; (Ⅱ)曲线W 上的点到原点距离的最小值为______.

三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过

程.

15.(本小题满分 13 分)

已知函数 f (x) ? 1?

2

cos 2 x sin(x ?

π

)

.

4

(Ⅰ)求函数 f (x) 的定义域;

(Ⅱ) 求函数 f (x) 的单调递增区间.

16.(本小题满分 13 分) 福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业,现在福彩中心准备发行一种面
值为 5 元的福利彩票刮刮卡,设计方案如下:(1)该福利彩票中奖率为 50%;(2)每张中奖 彩票的中奖奖金有 5 元,50 元和 150 元三种;(3)顾客购买一张彩票获得 150 元奖金的概
率为 p ,获得 50 元奖金的概率为 2% .
(I) 假设某顾客一次性花 10 元购买两张彩票,求其至少有一张彩票中奖的概率;
(II)为了能够筹得资金资助福利事业, 求 p 的取值范围.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90 , ?CAB ? 30 , BC ? 2 ,
AD ? 4. 把 ?DAC 沿对角线 AC 折起到 ?PAC 的位置,如图 2 所示,使得点 P 在平面 ABC 上 的正投影 H 恰好落在线段 AC 上,连接 PB ,点 E, F 分别为线段 PA, AB 的中点. (I) 求证:平面 EFH / / 平面 PBC ; (II) 求直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值; (III)在棱 PA上是否存在一点 M ,使得 M 到点 P, H, A, F 四点的距离相等?请说明理由.

D

C

A

B
图1

P

E

A

HC

F

B

图2

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ex ,点 A(a,0) 为一定点,直线 x ? t(t ? a) 分别与函数 f (x) 的图象和 x
轴交于点 M , N ,记 ?AMN 的面积为 S(t) . (I)当 a ? 0 时,求函数 S(t) 的单调区间; (II)当 a ? 2 时, 若 ?t0 ?[0,2] ,使得 S(t0) ? e , 求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 14 分)

已知椭圆 M

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0)

的四个顶点恰好是一边长为

2,一内角为 60

的菱形

的四个顶点.

(I)求椭圆 M 的方程;

(II)直线 l 与椭圆 M 交于 A, B 两点,且线段 AB 的垂直平分线经过点 (0, ? 1 ) ,求 ?AOB 2
( O 为原点)面积的最大值.

20. (本小题满分 13 分)

设 A是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,如果某一行(或某一列)各数之和为负

数,则改变该行(或该列)中所有数的符号,称为一次“操作”.

(Ⅰ) 数表 A 如表 1 所示,若经过两次“操作”,使得到的数表每行 1

2

的各数之和与每列的各数之和均为非负实数,请写出每次“操作” ?2 1

3 ?7
01

后所得的数表(写出一种方法即可);

表1

(Ⅱ) 数表 A 如表 2 所示,若必须经过两次“操作”,才可使得到的数表每行的各数之和与每列

的各数之和均为非负整数,求整.数.a 的所有可能值;
(Ⅲ)对由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的任意一个数表 A ,
能否经过有限次“操作”以后,使得到的数表每行的各数之

a a2 ?1 ?a ?a2 2 ? a 1? a2 a ? 2 a2
表2

和与每列的各数之和均为非负整数?请说明理由.

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 (理科)

参考答案及评分标准

2013.5

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

B

D

C

B

C

A

B

D

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分, 有两空的小题,第一空 3 分,第二空 2 分, 共 30 分)

9. 2

10. c ? b ? a

11. (1, 3)

12. 2; 3 ?1 2

13. [0,1]

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)

15.(本小题满分 13 分)
解:(I)因为 sin(x ? π) ? 0 4
所以 x ? π ? kπ, k ? Z 4
所以函数的定义域为{x | x ? kπ+ π , k ? Z} 4
(II)因为 f (x) ? 1? cos2 x ? sin2 x sin x ? cos x
= 1? (cos x ? sin x)

14.②③; 2 ? 2
……………………2 分 ……………………4 分 ……………………6 分

?1? sin x ? cos x

= 1? 2 sin(x ? π) 4

……………………8 分

又 y ? sin x 的单调递增区间为 (2kπ ? π ,2kπ ? π) , k ? Z

2

2

令 2kπ ? π ? x ?π ?2 πk π?

2

4

2

解得 2kπ ? 3π ? x ? 2kπ ? π

4

4

……………………11 分

又注意到 x ? kπ+ π , 4

所以 f (x) 的单调递增区间为 (2kπ ? 3π ,2kπ ? π ) , k ? Z …………………13 分

4

4

16. 解:(I)设至少一张中奖为事件 A

则 P( A) ? 1? 0.52 ? 0.75

(II) 设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为?

则? 可以取 5,0,?45,?145

? 的分布列为

?

5

0

?45 ?145

P

50% 50% ? 2% ? p 2% p

…………………4 分 …………………6 分

…………………8 分

所以? 的期望为 E? ? 5?50% ? 0?(50% ? 2% ? p) ? (?45) ? 2% ? (?145) ? p

? 2.5 ? 90% ?145p

…………………11 分

所以当 1.6 ?145p ? 0 时,即 p ? 8 725

…………………12 分

所以当 0 ? p ? 8 时,福彩中心可以获取资金资助福利事业…………………13 分 17.解: 725

(I)因为点 P 在平面 ABC 上的正投影 H 恰好落在线段 AC 上

所以 PH ? 平面 ABC ,所以 PH ? AC

…………………1 分

因为在直角梯形 ABCD 中, ?ABC ? ?DAB ? 90 , ?CAB ? 30 ,

BC ? 2 , AD ? 4

所以 AC ? 4 , ?CAB ? 60 ,所以 ?ADC 是等边三角形,

所以 H 是 AC 中点,

…………………2 分

所以 HE / /PC

…………………3 分

同理可证 EF / /PB

又 HE EF ? E,CP PB ? P

所以平面 EFH / / 平面 PBC

…………………5 分

(II)在平面 ABC 内过 H 作 AC 的垂线

如图建立空间直角坐标系,

则 A(0,?2,0) , P(0,0,2 3) , B( 3,1,0)

…………………6 分

因为 E(0, ?1, 3) , HE ? (0, ?1, 3)

设平面 PHB 的法向量为 n ? (x, y, z)

因为 HB ? ( 3,1,0) , HP ? (0,0,2 3)

所以有

??HB ?

?

n

?

0

,即

?? ?

3x ? y ? 0 ,

??HP ? n ? 0 ??z ? 0

令 x ? 3, 则 y ? ?3, 所以 n ? ( 3, ?3,0)

z P

E

A

H

F x

B

Cy

…………………8 分

cos ? n, HE ?? n ? HE ? 3 ? 3 | n | ?| HE | 2 ? 2 3 4

…………………10 分

所以直线 HE 与平面 PHB 所成角的正弦值为 3 4
(III)存在,事实上记点 E 为 M 即可

…………………11 分 …………………12 分

因为在直角三角形 PHA中, EH ? PE ? EA ? 1 PA ? 2, 2
在直角三角形 PHB 中,点 PB ? 4, EF ? 1 PB ? 2 2
所以点 E 到四个点 P,O,C, F 的距离相等

…………………13 分 …………………14 分

18.解: (I) 因为 S(t) ? 1 | t ? a | et ,其中 t ? a 2

当 a ? 0 , S(t) ? 1 | t | et ,其中 t ? 0 2

当 t ? 0 时, S(t) ? 1 tet , S '(t) ? 1 (t ?1)et ,

2

2

所以 S '(t) ? 0 ,所以 S(t) 在 (0, ??) 上递增,

…………………2 分 …………………4 分

当 t ? 0 时, S(t) ? ? 1 tet , S '(t) ? ? 1 (t ?1)et ,

2

2

令 S '(t) ? ? 1 (t ?1)et ? 0 , 解得 t ? ?1,所以 S(t) 在 (??,?1) 上递增 2

令 S '(t) ? ? 1 (t ?1)et ? 0 , 解得 t ? ?1,所以 S(t) 在 (?1,0) 上递减 ……………7 分 2

综上, S(t) 的单调递增区间为 (0, ??) , (??,?1)

S(t) 的单调递增区间为 (?1,0) (II)因为 S(t) ? 1 | t ? a | et ,其中 t ? a
2

当 a ? 2 , t ?[0,2] 时, S(t) ? 1 (a ? t)et 2

因为 ?t0 ?[0,2] ,使得 S(t0 ) ? e ,所以 S(t) 在 [0,2] 上的最大值一定大于等于 e

S '(t) ? ? 1 [t ? (a ?1)]et ,令 S '(t) ? 0 ,得 t ? a ?1 2
当 a ?1? 2 时,即 a ? 3 时

…………………8 分

S '(t) ? ? 1 [t ? (a ?1)]et ? 0 对 t ?(0,2) 成立, S(t) 单调递增 2

所以当 t ? 2 时, S(t) 取得最大值 S(2) ? 1 (a ? 2)e2 2

令 1 (a ? 2)e2 ? e ,解得 a ? 2 ? 2 ,

2

e

所以 a ? 3

…………………10 分

当 a ?1? 2 时,即 a ? 3时

S '(t) ? ? 1 [t ? (a ?1)]et ? 0 对 t ?(0,a ?1) 成立, S(t) 单调递增 2

S '(t) ? ? 1 [t ? (a ?1)]et ? 0 对 t ?(a ?1,2) 成立, S(t) 单调递减 2

所以当 t ? a ?1时, S(t) 取得最大值 S(a ?1) ? 1 ea?1 2

令 S(a ?1) ? 1 ea?1 ? e ,解得 a ? ln2 ? 2 2

所以 ln2 ? 2 ? a ? 3

…………………12 分

综上所述, ln2 ? 2 ? a

…………………13 分

19.解:(I)因为椭圆 M

:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? b ? 0)

的四个顶点恰好是一边长为

2,

一内角为 60 的菱形的四个顶点,

所以 a ? 3,b ? 1,椭圆 M 的方程为 x2 ? y2 ? 1 3

…………………4 分

(II)设

A(

x1,

y1

),

B(

x2

,

y2

),

因为

AB

的垂直平分线通过点

(0,

?

1 2

)



显然直线 AB 有斜率,

当直线 AB 的斜率为 0 时,则 AB 的垂直平分线为 y 轴,则 x1 ? ?x2, y1 ? y2

所以

S?AOB

=

1 2

|

2 x1

||

y1

|?|

x1

||

y1

|?|

x1

|

1 ? x12 ? 3

x12 (1 ?

x12 3

)

?

1 3

x12

(3

?

x12

)

因为

x12 (3 ?

x12 )

?

x12

?

(3 ? 2

x12 )

?

3 2



所以 S?AOB ?

3 2

,当且仅当

|

x1

|?

6 时, S?AOB 取得最大值为 2

3 2

………………7 分

当直线 AB 的斜率不为 0 时,则设 AB 的方程为 y ? kx ? t

? y ? kx ? t

所以

? ? ??

x2 3

?

y2

,代入得到 (3k 2 ?1

? 1) x 2

? 6ktx ? 3t2

?3?

0

当 ? ? 4(9k 2 ? 3 ? 3t2 ) ? 0 ,

即 3k 2 ?1 ? t2 ①

方程有两个不同的解



x1

?

x2

?

?6kt , 3k 2 ?1

x1

? x2 2

?

