高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角学案(含解析)新人教A版必修4

1.1.1 任意角
班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________ ???????课前预习 · 预习案??????? 学习目标 1.了解任意角的概念及角的分类. 2.理解象限角的概念. 3.理解终边相同的角的概念,并能熟练写出终边相同的角的集合表示. 学习重点 1.将 0 度到 360 度范围的角推广到任意角 2.终边相同的角的集合 学习难点 用集合来表示终边相同的角 自主学习 1.任意角的概念

2.象限角 (1)前提:①角的顶点:________________,②角的始边:_______________. (2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是______________. 3.终边相同的角的表示

所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合:S=_____________,即任一与角 α 终边相 同的角,都可以表示成角 α 与整数个周角的和. 预习评价 1.下列说法正确的是 Α .第一象限角一定不是负角 B.小于 90°的角一定是第一象限角 C.180°是第二象限角 D.330°是第四象限角 2.下列各角中与 330°角终边相同的角是 Α .510° B.150° C.-150° D.-390°

3.从 13:00 到 14:00,时针转过的角度为____________,分针转过的角度为____________. 4.与 60°角终边相同的角的集合为_ ___________. 要点互动探究 ???????知识拓展 · 探究案??????? 合作探究 1.任意角的概念 回忆初中学过的角的定义(从一个点出发引出的两条 射线构成的几何图形)再结合角的旋转定义,思考下列 问题. (1)将一条射线 OΑ 绕其端点 O 按逆时针旋转 α 角到 OB 位置,结合图形完成下列填空.

①角 α 的顶点为_________,始边为_________,终边为_________ .

②角 α 是_________(填“正角”“负角”“零角”之一). (2)若将该射线 OΑ 绕其端点 O 按顺时针旋转 α 角到 OB 位置,则 α 是正角还是负角?若射线 OΑ 不旋转 所形成的角又是什么呢? 2.将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转 60°所形成的角,与按顺时针方向旋转 60°所形成的角是否相 等? 3.(1)观察如图所示的象限角的图形表示,其中 α 的始边是 x 轴的非负半轴,终边是 OΑ ,β 的始边是 x 轴的非负半轴,终边是 OB,思考下面的问题:

①如图所示的角 α 是第_______象限角,角是第_______象限角. ②结合 α ,β 所在象限的判断方法,思考怎样判断一个角是第几象限角? (2)若已知角 α 所在的象限,如何判断 2α , 所在的象限?

4.结合如图所示图形分析角-32°,328°,-392°的终边是否相同?

5.根据终边相同的角的概念,思考下列问题: (1)如何用-32°表示 328°,-392°? (2)所有与-32°角终边相同的角,连同-32°角在内,可构成一个集合 S,你能用描述法表示集合 S 吗? 推广到一般与角 α 终边相同的角如何表示?

教师点拨 1.对任意角的概念的三点说明 (1)角的正负的规定纯属习惯. (2)零角无正负,始边与终边重合. (3)确定一个角的关键:①方向:顺时针,逆时针;②旋转量:圈数;③终边位置. 2.终边相同的角的三点说明 (1)α 为任意角,可为正角、负角或零角,一般选用 0°?360°的角. (2)终边相同的角不一定相等,相等的角若共始边,则终边一定相同. (3)终边相同的角有无数多个,它们相差 360°的整数倍,在写终边相同的角的集合表示时一定要有 k∈Z. 交流展示——任意角的概念 1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转 240°所形成的角是 ( A.120° B.-120° C.240° ) D.-240°

2.与 405°角终边相同的角是 A.k ·360°-45°,k∈Z C.k·360°+45°,k∈Z B.k·180°-45°,k∈Z D.k·180°+45°,k∈Z

3.若角 θ 的终边与 168°角的终边相同,则在 0°~360°内终边与 角的终边相同的角的集合为 __________. 变式训练

1.若角 和角 的终边关于 轴对称,则角 可以用角 表示为

A.

B.

C.

D.

2.若 与 的终边互为反向延长线,则有

A. = +180° C. =

B. = D. = +(

180° )·180°,

3.已知 交流展示——象限角的判断 4.下列四个命题中,正确 的是 A.第一象限的角必是锐角 C.终边相同的角必相等

,且 与 120°角终边相同,则

______.

B.锐角必是第一象限的角 D.第二象限的角必大于第一象限的角

5.已知下列各角(1)787° ,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是 A.(1)、(2) B.(2)、(3) C.(1)、(3) D.(2)、(4)

6.若 是第四象限角,则 180° 变式训练

是第____象限角.

4.已知 α 是第四象限角,则 270°-α 是( A.第一象限角 B.第二象限角

) C.第三象限角 D.第四象限角

5.已知 是第三 象限角,则 所在的象限是 A.第一或第二象限 B.第二或第三象限 C.第一或第三象限 D.第二或第四象限

交流展示——终边相同的角的表示

7.在



终边相同的角是

A.

B.

C.

D.

8.在 0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角: (1)549°; 变式训练 (2)-60°; (3)-503°36'.

6.把

表示成

的形式,则 可以是

A.

B.

C.

D.

7.若角 α =2 013°,则与角 α 具有相同终边的最小正角为_____,最大负角为______. 学习小结 求解任意角问题的步骤 (1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,否 则为负角. (2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小. 当堂检测

1.已知角 2 的终边落在 轴 的上方,那么角 是 A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三、四象限角 D.第一、三象限角

2.在“①-160°,② 488°,③-1 008°,④-1 637°”这四个角中,属于第二象限的是 A.①② B.①③ C.②③ D.②④

3.(1)写出与下列各角终边相同的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-360°≤α <720°的元素 α 写出来: ① 60°; ②-21°.