?3kt 3k2 ?1

所以

y1

? 2

y2

?

t, 3k2 ?1



y1 ? y2 ? 1 22
0 ? x1 ? x2

?

?1 k

,化简得到 3k2

?1 ? 4t

2

…………………8 分 ②

代入 ① ,得到 0 ? t ? 4

…………………10 分

又原点到直线的距离为 d ? | t | k2 ?1

| AB |? 1 ? k 2 | x1 ? x2 |? 1 ? k 2

4(9k 2 ? 3 ? 3t2 ) 3k 2 ? 1

所以

S?AOB

=

1 2

|

AB

||

d

|?

1 2

|t | 1?k2 k2 ?1

4(9k2 ? 3 ? 3t2 ) 3k2 ?1

化简得到

S?AOB

=

1 4

3(4t ? t2 )

…………………12 分

因为 0 ? t ? 4 ,所以当 t ? 2 时,即 k ? ?

7 3

时,

S?AOB

取得最大值

3 2

综上, ?AOB 面积的最大值为 3 2
20.(I)解:法 1:

…………………14 分

1 2 3 ?7 ?改?变?第?4列?? 1 2 3 7 ?改?变?第?2行?? 1 2 3 7

?2 1 0 1

?2 1 0 ?1

2 ?1 0 1

法 2:

1 2 3 ?7 ?改?变?第?1列?? ?1 2 3 ?7 ?改?变?第?4列?? ?1 2 3 7

?2 1 0 1

2 10 1

2 1 0 ?1

…………………3 分 (II) 每一列所有数之和分别为 2,0, ?2 ,0,每一行所有数之和分别为 ?1 ,1;
①如果首先操作第三列,则
a a2 ?1 a ?a2 2 ? a 1? a2 2 ? a a2

则第一行之和为 2a ?1,第二行之和为 5 ? 2a , 这两个数中,必须有一个为负数,另外一个为非负数,

所以 a ? 1 或 a ? 5

2

2

当 a ? 1 时,则接下来只能操作第一行, 2

?a 1? a2 ?a a2 2 ? a 1? a2 2 ? a a2

此时每列之和分别为 2 ? 2a,2 ? 2a2,2 ? 2a,2a2 必有 2 ? 2a2 ? 0 ,解得 a ? 0,?1 当 a ? 5 时,则接下来操作第二行
2 a a2 ?1 a ?a2 a ? 2 a2 ?1 a ? 2 ?a2

此时第 4 列和为负,不符合题意. ② 如果首先操作第一行
?a 1? a2 a a2 2 ? a 1? a2 a ? 2 a2

…………………6 分

则每一列之和分别为 2 ? 2a , 2 ? 2a2 , 2a ? 2 , 2a2

当 a ? 1 时,每列各数之和已经非负,不需要进行第二次操作,舍掉

当 a ?1 时, 2 ? 2a , 2a ? 2 至少有一个为负数,

所以此时必须有 2 ? 2a2 ? 0 ,即 ?1? a ? 1,所以 a ? 0 或 a ? ?1

经检验, a ? 0 或 a ? ?1 符合要求

综上: a ? 0,?1

…………………9 分

(III)能经过有限次操作以后,使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数。

证明如下:

记数表中第 i 行第 j 列的实数为 cij( i ? 1,2, ,m; j ? 1,2, ,n ),各行的数字之和分别为

a1,a2, ,am ,各列的数字之和分别为 b1,b2 , ,bn ,A ? a1 ? a2 ? ? am ,B ? b1 ? b2 ? ? bn ,

数表中 m ? n 个实数之和为 S ,则 S ? A ? B 。记

? K ? min 1?i?m

k1ci1 ? k2ci2 ?

? T ? min 1? j?n

t1c1 j ? t2c2 j ?

| ? kncin kl ? 1或 ?1(l ? 1,2, ,n)且 k1ci1 ? k2ci2 ?
| ? tmcmj ts ? 1或?1(s ? 1,2, ,m)且 t1c1 j ? t2c2 j ?

? ? kncin ? 0
? ? tmcmj ? 0

? ? min?K,T ?.

按要求操作一次时,使该行的行和(或该列的列和)由负变正,都会引起 A (和 B ) 增大,从而也就使得 S 增加,增加的幅度大于等于 2? ,但是每次操作都只是改变数表中某 行(或某列)各数的符号,而不改变其绝对值,显然,S 必然小于等于最初的数表中 m ? n 个 实数的绝对值之和,可见其增加的趋势必在有限次之后终止。终止之时,必是所有的行和与

所有的列和均为非负实数,否则,只要再改变该行或该列的符号,S 就又会继续上升,导致

矛盾,故结论成立。

…………………13 分

2013 年北京市西城区高三二模试卷
高三数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)

2013.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项.

1.已知全集U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {0,1, 2,3} , B ? {2,3, 4},那么 ?U ( A B) ?

(A){0,1}

(B){2, 3}

(C){0,1, 4}

(D){0,1, 2,3, 4}

2.在复平面内,复数 z1 的对应点是 Z1(1,1) , z2 的对应点是 Z2 (1, ?1) ,则 z1 ? z2 ?

(A)1

(B) 2

(C) ? i

(D) i

3.在极坐标系中,圆心为 (1, ? ) ,且过极点的圆的方程是 2

(A) ? ? 2sin?

(B) ? ? ?2sin? (C) ? ? 2cos?

(D) ? ? ?2cos?

4.如图所示的程序框图表示求算式“ 2?3?5?9?17 ” 之值,
则判断框内可以填入
(A) k ?10 (B) k ?16 (C) k ? 22 (D) k ? 34

5.设

a

?

1
22



b

?

1
33



c

?

log3

2

,则

(A) b ? a ? c (C) c ? b ? a

(B) a ? b ? c (D) c ? a ? b

6.对于直线 m , n 和平面? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是

(A) m ? n , n ∥?

(B) m ∥ ? , ? ? ?

(C) m ? ? , n ? ? , n ? ?

(D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知正六边形 ABCDEF 的边长是 2 ,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物
线的焦点到准线的距离是

(A) 3 4

(B) 3 2

(C) 3

(D) 2 3

8.已知函数 f (x) ? x ?[x] ,其中 [x] 表示不超过实数 x 的最大整数.若关 于 x 的 方 程

f (x) ? kx ? k 有三个不同的实根,则实数 k 的取值范围是

(A)[?1, ? 1) (1 , 1] 2 43
(C)[? 1 , ? 1) (1 ,1] 34 2

(B) (?1, ? 1] [1 , 1) 2 43
(D) (? 1 , ? 1] [1 ,1) 34 2

第Ⅱ卷(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据

的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x乙 ,

则 x甲 ______ x乙 . (填入:“ ? ”,“ ? ”,或“ ? ”)
10. (2x ?1)5 的展开式中 x 3 项的系数是______.(用数字作答) 11.在△ ABC 中,BC ? 2 ,AC ? 7 ,B ? ? ,则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______.
3 12.如图, AB 是半圆 O 的直径, P 在 AB 的延长线上, PD 与半圆 O 相切于点 C , AD ? PD .若 PC ? 4 , PB ? 2,则 CD ? ______.

13.在等差数列 {an } 中, a2

? 5 , a1 ? a4

? 12 ,则 an

? ______;设 bn

?

1 an2 ?1

(n ? N*) ,

则数列{bn}的前 n 项和 Sn ? ______.

14.已知正数 a,b, c 满足 a ? b ? ab , a ? b ? c ? abc ,则 c 的取值范围是______.
三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤. 15.(本小题满分 13 分)

如图,在直角坐标系 xOy 中,角? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单

位圆于点 A ,且? ?? ? , ?) .将角? 的终边按逆时针方向旋转 ? ,交单位圆于点 B .记

62

3

A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) .

(Ⅰ)若

x1

?

1 3

,求

x2



(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C, D .记△ AOC

的面积为 S1 ,△ BOD 的面积为 S2 .若 S1 ? 2S2 ,求角? 的值.

16.(本小题满分 13 分) 某超市在节日期间进行有奖促销,凡在该超市购物满 300 元的顾客,将获得一次摸奖机
会,规则如下: 奖盒中放有除颜色外完全相同的 1 个红球,1 个黄球,1 个白球和 1 个黑球.顾客不放
回的每次摸出 1 个球,若摸到黑球则停止摸奖,否则就要将奖盒中的球全部摸出才停止.规 定摸到红球奖励 10 元,摸到白球或黄球奖励 5 元,摸到黑球不奖励.
(Ⅰ)求 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率;
(Ⅱ)记 X 为 1 名顾客摸奖获得的奖金数额,求随机变量 X 的分布列和数学期望.
17.(本小题满分 14 分)
如图 1,四棱锥 P ? ABCD中, PD ? 底面 ABCD,面 ABCD是直角梯形, M 为侧 棱 PD上一点.该四棱锥的俯视图和侧(左)视图如图 2 所示.
(Ⅰ)证明: BC ? 平面 PBD; (Ⅱ)证明: AM ∥平面 PBC;
(Ⅲ)线段 CD 上是否存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 3 ?若存在,找到 4
所有符合要求的点 N ,并求 CN 的长;若不存在,说明理由.

18.(本小题满分 13 分)
如图,椭圆 C : x2 ? y2 ? 1(0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意 m
一点,点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 (9 , 4 3 ) ,求 m 的值; 55 (Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

19.(本小题满分 14 分)
已知函数 f (x) ? 2 x3 ? 2x2 ? (2 ? a)x ?1 ,其中 a ?R . 3
(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
(Ⅱ)求 f (x) 在区间[2,3] 上的最大值和最小值.

20.(本小题满分 13 分)
已 知 集 合 Sn ? { (x1 , x2 ,

,nx ) 1x| 2x, , n是x, 正 整 数 1 , 2 , 3 , n 的, 一 个 排 列

} (n ? 2,) 函数

?1, x ? 0, g(x) ? ???1, x ? 0.

对于 (a1, a2 ,…an ) ? Sn ,定义: bi ? g(ai ? a1) ? g(ai ? a2 ) ? ? g(ai ? ai?1), i ?{2, 3, , n},b1 ? 0 ,称 bi 为 ai 的满意指 数.排列 b1, b2 , , bn 为排列 a1, a2 , , an 的生成列;排列 a1, a2 , , an 为排列 b1, b2 , , bn 的
母列.
(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3,5,1, 4, 6, 2 的生成列及排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列; (Ⅱ)证明:若 a1, a2 , , an 和 a1?, a2? , , an? 为 Sn 中两个不同排列,则它们的生成列也不
同;
(Ⅲ)对于 Sn 中的排列 a1, a2 , , an ,定义变换? :将排列 a1, a2 , , an 从左至右第一个
满意指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:一定可以经
过有限次变换? 将排列 a1, a2 , , an 变换为各项满意指数均为非负数的排列.

北京市西城区 2013 年高三二模试卷
高三数学(理科)参考答案及评分标准

一、1.C; 2.B; 3.A;

4.C;

5.D;

6.C; 7.B;

2013.5 8.B.

二、9. ? ;

10. 80 ;

11. 3 , 3 3 ; 2

12. 12 ; 5

13. 2n ?1, n ; 4(n ?1)

注:11、13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、15.(本小题满分 13 分)

14. (1, 4] . 3

(Ⅰ)解:由三角函数定义,得

x1

?

cos ?

, x2

?

cos(?

?

?) 3





因为 ? ?? ? , ?) , cos? ? 1 ,

62

3

所以 sin ? ? 1? cos2 ? ? 2 2 . 3

………………3 分

………………2

所以

x2

?

cos(?

?

?) 3

?

1 2

cos?

?

3 sin? ? 1? 2

2

6

6.

………………5



(Ⅱ)解:依题意得

y1

?

sin ?



y2

?

sin(?

?

?). 3

所以

S1

?

1 2

x1 y1

?

1 2

cos?

? sin ?

?

1 4

sin

2?





………………7

S2

?

1 2

|

x2

|

y2

?

1 [? cos(? 2

?

? )] ? sin(? 3

?

?) 3

?

?

1 4

sin(2?

?

2?) 3



……………9



依题意得 sin 2? ? ?2sin(2? ? 2?) , 整理得 cos 2? ? 0. …11 分 3

因为 ? ? ? ? ? , 所以 ? ? 2? ? ? ,所以 2? ? ? , 即 ? ? ? .…13 分

6

2

3

2

4

16.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:设“1 名顾客摸球 3 次停止摸奖”为事件 A ,

………………1



则 P( A) ? A32 ? 1 ,故 1 名顾客摸球 3 次停止摸奖的概率为 1 .…4 分

A34 4

4

(Ⅱ)解:随机变量 X 的所有取值为 0,5,10,15, 20 .

………………5



P( X ? 0) ? 1 , 4

P( X

? 5) ?

A22 A24

?

1 6

, P(X

? 10)

?

1 A24

?

A22 A34

?

1 6



P( X ? 15) ? C12 ? A22 ? 1 ,

A34

6

P( X

? 20) ?

A33 A44

?

1. 4

………10 分

所以,随机变量 X 的分布列为:

X

0

5

10 15 20

1

1

1

1

1

P

4

6

6

6

4

1分

EX ? 0? 1 ? 5? 1 ?10? 1 ?15? 1 ? 20? 1 ? 10 .

46

6

6

4



………………1 ………………13

17.(本小题满分 14 分)

【方法一】(Ⅰ)证明:由俯视图可得, BD2 ? BC2 ? CD2 ,

所以 BC ? BD.……1 分又因为 PD ? 平面 ABCD, 所以 BC ? PD…3 分所以 BC ? 平面 PBD.………4 分 (Ⅱ)证明:取 PC 上一点 Q ,使 PQ : PC ?1: 4 ,连结 MQ , BQ .

………………5


由左视图知 PM : PD ?1: 4,所以 MQ ∥ CD ,MQ ? 1 CD . 4


………………6

在△ BCD 中,易得 ?CDB ? 60? ,所以 ?ADB ? 30? .又 BD ? 2 , 所以 AB ?1,

AD ? 3 . 又因为 AB ∥ CD , AB ? 1 CD ,所以 AB ∥ MQ , AB ? MQ . 4 所以四边形 ABQM 为平行四边形,所以 AM ∥ BQ .

………………8



因为 AM ? 平面 PBC, BQ ? 平面 PBC,

所以 直线 AM ∥平面 PBC.


………………9

(Ⅲ)解:线段 CD 上存在点 N ,使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 3 .证明如下:………10 4

因为 PD ? 平面 ABCD, DA ? DC ,建立如图所示的空间直角坐标系 D ? xyz .

所以 D(0,0,0), A( 3,0,0), B( 3,1,0), C(0,4,0), M (0,0,3) . 设 N (0,t,0) ,其中 0 ? t ? 4.…11 分
所以 AM ? (? 3,0,3) , BN ? (? 3,t ?1,0) .

要使 AM 与 BN 所成角的余弦值为 3 ,则有 | AM ? BN | ? 3 , ………………12

4

| AM || BN | 4



所以

|3|

? 3 ,解得 t ? 0 或 2 ,均适合 0 ? t ? 4. ………………13

2 3 ? 3 ? (t ?1)2 4



故点 N 位于 D 点处,此时 CN ? 4 ;或 CD 中点处,此时 CN ? 2 ,有 AM 与 BN 所

成角的余弦值为 3 . …14 分 4
18.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点,因为 A(?1, 0) , P(9 , 4 3 ) , 55

所以 点 M 的坐标为 ( 2 , 2 3 ) .………………2 分 55

由点 M 在椭圆 C 上, 所以 4 ? 12 ? 1,………4 分解得 m ? 4 .

25 25m

7

(Ⅱ)解:设 M (x0 , y0 ) ,则

x02

?

y02 m

? 1 ,且 ?1 ?

x0

? 1.

…5 分



………………6 分

因为 M 是线段 AP 的中点,所以 P(2x0 ?1, 2 y0 ) .…7 分

因为 OP ? OM ,所以 x0 (2x0 ?1) ? 2 y02 ? 0 .

② …8 分



①,②

消去 y0 ,整理得

m?

2x02 ? x0 2x02 ? 2





………………10

所以

1

1

m

?

1?

2( x0

?

2)

?

6 x0 ?

2

?

8

?

2

?

3, 4



………………12

当且仅当

x0 ? ?2 ?

3 时,上式等号成立.所以

m 的取值范围是 (0, 1 ? 2

3 ] .…13 4



19.(本小题满分 14 分)

(Ⅰ)解: f (x) 的定义域为 R , 且 f ?(x) ? 2x2 ? 4x ? 2 ? a .

………………2


当 a ? 2 时, f (1) ? ? 1 , f ?(1) ? ?2 , 3
所 以 曲 线 y ? f (x) 在 点 ( 1 ,f ( 1处) ) 的 切 线 方 程 为
6x ? 3y ? 5 ? 0 .4 分

y ? 1 ? ?2(x ?1) , 即 3

(Ⅱ)解:方程 f ?(x) ? 0 的判别式为 ? ? 8a .

(ⅰ)当 a ? 0 时, f ?(x) ? 0 ,所以 f (x) 在区间 (2, 3) 上单调递增,所以 f (x) 在区

间 [2, 3]
上的最小值是 f (2) ? 7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3


………………6

(ⅱ)当 a ? 0 时,令 f ?(x) ? 0 ,得 x1 ? 1?

2a 2

,或 x2

?1?

2a . 2

f (x) 和 f ?(x) 的情况如下:

x

(??, x1)

x1

(x1, x2 )

f ?(x)

?

0

?

f (x)





x2

(x2 , ? ?)

0

?



故 f (x) 的 单 调 增 区 间 为 (??, 1? 2a ) , (1? 2a , ?? ) ; 单 调 减 区 间 为

2

2

(1? 2a ,1? 2a ) .

2

2

…8 分

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f (x) 在区间 (2, 3) 上单调递增,所以 f (x) 在区

间 [2, 3]
上的最小值是 f (2) ? 7 ? 2a ;最大值是 f (3) ? 7 ? 3a . 3


………………10

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f (x) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间

(x2 , 3) 上单调递增,

所以 f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是

f

(x2 ) ?

5?a? 3

a

2a 3



………………11



因为 f (3) ? f (2) ? 14 ? a , 3

所 以 当 2 ? a ? 14 时 , f (x) 在 区 间 [ 2 , 3 上] 的 最 大 值 是 f (3) ? 7 ? 3a ; 当 3

14 ? a ? 8 时 , f (x) 在 区 间 [2,3] 上 的 最 大 值 是 3

f (2) ? 7 ? 2a . 3

………………12 分

③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f (x) 在区间 (2, 3) 上单调递减,

所以 f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a ;最大值是 f (2) ? 7 ? 2a .………………14 3


综上,
当 a ? 2 时, f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 7 ? 2a ,最大值是 7 ? 3a ; 3

当 2 ? a ? 14 时, f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 5 ? a ? a 2a ,最大值是 7 ? 3a ;

3

3

3

当 14 ? a ? 8 时,f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 5 ? a ? a 2a ,最大值是 7 ? 2a ;

3

3

3

3

当 a ? 8 时, f (x) 在区间[2,3] 上的最小值是 7 ? 3a ,最大值是 7 ? 2a . 3
20.(本小题满分 13 分)

(Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3,5,1, 4,6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, ?3;

………………2



排列 0, ?1, 2, ?3, 4,3 的母列为 3, 2, 4,1,6,5 .

………………3



(Ⅱ)证明:设 a1, a2 , , an 的生成列是 b1, b2 , , bn ;a1?, a2? , , an? 的生成列是与 b1?, b2?, , bn? .

从右往左数,设排列 a1, a2 , , an 与 a1?, a2? , , an? 第一个不同的项为 ak 与 ak? ,即:

an ? an? , an?1 ? an??1 , , ak?1 ? ak??1 , ak ? ak? .

显然 bn ? bn? , bn?1 ? bn??1 , , bk?1 ? bk??1 ,下面证明:bk ? bk? .

………………5



由满意指数的定义知,ai 的满意指数为排列 a1, a2 , , an 中前 i ?1项中比 ai 小的项的

个数减去比 ai 大的项的个数.

由于排列 a1, a2 , , an 的前 k 项各不相同,设这 k 项中有 l 项比 ak 小,则有 k ? l ?1项

比 ak 大,从而 bk ? l ? (k ? l ?1) ? 2l ? k ?1.

同 理 , 设 排 列 a1?, a2? , , an? 中 有 l? 项 比 ak? 小 , 则 有 k ? l? ?1 项 比 ak? 大 , 从 而

bk? ? 2l? ? k ?1 .

因为 a1, a2 , , ak 与 a1?, a2? , , ak? 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak? ,

所以 l ? l? , 从而 bk ? bk? .

所以排列 a1, a2 , , an 和 a1?, a2? , , an? 的生成列也不同.

………………8



(Ⅲ)证明:设排列 a1, a2 , , an 的生成列为 b1, b2 , , bn ,且 ak 为 a1, a2 , , an 中从左至右
第一个满意指数为负数的项,所以

b1 ? 0, b2 ? 0, , bk?1 ? 0, bk ? ?1.

………………9 分

进行一次变换? 后,排列 a1, a2 , , an 变换为 ak , a1, a2 , ak?1, ak?1, , an ,设该排列

的生成列为 b1?, b2?, , bn? .

所以 (b1? ? b2? ? ? bn? ) ? (b1 ? b2 ? ? bn )

? [g(a1 ? ak ) ? g(a2 ? ak ) ? ? g(ak?1 ? ak )] ?[g(ak ? a1) ? g(ak ? a2 ) ? ? g(ak ? ak?1)] ? ?2 [g (ak ? 1a ) ? g (ka ?2 a ) ? ? gk( a ??k 1a ) ]

? ?2bk ? 2 .


………………11

因此,经过一次变换? 后,整个排列的各项满意指数之和将至少增加 2 .

因为 ai 的满意指数 bi ? i ?1,其中 i ? 1, 2,3, , n ,

所以,整个排列的各项满意指数之和不超过1? 2 ? 3 ?
即整个排列的各项满意指数之和为有限数,

? (n ?1) ? (n ?1)n , 2

所以经过有限次变换? 后,一定会使各项的满意指数均为非负数.

………………13 分

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学学科测试(理工类)
(考试时间 120 分钟 满分 150 分)

2013.5

本试卷分为选择题(共 40 分)和非选择题(共 110 分)两部分

第一部分(选择题 共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出 符合题目要求的一项.
(1)已知集合 M ? ?0,1,3? ,集合 N ? ?x x ? 3a, a ? M? ,则 M N =

A.?0?