(2)试写出终边在直线 y=知识拓展

x 上的角的集合 S,并把 S 中适合不等式-180°≤α <180°的元素 α 写出来.

1.终边与坐标轴重合的角的集合是

A. C.

B. D.

2.已知角 A.? 26° B.? 224°

,则符合条件 的最大负角为 C.? 206° D.? 162° .

3.一角为 30°,其终边按逆时针方向旋转三周后得到的角的度数为

1.1.1 任意角

详细答案

???????课前预习 · 预习案??????? 【自主学习】 1.逆时针 顺时针 ②x 轴的非负半轴 (2)第几象限角

2.(1)①坐标原点

3.{β |β =α +k·360°,k∈Z} 【预习评价】 1. D 2.D 3.-30 ° -360°

4.{α |α =k·360°+60°,k∈Z} ???????知识拓展 · 探究案???????

【合作探究】 1.(1)①O OA OB ②正角 (2)提示:α 是负角,不旋转所形成的角是零角. 2.不相等,度量一个角的大小,既要考虑旋转量,又要考虑旋转方向.故原题中两种旋转方法所形成的角 不相等. 3.(1)①一 三 ②判断方法是将角的顶点与原点重合、角的始边与 x 轴的非负半轴重合,角的终边落在 第几象限,就说该角是第几象限角. (2)方法一:取特殊值法,可以取角 α 所在的象限内的某一特殊角, 把 2α , 求出进行判断.方法二:写出角 α 的范围,从而把 2α , 的范围写出,再对 k 的范围进行讨论,

从而确定 2α ,

所在的象限.

4.由图可知,它们的终边是同一条射线,即终边相同. 5.(1)328°=360°-32°,-392°=-360°-32°.(2)所有与-32°角终边相同的角,连同-32°角在内的集 合可表示为:S={β |β =-32°+k·360°,k∈Z};与角 α 终边相同的角记为 β ,构成的集合记为 S,则 S ={β |β =α +k·360°,k∈Z}. 【交流展示——任意角的概念】 1. D 【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转 240°所形成的角是-240°,故选 D. 2. C 【解析】本题主要考查了终边相同的角.与角 ? 终边相同的角可表示为 角终边相同的角为 选C 3.{56°,176°,296°} 【解析】本题考查终边相同角的表示. 360°内与其终边相同的 角为 56°,176°,296°. 【备注】终边相同的角的大小相差 360°的整数倍. 【变式训练】 , 所以在 0°~ ,即 ,由此可得与 ,所以

1. B 【解析】本题主要考查角的概念和的对称性. 因为角 和角 的终边关于 轴对称,所以 ,所以 .故选 B

2. D 3.

【解析】题主要考查角的概念. 由 与 120°角终边相同,故 .又 ,∴ ,∵ ,此时 . ,∴

【交流展示——象限角的判断】 4. B 【解析】本题考查象限角的概念.锐角的范围是 ,故一定在第一象限.

【备注】象限角根据终边所在的象限来决定,可正可负. 5. C 【解析】本题考查象限角的定义.

.

∴在第一象限的角是(1)、(3).

6.三 【解析】因为 β 是第四象限角,所以是 , , .故 180°? β 是第三象限角. ,则

【变式训练】 4. D

【解析】∵α 是第四象限角,∴-α 是第一象限,则由任意角的定义知,270°-α 是第四象限角. 5. D 【解析】本题主要考查角的概念. 因为 是第三象限角,所以 , , 从而当 为偶数时,位于第二象限; 当 为奇数时,位于第四象限. 选 D. 【交流展示 ——终边相同的角的表示】 7. D 【解析】本题考查终边相同角的表示方法. .

8.(1)549°=189°+360°,而 180°<189°<270°,因此,549°角为第三象限角,且在 0°~360°范围内,与 189°角有相同的终边. (2)-60°=300°-360°,而 270°<300°<360°,因此,-60°角为第四象限角,且在 0°~360°范围内,与 300°角有相同的终边. (3)-503°36'=216°24'-2×360°,而 180°<216°24'<270°,因此,-503°36'角是第三象限角,且在 0°~360°范围内,与 216°24'角有相同的终边. 【变式训练】 6. C 【解析】本题考查终边相同角的表示方法. .

7.213° -147° 【解析】∵2 013°=5×360°+213°,∴与角 α 终边相同的角的集合为{α |α =213°+k·360°,k∈Z},∴ 最小正角是 213°,最大负角是-147°. 【当堂检测】 1. D 2. D

【解析】-160°=-360°+200°;488°=360°+128°;-1 008°=-3×360°+72°;-1 637°=-5×360°+163°, 故①是第三象限角,②④是第二象限角,③是第一象限角. 【备注】判断角所在的象限,其关键就是利用终边相同的角将其化为 0°~360°范围内的角,然后进行判断. 3.(1)①S={α |α =60°+k·360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α <720°的元素 α 为:-300°,60°,420°; ②S={α |α =-21°+k·360°,k∈Z},其中适合不等式-360°≤α <720°的元素 α 为:-21°,339°,699°. (2)终边在直线 y=x 上的角的集合 S={α |α =k·360°+120°,k∈Z}∪{α |α =k·360°+300°,k∈

Z}={α |α =k·180°+120°,k∈Z},其中适合不等式-180°≤α <180°的元素 α 为:-60°,120°. 【知识拓展】 1. C 2. A 3.1110° 【解析】按逆时针方向旋转得到的角是正角,旋转三周则得 30°+3×360°=1 110°.


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