B. ?0, 3?

C. ?1,3,9?

D. ?0,1,3,9?

? (2)若 1(x2 ? mx)dx ? 0 ,则实数 m 的值为 0

A. ? 1 3

B. ? 2 3

C. ?1

D. ?2

(3)执行如图所示的程序框图.若输出的结果是16 ,则判断框内的条件是

A. n ? 6 ?

B. n ? 7 ?

C. n ? 8 ?

D. n ? 9 ?

开始

S=0 n=1 S=S+n

1 1
正视图

1
侧视图

n=n+2 否
是 输出 S

俯视图

(第结3束题图) (第 3 题图)

(第 5 题图)

(4)若双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

? 0,b

? 0) 的渐近线与抛物线

y

?

x2

? 2 有公共点,则此双曲

线的离心率的取值范围是

A.[3, ??)

B. (3, ??)

C. (1,3]

D. (1,3)

(5)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

A. 1 6

B. 1 3

C. 1 2

D.1

(6)某岗位安排 3 名职工从周一到周五值班,每天只安排一名职工值班,每人至少安排一

天,至多

安排两天,且这两天必须相邻,那么不同的安排方法有

A.10 种

B.12 种

C.18 种

D. 36 种

(7)已知函数

f

(x)

?

a?2x

? 1(a

?

0) ,定义函数 F(x)

?

? f (x), ??? f (x),

x ? 0, 给出下列命题: x ? 0.

① F(x) ? f (x) ; ②函数 F(x) 是奇函数;③当 a ? 0 时,若 mn ? 0 ,m ? n ? 0 ,

总有 F(m) ? F(n) ? 0 成立,其中所有正确命题的序号是

A.②

B.①②

C.③

D.②③

(8)点 P 是棱长为 1 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 A1B1C1D1 上一点,则 PA PC1 的

取值范围是
A.[?1, ? 1] 4

B.[? 1 , ? 1] 24

C.[?1, 0]

D.[? 1 , 0] 2

第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡上.

(9) i 为虚数单位,计算 3 ? i ?



1? i

(10)若直线

l

与圆

C

:

?x

? ?

y

? ?

2cos? , ?1? 2sin?

(?

为参数)相交于

A

,B

两点,

且弦 AB 的中点坐标是 (1, ?2) ,则直线 l 的倾斜角为



(11)如图,PC 切圆 O 于点 C ,割线 PAB 经过圆心 O ,PC ? 4, PB ? 8,

则 tan ?COP ?

,△ OBC 的面积是



(12)某公司一年购买某种货物 600 吨,每次都购买 x 吨,运费为 3 万元/次,一年的总存

储费用为 2x

万元,若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买

吨.

?3x ? 4 y ? 19,

(13

将一个质点随机投放在关于

x,

y

的不等式组

? ?

x

?

1,

所构成的三角形区域内,则

?? y ? 1

该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是



(14)数列{2n ?1} 的前 n 项1,3, 7, , 2n ?1 组成集合 An ? {1, 3, 7, , 2n ?1}(n ? N?) ,从

集合 An 中任取 k (k ? 1, 2,3, ,n) 个数,其所有可能的 k 个数的乘积的和为 Tk (若只

取一个数,规定乘积为此数本身),记 Sn ? T1 ? T2 ? ? Tn .例如当 n ?1 时,A1 ? {1} ,

T1 ? 1,S1 ? 1 ;当 n ? 2 时,A2 ? {1,3} ,T1 ? 1? 3 ,T2 ? 1? 3 ,S2 ? 1? 3 ?1? 3 ? 7 .

则当 n ? 3 时, S3 ?

;试写出 Sn ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. (15)(本小题满分 13 分)

在△ ABC 中, A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ,且

f

( A)

?

2 cos

A sin(? ?

A) ? sin2

A?

cos2

A
.

2

2

2

2

(Ⅰ)求函数 f ( A) 的最大值;

(Ⅱ)若 f (A) ? 0, C ? ?? , a ? 6 ,求 b 的值. 12

P

(16)(本小题满分 14 分)

如图,四边形 ABCD是正方形, EA ? 平面 ABCD,
H
EA PD ,AD ? PD ? 2EA ? 2 ,F ,G , H 分别为 PB ,

EB , PC 的中点.

F

E

D

C

G

A

B

(Ⅰ)求证: FG 平面 PED ; (Ⅱ)求平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小; (Ⅲ)在线段 PC 上是否存在一点 M ,使直线 FM 与直线
PA 所成的角为 60 ?若存在,求出线段 PM 的长;若
不存在,请说明理由.

(17)(本小题满分 13 分)

为提高学生学习数学的兴趣,某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有 90 分,70

分,60 分,40 分,30 分五种,按本次比赛成绩共分五个等级.从参加比赛的学生中随机

抽取了 30 名学生,并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计,得到如下数据表:

成绩等级

A

B

C

D

E

成绩(分) 90

70

60

40

30

人数(名)

4

6

10

7

3

(Ⅰ)根据上面的统计数据,试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人,其

成绩等级为“ A 或 B ”的概率;

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论,若从该地区参加“数独比赛”的小学生(参赛人数很多)中任选 3

人,记 X 表示抽到成绩等级为“ A 或 B ”的学生人数,求 X 的分布列及其数学期望 EX ;

(Ⅲ)从这 30 名学生中,随机选取 2 人,求“这两个人的成绩之差大于 20 分”的概率.

(18)(本小题满分 13 分)

已知函数

f

(x)

?

mx x2 ?1

?1( m

?

0 ),

g ( x)

? ex2( ax

a)? R

.

(Ⅰ)求函数 f (x) 的单调区间; (Ⅱ)当 m ? 0 时,若对任意 x1, x2 ?[0, 2], f (x1) ? g(x2 ) 恒成立,求 a 的取值范围.

(19)(本小题满分 14 分)

已知椭圆 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1 (a

?b

? 0) 的右焦点为 F

(1, 0)

,短轴的端点分别为 B1, B2 ,

且 FB1 ? FB2 ? ?a . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 F 且斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆于 M , N 两点,弦 MN 的垂直平分线与 x 轴

相交于点 D .设弦 MN 的中点为 P ,试求 DP 的取值范围. MN

(20)(本小题满分 13 分)

已 知 实 数 x1, x2 , , xn ( n ? 2 ) 满 足 | xi |? 1(i ? 1, 2,3, , n) , 记

? S(x1, x2, , xn ) ?

xi xj .

1?i? j?n

(Ⅰ)求 S(?1,1, ? 2) 及 S(1,1, ?1, ?1) 的值; 3

(Ⅱ)当 n ? 3 时,求 S (x1, x2 , x3 ) 的最小值;

(Ⅲ)求 S (x1, x2 , , xn ) 的最小值.

? 注:

xi xj 表示 x1, x2 , , xn 中任意两个数 xi , x j (1 ? i ? j ? n )的乘积之和.

1?i? j?n

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习

数学学科测试答案(理工类)

2013.5

一、选择题:

题号 (1) (2) (3) (4) (5)

答案

D

B

C

A

A

二、填空题:

题 号

(9)

(10)

(11)

(12)



?

案 2?i

4

4

18

30

3

5

(注:两空的填空,第一空 3 分,第二空 2 分)

三、解答题:

(15)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)因为 f ( A) ? 2 cos A sin A ? sin2 A ? cos2 A

22

2

2

? sin A ? cos A ? 2 sin(A ? ?) . 4

(6) C
(13)
1? ? 12

(7) D

(8) D

(14)

63

n ( n ?1)
2 2 ?1

因为 A 为三角形的内角,所以 0 ? A ? ? ,

所以 ? ? ? A ? ? ? ?? .

4

44

所以当 A ? ? ? ? ,即 A ? 3? 时, f ( A) 取得最大值,且最大值为 2 . ………6 分

42

4

(Ⅱ)由题意知 f (A) ? 2 sin( A ? ?) ? 0 ,所以 sin( A ? ?) ? 0 .

4

4

又因为 ? ? ? A ? ? ? ?? ,所以 A ? ? ? 0 ,所以 A ? ? .

4

44

4

4

又因为 C ? ?? ,所以 B ? ? .

12

3

由正弦定理 a ? b 得, b ? a sin B ?

sin A sin B

sin A

6 ?sin ? sin ? 3 ? 3 .
4

…………13 分

(16)(本小题满分 14 分)

(Ⅰ)证明:因为 F , G 分别为 PB , BE 的中点,

所以 FG PE .

又 FG ? 平面 PED , PE ? 平面 PED ,

所以 FG 平面 PED .

…………4 分

(Ⅱ)因为 EA ?平面 ABCD , EA PD ,

所以 PD ? 平面 ABCD ,

所以 PD ? AD , PD ? CD .

z

P
又因为四边形 ABCD 是正方形,

所以 AD ? CD .
如图,建立空间直角坐标系,

H F

因为 AD ? PD ? 2EA ? 2 ,

E

D

所以 D ?0,0,0? , P ?0,0, 2? , A ?2,0,0? ,

G

A

C ?0, 2,0? , B ?2, 2,0? , E(2,0,1) .

x

C
y
B

…………5 分

因为 F , G , H 分别为 PB , EB , PC 的中点,

所以 F ?1,1,1? , G (2,1, 1) , H (0,1,1) . 所以 GF ? (?1, 0, 1) , GH ? (?2, 0, 1) .

2

2

2



n1

?

( x1 ,

y1,

z1 )

为平面

FGH

的一个法向量,则

???n1 ??n1

? GF ? GH

?0 ?0

,即

????x1

?

1 2

z1

?

0

? ????2x1

?

1 2

z1

?

0



再令 y1 ? 1 ,得 n1 ? (0,1, 0) . PB ? (2, 2, ?2) , PC ? (0, 2, ?2) .

设 n2 ? (x2 , y2 , z2 ) 为平面 PBC 的一个法向量,则 ???n2 ? PB ? 0 , ??n2 ? PC ? 0



?2 ??2

x2 y2

? 2 y2 ? 2z2

? 2z2 ?0

?

0

,令

z2

? 1 ,得 n2

?

(0,1,1)

.

所以 cos n1, n2

= n1 ? n2 = n1 ? n2

2
.
2

所以平面 FGH 与平面 PBC 所成锐二面角的大小为 ? . 4

…………9 分

(Ⅲ)假设在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 .

依题意可设 PM ? ? PC ,其中 0 ? ? ?1.

由 PC ? (0, 2, ?2) ,则 PM ? (0, 2?, ?2?) .

又因为 FM ? FP ? PM , FP ? (?1, ?1,1) ,所以 FM ? (?1, 2? ?1,1? 2?) .

因为直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 , PA ? (2, 0, ?2) ,

所以 cos FM , PA = 1 ,即 1 ?

?2 ? 2 ? 4?

,解得 ? ? 5 .

2 2 2 2 ? 1? 2(2? ?1)2

8

所以 PM ? (0, 5 , ? 5) , PM

?5

2
.

44

4

所以在线段 PC 上存在一点 M ,使直线 FM 与直线 PA 所成角为 60 ,此时 PM ? 5

2
.

4

………………………………………14 分

(17)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)根据统计数据可知,从这 30 名学生中任选一人,分数等级为“ A 或 B ”的频率

为 4 ? 6 ? 10 ? 1 . 30 30 30 3

从本地区小学生中任意抽取一人,其“数独比赛”分数等级为“ A 或 B ”的概率约为

1 .……………………………………………………………………………………3 分 3

(Ⅱ)由已知得,随机变量 X 的可能取值为 0,1,2,3.

所以 P( X

?

0)

?

C30

(

1)0 3

? (2)3 3

?

8 27



P( X

? 1)

?

C31

(

1)1 3

?

(

2 3

)2

?

12 27

?

4 9



P( X

?

2)

?

C32

(

1)2 3

? ( 2)1 3

?

6 27

?

2 9



P( X

? 3)

?

C33

(

1 3

)3

? ( 2 )0 3

?

1 27



随机变量 X 的分布列为

X 0 12 3

8 42 1 P
27 9 9 27

所以 EX ? 0? 8 ?1? 12 ? 2? 6 ? 3? 1 ?1 . 27 27 27 27

……………9 分

(Ⅲ)设事件 M:从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分. 设从这 30 名学生中,随机选取 2 人,记其比赛成绩分别为 m, n .

显然基本事件的总数为 C320 . 不妨设 m ? n ,

当 m ? 90 时, n ? 60 或 40 或 30 ,其基本事件数为 C41 ? (C110 ? C71 ? C31) ;

当 m ? 70时, n ? 40 或 30 ,其基本事件数为 C61 ? (C71 ? C31) ;

当 m ? 60时, n ? 30 ,其基本事件数为 C110 ? C31 ;

所以 P(M )

?

C41

? (C110

? C71

? C31) ? C61 ? (C71 C320

? C31) ? C110

? C31

?

34 . 87

所以从这 30 名学生中,随机选取 2 人,这两个人的成绩之差大于 20 分的概率为

34 . 87

……………13 分

(18)(本小题满分 1 3 分)

解:(Ⅰ)函数

f

(x)

的定义域为

R



f

?( x)

?

m(1 ? x2 ) (x2 ? 1)2

?

m(1 ? x)(1 ? (x2 ? 1)2

x)

.…………1



①当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下表:

x

(??, ?1) (?1,1) (1, ??)

f ?(x)

?

?

?

f (x)

所以,函数 f (x) 的单调递增区间是 (?1,1) ,单调递减区间是 (??, ?1) , (1, ??) .
…………3 分
②当 m ? 0 时,当 x 变化时, f ?(x) , f (x) 的变化情况如下表:

(??, ?1)

x

(?1,1)

(1, ??)

f ?(x) ?

?

?

f (x)

所以,函数 f (x) 的单调递增区间是 (??, ?1) , (1, ??) ,单调递减区间是 (?1,1) .
……………5 分
(Ⅱ)依题意,“当 m ? 0 时,对于任意 x1, x2 ?[0, 2] , f (x1) ? g(x2 ) 恒成立”等价于 “当 m ? 0 时,对于任意 x ?[0, 2], f (x)min ? g(x)max 成立”.
当 m ? 0 时,由(Ⅰ)知,函数 f (x) 在[0,1] 上单调递增,在[1, 2] 上单调递减, 因为 f (0) ? 1, f (2) ? 2m ?1 ? 1 ,所以函数 f (x) 的最小值为 f (0) ? 1.
5

所以应满足 g(x)max ? 1. ……………………………………………………………6 分

因为 g(x) ? x2eax ,所以 g?(x) ? (ax2 + 2x)eax .

……………7 分

①当 a ? 0 时,函数 g(x) ? x2 , ?x ?[0, 2] , g(x)max ? g(2) ? 4 ,

显然不满足 g(x)max ? 1,故 a ? 0 不成立.

……………8 分

②当

a

?

0 时,令

g?(x)

?

0 得,

x1

?

0



x2

?

?

2 a

.

(ⅰ)当 ? 2 ? 2 ,即 ?1? a ? 0时, a

在[0, 2] 上 g?(x) ? 0 ,所以函数 g(x) 在[0, 2] 上单调递增,

所以函数 g(x)max ? g(2) ? 4e2a .

由 4e2a ? 1得, a ? ?ln 2 ,所以 ?1? a ? ?ln 2 .

……………10 分

(ⅱ)当 0 ? ? 2 ? 2 ,即 a ? ?1 时, a

在[0, ? 2) 上 g?(x) ? 0 ,在 (? 2 , 2] 上 g?(x) ? 0 ,

a

a

所以函数 g(x) 在[0, ? 2 ) 上单调递增,在 (? 2 , 2] 上单调递减,

a

a

所以

g ( x)max

?

g(?

2) a

?

4 a2e2

.



4 a2e2

? 1得, a

?

?

2 e

,所以 a ? ?1 .

……………11 分

(ⅲ)当 ? 2 ? 0 ,即 a ? 0 时,显然在[0, 2] 上 g?(x) ? 0 , a

函数 g(x) 在[0, 2] 上单调递增,且 g(x)max ? g(2) ? 4e2a .

显然 g(x)max ? 4e2a ?1 不成立,故 a ? 0 不成立.

……………12 分

综上所述, a 的取值范围是 (??, ? ln 2].

……………13 分

(19)(本小题满分 14 分)

解:(Ⅰ)依题意不妨设 B1(0, ?b) , B2 (0,b) ,则 FB1 ? (?1,?b) , FB2 ? (?1,b) .

由 FB1 ? FB2 ? ?a ,得1? b2 ? ?a .又因为 a2 ? b2 ? 1,

解得 a ? 2,b ? 3 .

所以椭圆 C 的方程为 x2 ? y2 ? 1 . 43
(Ⅱ)依题直线 l 的方程为 y ? k(x ?1) .

……………4 分

? y ? k(x ?1),



? ?

??

x2 4

?

y2 3

?1

得 (3 ? 4k 2 )x2

? 8k 2x ? 4k 2

?12

?0.

设 M (x1,

y1 )

, N (x2 ,

y2 ) ,则 x1

?

x2

?

8k 2 3 ? 4k 2



x1x2

?

4k 2 ?12 3 ? 4k 2

.

…………6 分

所以弦

MN

的中点为

P( 3

4k 2 ? 4k

2

,

3

?3k ? 4k

2

)

.

……………7 分

所以 MN ? (x1 ? x2 )2 ? ( y1 ? y2 )2 ? (k 2 ?1)[(x1 ? x2 )2 ? 4x1x2 ]

?

(k 2

?

1)[

(3

64k 4 ? 4k 2

)2

?

4(4k 2 ?12) 3 ? 4k 2 ]

?

12(k 2 ?1) 4k 2 ? 3

.

……………9 分

直线

PD

的方程为

y

?

3k 4k 2 ?

3

?

?

1 k

(x

?

4k 2 4k 2 ?

) 3





y

?

0

,得

x

?

k 4k 2

2
?

3

,则

D(

k 4k 2

2
?

3

, 0)



所以 DP ? 3

k 2 (k 2 ?1) 4k 2 ? 3 .

…………11 分

3 k 2 (k 2 ?1)

所以 DP ? MN

4k 2 ? 3 12(k 2 ?1)

?1 4

4k 2 ? 3

k2 k2 ?1

?

1 4

1? 1 . k2 ?1

又因为

k

2

?1

?

1,所以

0

?

k

1 2 ?1

?1

.

所以 0 ? 1 1? 1 ? 1 . 4 k2 ?1 4

……………12 分

所以 DP 的取值范围是 (0, 1 ) .

MN

4

………………………………………14 分

(20)(本小题满分 13 分)

解:(Ⅰ)由已知得 S(?1,1, ? 2) ? ?1? 2 ? 2 ? ?1.

3

33

S(1,1, ?1, ?1) ?1?1?1?1?1?1 ? ?2 .

……………3 分

(Ⅱ)设 S ? S (x1, x2 , x3) .

? 当 n ? 3 时, S ? S(x1, x2, x3) ?

xi xj ? x1x2 ? x1x3 ? x2x3 .

1?i? j?3

若固定 x2 , x3 ,仅让 x1 变动,此时 S ? x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? (x2 ? x3 )x1 ? x2 x3 ,

因此 S ? min{S(1, x2, x3), S(?1, x2, x3)} .

同理 S(1, x2, x3) ? min{S(1,1, x3), S(1, ?1, x3)} .

S(?1, x2, x3) ? min{S(?1,1, x3), S(?1, ?1, x3)} .

以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值 ?1的 x1, x2 , x3 所达到,

于是

S

?

min
xk ??1

{S

(

x1

,

x2 ,

x3 )}



k ?1,2,3

当 xk

?

?1( k

? 1, 2,3 )时, S

?

1 2

[(

x1

? x2

?

x3 )2

? (x12

?

x22

?

x32 )]

?

1 2

( x1

?

x2

?

x3 )2

?

3 2



因为 |

x1

?

x2

?

x3

|?

1,所以

S

?

1 2

?

3 2

?

?1 ,且当

x1

?

x2

?

1,x3

?

?1

时,S

?

?1 .

因此 Smin ? ?1.

……………8 分

? (Ⅲ)设 S ? S(x1, x2, , xn ) ?

xi xj

1?i? j?n

? x1x2 ? x1x3 ? ? x1xn ? x2 x3 ? ? x2 xn ? ? xn?1xn .

固定 x2 , x3, , xn ,仅让 x1 变动,此时

S ? (x2 ? x3 ? ? xn ) ? x1 ? (x2 x3 ? ? x2 xn ? ? xn?1xn ) ,

因此 S ? min{S(1, x2, x3, , xn ), S(?1, x2, x3, , xn )}.

同理 S(1, x2, x3, , xn ) ? min{S(1,1, x3, , xn ), S(1, ?1, x3, , xn )} .

S(?1, x2, x3, , xn ) ? min{S(?1,1, x3, , xn ), S(?1, ?1, x3, , xn)} .

以此类推,我们可以看出,S 的最小值必定可在某一组取值 ?1的 x1, x2 , , xn 所达

到,于是 S

? min xk ??1

{S(x1, x2,

, xn )}.

k ?1,2, ,n

当 xk ? ?1( k ? 1, 2,

,

n

)时,

S

?

1 2 [(x1

?

x2

?

?

1 2

( x1

?

x2

?

①当 n 为偶数时, S ? ? n , 2

? xn )2 ? (x12 ? x22 ?

?

xn

)2

?

n 2



? xn2 )]

若取 x1 ? x2 ?

? xn ? 1,xn ?1 ? xn ?2 ?

2

2

2

?

xn

?

?1 ,则 S

?

?

n 2

,所以 Smin

?

?

n 2



②当 n 为奇数时,因为| x1 ? x2 ?

?

xn

|?

1

,所以

S

?

?

1 2

(n

?1)



若取 x1 ? x2 ?

? xn?1 ? 1 , xn?1?1 ? xn?1?2 ?

2

2

2

?

xn

?

?1,则 S

?

?

1 2

(n

?1) ,

所以 Smin

?

?

1 2

(n ?1)



…………………………13 分

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二)

数学 (理科)

2013.05

学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 5 页,共 150 分.考试 时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷 和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.
1、 已知集合 A ? ?x | x ? x ?1? ? 0 ,x ? R? , B ? ?x | ?2 ? x ? 2,x ? R? ,那么集合 A B

是( )

A. ?

B.?x | 0 ? x ? 1,x ? R?

C.?x | ?2 ? x ? 2 ,x ? R?

D.?x | ?2 ? x ? 1,x ? R?

2、 如图是某班 50 位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图,

频率

组距
其中成绩 分组区间是: ?40,50? , ?50,60? , ?60,70? , 0.054

?70,80? , ?80,90? , ?90 ,100? ,则图中 x 的值等于( )

A. 0.754

B. 0.048

x

C. 0.018

D. 0.012

0.01 0.006

3、 已知圆的极坐标方程是 ? ? 2cos? ,那么该圆的直角坐标方程

0

是( )

A. ? x ?1?2 ? y2 ? 1

B. x2 ? ? y ? 1?2 ? 1

成绩 40 50 60 70 80 90 100

C. ? x ? 1?2 ? y2 ? 1

D. x2 ? y2 ? 2 新课 标第 一 网

4、 已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形, 正(主)视图 侧(左)视图 则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为( )

A.1 B.2 C.3

俯视图 开始

D.4 5、 阅读程序框图,运行相应的程序,当输入 x 的值为 ?25 时,输出 x 的值为
() A.1 B. 2 C. 3

输入x
x >1 否 是
x= x 1

D. 4

6、

已知

sin

? ??

π 4

?

x

? ??

?

3 5

,那么

sin

2x

的值为(



x =3x +1 输出 x

A. 3 25

B. 7 25

C. 9 25

D. 18 http://www .xkb1 .com 25

结束

7、 过抛物线 y2 ? 4x 焦点的直线交抛物线于 A , B 两点,若 AB ? 10 ,则 AB 的中点

到 y 轴的距离等于(

A.1

B. 2

) C. 3

D. 4

8、 已知函数 y ? f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ???? ,0? 时, f ? x? ? xf ?? x? ? 0

? ? ? ? (其中 f ?? x? 是 f ? x? 的导函数),若 a ? 30.3 ? f 30.3 , b ? ?log? 3? ? f ?log? 3? ,

c

?

? ??

log3

1 9

? ??

?

f

? ??

log3

1? 9 ??

,则 a

,b

,c

的大小关系是(

A. a ? b ? c

B. c ? b ? a

C. c ? a ? b

) D. a ? c ? b

第Ⅱ卷(共 110 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
9、 已知向量 a ? ?2 ,? 3? , b ? ?1,? ? ,若 a ∥b ,则 ? ? ________.
10、 若复数 a ? i 是纯虚数,则实数 a 的值为________.
1?i
11、 各项均为正数的等比数列?an? 的前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 2 , S4 ? 5S2 ,则 a1 的值为

________, S4 的值为________.

12、 如图, AB 为⊙ O 的直径, AC 切⊙ O 于点 A ,且过点 C 的割线

CMN 交 AB 的延长线于点 D ,若 CM ? MN ? ND , AC ? 2 2 ,

A O

则 CM ? ________, AD ? ________. 13、 5 名志愿者到 3 个不同的地方参加义务植树,则每个地方至少有

B

D

N

MC

一名志愿者的方案共有________种.

14、

在数列

?an

?

中,若对任意的

n

?

N*

,都有

an?2 an?1

? an?1 an

? t( t 为常数),则称数列?an?

为比等差数列, t 称为比公差.现给出以下命题:

①等比数列一定是比等差数列,等差数列不一定是比等差数列;新 课 标 第 一 网

②若数列?an? 满足 an

?

2n?1 n2

,则数列?an? 是比等差数列,且比公差 t

?

1 2



③若数列?cn? 满足 c1 ? 1,c2 ? 1,cn ? cn?1 ? cn?2 ( n≥3 ),则该数列不是比等差数

列;

④若?an? 是等差数列,?bn? 是等比数列,则数列?anbn? 是比等差数列.

其中所有真命题的序号是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15、 (本小题共 13 分)
? ? 已知函数 f ? x? ? sin x 3 cos x ? sin x .

⑴ 求 f ? x? 的最小正周期;





x

? ???

0

,2π 3

? ??

时,求

f

? x? 的取值范围.

16、 (本小题共 13 分)

某校高三年级同学进行体育测试,测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级.测试

结果如下表:(单位:人)

优秀

良好

合格



180

70

20



120

a

30

按优秀、良好、合格三个等级分层,从中抽取 50 人,其中成绩为优的有 30 人. ⑴ 求 a 的值;

⑵ 若用分层抽样的方法,在合格的同学中按男女抽取一个容量为 5 的样本,从中

任选 2 人,记 X 为抽取女生的人数,求 X 的分布列及数学期望.k B 1 . c o m

17、 (本小题共 14 分) 如图, △BCD 是等边三角形, AB ? AD, ?BAD ? 90? ,将 △BCD 沿 BD 折叠到 △BC?D 的位置,使得 AD ? C?B . ⑴ 求证: AD ? AC? ; ⑵ 若 M , N 分别是 BD , C?B 的中点,求二面角 N ? AM ? B 的余弦值.

A

C

B

D

NA D

M

C

B

18、 (本小题共 14 分)
已知函数 f ? x? ? ln x ? a ( a ? 0 ).
x
⑴ 求 f ? x? 的单调区间;

⑵ 如果 P? x0 ,y0 ? 是曲线 y ? f ? x? 上的任意一点,若以 P? x0 ,y0 ? 为切点的切线的

斜率 k ≤ 1 恒成立,求实数 a 的最小值;
2

⑶ 讨论关于 x 的方程 f ? x? ? x3 ? 2?bx ? a? ? 1 的实根情况.

2x

2

19、 (本小题共 13 分)新|课 |标| 第 |一| 网

已知椭圆 C : x2 ? y2 ?1 ( a ? b ? 0 )的离心率 e ? a2 b2

3 ,原点到过点 A?a ,0? ,
2

B?0,? b? 的直线的距离是 4 5 .
5 ⑴ 求椭圆 C 的方程;

⑵ 若椭圆 C 上一动点 P ? x0 ,y0 ? 关于直线 y ? 2x 的对称点为 P1 ? x1 ,y1 ? ,求 x12 ? y12

的取值范围. ⑶ 如果直线 y ? kx ?1( k ? 0 )交椭圆 C 于不同的两点 E ,F ,且 E ,F 都在以 B
为圆心的圆上,求 k 的值.

20、 (本小题共 13 分)
已知数列 ?an? , a1 ? 1 , a2n ? an , a4n?1 ? 0 , a4n?1 ? 1 ( n ? N* ).

⑴求 a4 , a7 ;

⑵是否存在正整数 T ,使得对任意的 n ? N* ,有 an?T ? an ;

⑶设

S

? a1 10

? a2 102

? a3 103

?

? an ? 10n

,问 S 是否为有理数,说明理由.

北京市东城区 2012-2013 学年度第二学期高三综合练习(二)

数学参考答案(理科)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分)

(1)B

(2)C

(3)A

(4)D

(5)D

(6)B

(7)D

(8)C 新-课 -标-第-一- 网

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)

(9) ? 3 2

(10)1

(11) 1

15

2

2

(12) 2 2 7

(13)150

(14)①③

注:两个空的填空题第一个空填对得 3 分,第二个空填对得 2 分. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分)
(15)(共 13 分)

解:(Ⅰ)因为 f (x) ? sin x( 3 cos x ? sin x)

? 3 sin x cos x ? sin2 x

= 1 (2 3 sin xcos x ? 2sin2 x) 2

= 1 ( 3 sin 2x ? cos 2x) ? 1

2

2

? sin(2x ? ?) ? 1 . 62

所以 f (x) 的最小正周期 T ? 2? ? ? . ?

(Ⅱ) 因为 0 ? x ? 2? , 3

所以 ? ? 2x ? ? ? 3? .

6

62

X|k | B| 1 . c |O |m

所以 f (x) 的取值范围是 (? 3 , 1] . 22
(16)(共 13 分)

………………………………13 分

解:(Ⅰ)设该年级共 n 人,由题意得 50 ? 30 ,所以 n ? 500. n 180 ?120
则 a ? 500 ? (180 ?120 ? 70 ? 20 ? 30) ? 80 .

(Ⅱ)依题意, X 所有取值为 0,1,2 .

P( X ? 0) ? C22 ? 1 , C52 10

P( X ? 1) ? C21C31 ? 3 , C52 5

P(X

? 2)

?

C32 C52

?3 10



X 的分布列为:

X

0

1

2

1

3

3

P

10

5

10

EX ? 0? 1 ? 1? 3? 2? 3? .6 10 5 10 5
(17)(共 14 分) (Ⅰ)证明:因为 ?BAD ? 90 w W w .X k b 1.c O m
所以 AD ? AB ,

………………………………………13 分

又因为 C'B ? AD ,且 AB C'B ? B ,
所以 AD ?平面 C' AB , 因为 AC' ? 平面 C' AB , 所以 AD ? AC' . (Ⅱ)因为△ BCD 是等边三角形, AB ? AD, ?BAD ? 90 ,
不防设 AB ?1,则 BC ? CD ? BD ? 2 ,

z C
N A

又因为 M , N 分别为 BD , C'B 的中点,

M

由此以 A 为原点, AB , AD , AC' 所在直线为坐 B

标轴建立空间直角坐标系 A ? xyz . x

则有 A(0,0,0) , B(1,0,0) , D(0,1,0) , C' (0,0,1) ,

Dy

M (1 , 1 ,0) , N(1 ,0, 1) .

22

22

所以 AM ? (1 , 1 ,0) , AN ? (1 ,0, 1) .

22

22

设平面 AMN 的法向量为 m ? (x, y, z) .



?? ?

AM

?

m

?

0,

??AN ? m ? 0.



?
?? ?
? ??

1 2 1 2

x x

? ?

1 2 1 2

y z

? ?

0, 0.

令 x ?1,则 y ? z ? ?1.

所以 m ? (1, ?1, ?1) .

又平面 ABM 的一个法向量为 n ? (0,0,1) .

所以 cos ? m, n ?? m ? n ? ?1 ? ? 3 . mn 3 3

所以二面角 N ? AM ? B 的余弦值为 3 . 3
(18)(共 14 分)

………………………………14 分

解:(Ⅰ) f (x) ? ln x ? a ,定义域为 (0,??) ,
x

k B1.c om

则 f | (x) ? 1 ? a ? x ? a . x x2 x2
因为 a ? 0 ,由 f ?(x) ? 0, 得 x ?(a, ??) , 由 f ?(x) ? 0, 得 x ?(0, a) , 所以 f (x) 的单调递增区间为 (a, ??) ,单调递减区间为 (0, a) .

(Ⅱ)由题意,以 P(x0 , y0 ) 为切点的切线的斜率 k 满足

k

?

f ?(x0 ) ?

x0 ? a x02

?

1 2

(x0 ? 0 ),

所以

a

?

?1 2

x02

?

x0



x0

?

0

恒成立.

又当 x0 ? 0 时,

?

1 2

x02

?

x0

?

1 2



所以 a 的最小值为 1 . 2

(Ⅲ)由题意,方程 f (x) ? x3 ? 2(bx ? a) ? 1 化简得

2x

2

b ? ln x ? 1 x2 + 1 x ?(0, ??) 22

令 h(x) ? ln x ? 1 x2 ? b ? 1 ,则 h?(x) ? 1 ? x ? (1? x)(1? x) .

2

2

x

x

当 x ?(0,1) 时, h?(x) ? 0 ,

当 x ?(1, ??) 时, h?(x) ? 0 , 所以 h(x) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减.

所以 h(x) 在 x ?1处取得极大值即最大值,最大值为 h(1) ? ln1? 1 ?12 ? b ? 1 ? ?b .

2

2

所以 当 ?b ? 0 , 即 b ? 0 时, y ? h(x) 的图象与 x 轴恰有两个交点,

方程 f (x) ? x3 ? 2(bx ? a) ? 1 有两个实根, 新 课 标 第 一 网

2x

2

当 b ? 0 时, y ? h(x) 的图象与 x 轴恰有一个交点,

方程 f (x) ? x3 ? 2(bx ? a) ? 1 有一个实根,

2x

2

当 b ? 0 时, y ? h(x) 的图象与 x 轴无交点,

方程 f (x) ? x3 ? 2(bx ? a) ? 1 无实根.

2x

2

(19)(共 13 分)

解: (Ⅰ)因为 c ? 3 , a2 ? b2 ? c2 , a2
所以 a ? 2b .

……14 分

因为原点到直线 AB : x ? y ?1的距离 d ? ab ? 4 5 ,

ab

a2 ? b2 5

解得 a ? 4 , b ? 2 .

故所求椭圆 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 1. 16 4

(Ⅱ)因为点 P ? x0 , y0 ? 关于直线 y ? 2x 的对称点为 P1 ? x1, y1 ? ,

所以

? ?? ?

y0 x0

? ?

y1 x1

?

2

?

?1,

? y0 ??

? 2

y1

?

2?

x0

? 2

x1

.

解得

x1

?

4 y0

? 3x0 5



y1

?

3y0

? 4x0 5



所以 x12 ? y12 ? x02 ? y02 .

因为点

P ? x0 ,

y0 ? 在椭圆 C

x2
:
16

?

y2 4

? 1上,

所以 x12

?

y12

? x02

?

y02

? 4 ? 3x02 4



因为 ?4 ? x0 ? 4 , 所以 4 ? x12 ? y12 ? 16 .w W w .x K b 1.c o M

所以 x12 ? y12 的取值范围为 ?4, 16? .
(Ⅲ)由题意

? y ? kx ?1,

? ? x2 ??16

?

y2 4

消去 ?1

y

,整理得

(1? 4k 2 )x2 ? 8kx ?12 ? 0 .

可知 ? ? 0 .

设 E(x2 , y2 ) , F(x3, y3) , EF 的中点是 M (xM , yM ) ,

则 xM

?

x2

? 2

x3

? ?4k 1? 4k2



yM

? kxM

?

1

?

1

1 ? 4k

2



所以 kBM

?

yM ? 2 xM

??1. k

所以 xM ? kyM ? 2k ? 0 .

即 ?4k ? k ? 2k ? 0 . 1? 4k2 1? 4k2
又因为 k ? 0 ,

所以 k2 ? 1 .所以 k ? ? 2 .

8

4

(20)(共 13 分)

解:(Ⅰ) a4 ? a2 ? a1 ? 1;

………………………………13 分

a7 ? a4?2?1 ? 0 .

(Ⅱ)假设存在正整数 T ,使得对任意的 n?N*,有 an?T ? an .

则存在无数个正整数 T ,使得对任意的 n?N*,有 an?T ? an .
设 T 为其中最小的正整数. 若T 为奇数,设 T ? 2t ?1( t ?N*), 则 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4(n?t)?1 ? 0 .

与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若T 为偶数,设 T ? 2t ( t ?N*), 则 a2n?T ? a2n ? an ,

X|k | B| 1 . c |O |m

而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t

从而 an?t ? an .

而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾. 综上,不存在正整数 T ,使得对任意的 n?N*,有 an?T ? an . (Ⅲ)若 S 为有理数,即 S 为无限循环小数, 则存在正整数 N0 , T ,对任意的 n?N*,且 n ? N0 ,有 an?T ? an . 与(Ⅱ)同理,设T 为其中最小的正整数. 若 T 为奇数,设 T ? 2t ?1( t ?N*), 当 4n ? 1 ? N0 时,有 a4n?1 ? a4n?1?T ? a4n?1?2T ? a4(n?t)?1 ? 0 .

与已知 a4n?1 ? 1 矛盾. 若 T 为偶数,设 T ? 2t ( t ?N*), 当 n ? N0 时,有 a2n?T ? a2n ? an ,

而 a2n?T ? a2n?2t ? an?t

从而 an?t ? an .

而 t ? T ,与 T 为其中最小的正整数矛盾.

故 S 不是有理数.

……………………………………………………13 分

北京市丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二)

数学(理科)

第一部分(选择题 共 40 分)

一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项.

1. 复数 i(3 ? 4i) 的虚部为

(A)3

(B) 3i

(C)4

(D) 4i

2. 设向量 a=(x,1), b=(4,x),且 a,b 方向相反,则 x 的值是

(A)2 (B)-2

(C) ?2 (D)0

3.

(x

?

1 x

)4

展开式中的常数项是

(A)6 (B)4

(C)-4 (D)-6

4. 已知数列{an}, 则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的

(A)充要条件

(B)必要而不充分条件

(C)充分而不必要条件

(D)既不充分又不必要条件

5. 下列四个函数中,最小正周期为? ,且图象关于直线 x ? ? 对称的是
12

(A) y ? sin( x ? ? ) 23

(B) y ? sin( x ? ? ) 23

(C) y ? sin(2x ? ? ) 3

(D) y ? sin(2x ? ? ) 3

6.

在平面区域

?0 ??0

? ?

x ? 1, 内任取一点 P(x, y) ,若 (x, y) 满足 2x ? y ?1

y ? b 的概率大于 1 4

,则 b 的

取值范围是

(A) (??, 2) (B) (0, 2) (C) (1,3) (D) (1, ??)

7. 用 5,6,7,8,9 组成没有重复数字的五位数,其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五

位数的个数是

(A) 18 (B) 36 (C) 54 (D) 72

8. 已知偶函数 f(x)(x∈R),当 x ? (?2, 0] 时,f(x)=-x(2+x),当 x ?[2, ??) 时,f(x)=(x-2)(a-x)

( a ? R ).
关于偶函数 f(x)的图象 G 和直线 l :y=m( m? R )的 3 个命题如下:

① 当 a=4 时,存在直线 l 与图象 G 恰有 5 个公共点; ② 若对于 ?m ?[0,1] ,直线 l 与图象 G 的公共点不超过 4 个,则 a≤2;

③ ?m?(1, ??), ?a ?(4, ??) ,使得直线 l 与图象 G 交于 4 个点,且相邻点之间的距离

相等. 其中正确命题的序号是

(A) ①②

(B) ①③

(C) ②③

(D) ①②③

第二部分(非选择题 共 110 分)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 圆 ? ? 2cos? 的半径是________。

10.已知变量 x, y 具有线性相关关系,测得 (x, y) 的一组数据如下:(0,1),(1, 2),(2, 4),(3,5) ,

其回归方程为 y? ? 1.4x ? a ,则 a 的值是



11. 如图,已知⊙O 的弦 AB 交半径 OC 于点 D,若 AD=4,BD=3,OC=4,

则 CD 的长为______。

12.

若双曲线

C:

x2 a2

?

y2 3

? 1(a

? 0)

的离心率为

2 ,则抛物线

y2 ? 8x 的焦点到 C 的渐近线距离是______。

13. 曲线 f (x) ? x ? 1 在 x ? 1 处的切线方程是______,在 x=x0 处

x

2

的切线与直线 y ? x 和 y 轴围成三角形的面积为



14. 在圆 x2 ? y2 ? 25 上有一点 P(4,3),点 E,F 是 y 轴上两点,且满足 PE ? PF ,直线 PE,

PF 与圆交于 C,D,则直线 CD 的斜率是________。

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin2 (B ? C) ? 3 sin 2A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表:

污染指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300

>300

空气质量 优



轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下:

34 140 18 73 121 210 40 45 78 23 65 79 207 81 60

42 101 38 163 154 22 27 36 151 49 103 135 20 16 48

根据以上信息,解决下列问题:

(Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空

气质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX.

频率分布表

分组

频数 频率

[0,50] 14

7

15

(50,100] a

x

(100,150] 5

1

6

(150,200] b

y

(200,250] 2

1

15

合计 30

1

17.(本小题 13 分)如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上,DE ? AB 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:PB ? DE;
(Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 长.

A

E

P B

D

E

B

D

C

C

图(1)

图(2)

18.(本小题 13 分)已知函数 f (x) ? 2ln x ? 1 ax2 ? (2a ?1)x ?a ? R? .
2

(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2
(Ⅱ)若 a>0,讨论 f (x) 的单调性.
19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B,直线 AM,BM 分别与 4
椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m, 1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标; (Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的 值.
20.( 本小题 14 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an? 的 通项公式为 an=3n-2, 等比 数 列 ?bn? 中 ,
? ? ? ? b1 ? a1,b4 ? a3 ?1.记集合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? x x ? bn , n ? N * ,U ? A? B ,
把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn? .
? ? (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列 cn 的前 4 项;
(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn? ,求数列?dn? 的通项公式,并
说明理由;
? ? (Ⅲ)求数列 cn 的前 n 项和 Sn.

丰台区 2013 年高三第二学期统一练习(二)

数学(理科)

一 、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

答案

A

B

A

C

C

D

B

D

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9. 1;

10. 0.9;

11. 2;

12. 2 ; 13. 3x+y-4=0, 2; 14. 4 . 3

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答要写出文字说明,演算步骤或证明过程.

15.(本小题 13 分) 已知 ?ABC 的三个内角分别为 A,B,C,且 2sin2 (B ? C) ? 3 sin 2A. (Ⅰ)求 A 的度数; (Ⅱ)若 BC ? 7, AC ? 5, 求 ?ABC 的面积 S.

解: (Ⅰ)? 2sin2 (B ? C) ? 3 sin 2A.

?2sin2 A ? 2 3 sin Acos A ,

……………………….2 分

sin A ? 0,?sin A ? 3 cos A,? tan A ? 3 , ……………………….4 分

?0 ? A ? ? ,? A ? 60 °.

…………………….6 分

(Ⅱ)在 ?ABC中, ? BC2 ? AB2 ? AC2 ? 2AB? AC ? cos60? , BC ? 7, AC ? 5,

?49 ? AB2 ? 25 ? 5AB, ? AB2 ? 5AB ? 24 ? 0,? AB ? 8 或 AB ? ?3(舍),………….10 分

? S?ABC

?

1 2

AB

?

AC

? sin 60?

?

1 2

?5?8?

3 ? 10 2

3

.

…………………….13 分

16(本小题 13 分)国家对空气质量的分级规定如下表:

污染指数 0~50 51~100 101~150 151~200 201~300

>300

空气质量 优



轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染

某市去年 6 月份 30 天的空气污染指数的监测数据如下:

34 140 18 73 121 210 40 45 78 23 65 79 207 81 60

42 101 38 163 154 22 27 36 151 49 103 135 20 16 48

根据以上信息,解决下列问题:

(Ⅰ)写出下面频率分布表中 a,b,x,y 的值;

(Ⅱ)某人计划今年 6 月份到此城市观光 4 天,若将(Ⅰ)中的频率作为概率,他遇到空

气质量为优或良的天数用 X 表示,求 X 的分布列和均值 EX.

频率分布表

分组

频数 频率

[0,50] 14

7

15

(50,100] a

x

(100,150] 5

1

6

(150,200] b

y

(200,250] 2

1

15

合计 30

1

解:(Ⅰ) a ? 6,b ? 3, x ? 1 , y ? 1 , 5 10

………………………….4 分

(Ⅱ)由题意,该市 4 月份空气质量为优或良的概率为 P= 4 ? 2 ? 2 ,………..5 分 15 5 3

P( X

?

0)

?

C40

?

? ??

1 3

4
? ??

?

1, 81

P( X

? 1)

?

C41

? ?? ?

2

??

?

??

1

3
? ?

3? ?3?

?

8, 81

P( X

?

2)

?

C42

? ?? ?

2 ??2 3?

? ?? 1 ??2 ?3?

?

8, 27

P( X

?

3)

?

C43

? ?? 2 ??3 ?3?

?1 3

? 32 , 81

P( X

?

4)

?

C44

? ???

2 3

?4 ??

?

16 81

.

? X 的分布列为:

………………………….10 分

X

0

1

P

1

8

81

81

? X~B(4,

2

),

?

EX

?

4? 2

?

8
.

3

33

2

3

4

8

32

16

27

81

81

………………………….11 分

………………………….13 分

17.(本小题 13 分)如图(1),等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4,点 D 在线段 AC 上,DE ? AB 于 E,现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置(如图(2)).
(Ⅰ)求证:PB ? DE;
(Ⅱ)若 PE ? BE,直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°,求 PE 的长.

A

E

P B

D

E

B

D

C

C

图(1)

图(2)

解: (Ⅰ) DE ? AB,?DE ? BE ,DE ? PE,

……………….2 分

BE ? PE ? E , ?DE ? 平面 PEB,

? PB ? 平面PEB,? BP ? DE;

……………………….4 分

(Ⅱ)?PE ? BE, PE ? DE, DE ? BE ,所以,可由 DE,BE,PE 所在直线为 x,y,z 轴建立空
间直角坐标系(如图),……………………………………………………………5 分
?设 PE=a,则 B(0,4-a ,0),D(a,0,0),C(2,2-a,0),P(0,0,a),……………………7 分

PB ? (0, 4 ? a, ?a) , BC ? (2, ?2, 0) ,……………………8 分
z
设面 PBC 的法向量 n ? (x, y, z) ,

?

?(4 ? ?

? a)y ? 2x ? 2y

az ? ? 0,

0,



y

?

1

,

?n

? (1,1, 4 ? a ) , a

…………10 分

…………….10 分

y

? PD ? (a, 0, ?a) , ?BC 与平面 PCD 所成角为 30°,

……………………….12 分 x

? sin 30? ? cos PD, n .

……………………….11 分

a ? (4 ? a)

?1 ,

2a2 ?

2

?

(4

? a)2 a2

2

解得:a= 4 ,或 a=4(舍),所以,PE 的长为 4 .……………………….13 分

5

5

18.(本小题 13 分)已知函数 f (x) ? 2ln x ? 1 ax2 ? (2a ?1)x ?a ? R? .
2

(Ⅰ)当 a ? ? 1 时,求函数 f(x)在[1,e]上的最大值和最小值; 2

(Ⅱ)若 a>0,讨论 f (x) 的单调性.

解:(Ⅰ) f (x) 的定义域为{x | x ? 0},

当 a ? ? 1 时, f ?(x) ? ? (x ? 2)(x ? 2) ,

2

2x

令 f ?(x) ? 0, 在[1,e]上得极值点 x ? 2,

[1,2)

x

2

(2, e]

……………………….1 分 ……………………….2 分

f ?(x) ?

0

?

f (x) 增 2ln 2 ?1 减

……………………….4 分

f (1) ? ? 1 , f (e) ? 2 ? e2 ,

4

4

……………………….5 分

?

f (1) ?

f (e), ?

f (x)max

?

f (2) ? 2ln 2 ?1,

f (x)min

?

f (1) ? ? 1 4

.

………………….7 分

(Ⅱ) f ?(x) ? (x ? 2)(ax ?1) , x

……………………….8 分

① 0 ? a ? 1 时,由 f ?(x) >0 得 0<x<2 或 x> 1 ,所以 f(x)的单调增区间是(0,2), ( 1 , ??) ,

2

a

a

由 f ?(x) <0 得 2<x< 1 ,所以 f(x)的单调减区间是(2, 1 );

a

a

……………………….10 分

② a ? 1 时, f ?(x) ? 0 在(0,+?)上恒成立,且当且仅当 f ?(2) ? 0 ,
2

? f (x) 在(0,+?)单调递增;

……………………….11 分

③当 a ? 1 时,由 f ?(x) >0 得 0<x< 1 或 x>2,所以 f(x)的单调增区间是(0, 1 ), (2, ??) ,

2

a

a

由 f ?(x) <0 得 1 <x<2,所以 f(x)的单调减区间是( 1 ,2).

a

a

……………………….13 分

19.(本小题 14 分)已知椭圆 C: x2 ? y2 ? 1的短轴的端点分别为 A,B(如图),直线 AM,BM 4
分别与椭圆 C 交于 E,F 两点,其中点 M (m, 1 ) 满足 m ? 0 ,且 m ? ? 3 . 2
(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率 e; (Ⅱ)用 m 表示点 E,F 的坐标;

(Ⅲ)若?BME 面积是?AMF 面积的 5 倍,求 m 的值.

解:(Ⅰ)依题意知 a ? 2 , c ? 3 ,?e ? 3 ;
2

……………………… 3 分

(Ⅱ)? A(0,1),B(0,?1) ,M (m, 1 ),且 m ? 0 , 2

………………………4 分

?直线 AM 的斜率为 k1= ? 1 ,直线 BM 斜率为 k2= 3 ,

2m

2m

?直线 AM 的方程为 y= ? 1 x ? 1 ,直线 BM 的方程为 y= 3 x ? 1 ,

2m

2m

……………6 分

? ? 由

? ? ? ?y

x2 ? 4 ??

y2 1

? 1, x ?1,



m2 ?1

x2 ? 4mx ? 0 ,

? 2m

?x

?

0,

x

?

4m m2 ?

1

,

?E

? ? ?

4m m2 ?1,

m2 m2

?1 ?1

? ? ?

,

………………………8 分

? ? 由

? ? ? ?

x2 4 y?

?y 3

2 ? 1, x ?1,



9 ? m2

x2

? 12 mx

? 0,

? 2m

?x

?

0,

x

?

12m m2 ? 9

,

?F

? ? ?

12m m2 ? 9

,

9 ? m2 m2 ? 9

? ?



?

………………………10 分

(Ⅲ)?

S?AMF

?

1 | MA || MF 2

| sin ?AMF

, S?BME

?

1 2

| MB || ME | sin ?BME

, ?AMF

? ?BME ,

5S?AMF ? S?BME ,? 5 | MA || MF |?| MB || ME | ,? 5 | MA | ? | MB | ,
| ME | | MF |

………………..12 分

? 5m ? m ,

4m m2 ?

1

?

m

12m 9 ? m2

?

m

? m?0,

? 整理方程得

1 m2 ?1

?

15 m2 ?

9

?1,即 (m2

?

3)(m2

?1)

?

0



又? m ? ? 3 ,? m2 ? 3 ? 0, ?m2 ? 1,?m ? ?1为所求.

………………14 分

20.( 本小题 14 分 ) 已 知 等 差 数 列 ?an? 的 通项公式为 an=3n-2, 等比 数 列 ?bn? 中 ,
? ? ? ? b1 ? a1,b4 ? a3 ?1.记集合 A ? x x ? an , n ? N * , B ? x x ? bn , n ? N * ,U ? A? B ,
把集合 U 中的元素按从小到大依次排列,构成数列?cn? .

? ? (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式,并写出数列 cn 的前 4 项;

(Ⅱ)把集合 CU A 中的元素从小到大依次排列构成数列 ?dn? ,求数列?dn? 的通项公式,并
说明理由;
? ? (Ⅲ)求数列 cn 的前 n 项和 Sn.
解:(Ⅰ)设等比数列?bn? 的公比为 q,

? b1 ? a1 ? 1,b4 ? a3 ?1 ? 8 ,则 q3=8,?q=2,?bn=2n-1,

………………..2 分

?数列?an? 的前 4 项为 1,4,7,10,数列{bn}的前 4 项为 1,2,4,8,

?数列?cn? 的前 4 项为 1,2,4,7;

………………..3 分

(Ⅱ)据集合 B 中元素 2,8,32,128?A,猜测数列?dn? 的通项公式为 dn =22n-1.

………………..4 分
?dn=b2n ,?只需证明数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n?A( n ? N ? ).
证明如下:
?b2n+1-b2n-1=22n-22n-2=4n-4n-1=3×4n-1,即 b2n+1=b2n-1+3×4n-1, 若 ?m∈N*,使 b2n-1=3m-2,那么 b2n+1=3m-2+3×4n-1=3(m+4n-1)-2,所以,若 b2n-1∈A,则 b2n+1∈A.
因为 b1∈A,重复使用上述结论,即得 b2n-1∈A( n ? N ? )。 同理,b2n+2-b2n=22n+1-22n-1=2×4n-2×4n-1=3×2×4n-1,即 b2n+2=b2n+3×2×4n-1,因为“3×2×4n-1” 数
列 ?an? 的公差 3 的整数倍,所以说明 b2n 与 b2n+2 (n ? N ? ) 同时属于 A 或同时不属于 A,

当 n=1 时,显然 b2=2?A,即有 b4=2?A,重复使用上述结论,

即得 b2n?A,?dn =22n-1;

………………………………………8 分

(Ⅲ)(1)当 n=1 时,所以因为 b1 ? a1 ? 1,所以 S1=1;

………………..9 分

(2)当 n≥2 时,由(Ⅱ)知,数列{bn}中,b2n-1∈A,b2n?A,则 ?k ? N? ,且 k<n,使得

n?k

k

? ? Sn ? ai ? b2i

i ?1

i ?1

? (n ? k)(a1 ? an?k ) ? b2 (1? 4k ) ? (n ? k)(3n ? 3k ?1) ? 2(4k ?1)

.

2

1? 4

2

3

下面讨论正整数 k 与 n 的关系:

……………….. 11 分

数列?cn? 中的第 n 项不外如下两种情况:

① b2k ? cn 或者② an?k ? cn , 若①成立,即有 3(n ? k) ? 2 ? 22k?1 ? 3(n ? k ?1) ? 2 ,

若②成立,即有 22k?1 ? 3(n ? k) ? 2 ? 22k?1 ,

?有 22k?1 ? 3k ?1 ? n ? 22k?1 ? 3k ? 2 或者 22k?1 ? 3k ? 2 ? n ? 22k?1 ? 3k ? 2 ,

3

3

3

3

显然 22k?1 ? 3k ? 2 =[k ? 2 ? (22k?2 ?1)]? N*,所以 22k?1 ? 3k ?1 ? n ? 22k?1 ? 3k ? 2 .

3

3

3

3

?1, n ? 1

综上所述,

Sn

?

? ?(n ??

?

k )(3n 2

? 3k

?1)

?

2(4k ?1) 3

, n ? ( 22k?1

? 3k 3

?1,

22k ?1

? 3k 3

?

2)(k, n ?

N?)

.

………………..14 分


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