2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修1-1课件:3-1-1 变化率问题与导数的概念_图文

成才之路· 数学
人教A版 ·选修1-1

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第三章
导数及其应用

第三章

导数及其应用

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本章概述

第三章

导数及其应用

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●课程目标 1.知识、技能、过程、方法目标 (1)通过分析实例, 经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的 过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率就是导数, 体会导数的思想及其内涵. (2)通过函数图象直观地理解导数的几何意义. 1 (3)能根据导数定义,求函数 y=c,y=x,y=x2,y= 的导 x 数.

第三章

导数及其应用

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(4)能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则 运算法则求简单函数的导数. (5)结合实例, 借助几何直观图探索并了解函数的单调性与 导数的关系,能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次 的多项式函数的单调区间.

第三章

导数及其应用

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(6)结合函数的图象, 了解函数在某点取得极值的必要条件 和充分条件;会利用导数求不超过三次的多项式函数的极大 值、极小值,以及在给定区间上不超过三次的多项式函数的最 大值、最小值. (7)通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题,体会 导数在解决实际问题中的作用.

第三章

导数及其应用

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2.情感、态度、价值观目标 通过具体实例,认识导数的工具性及其与实际问题的联 系,感受和体会导数在解决实际问题中的作用,提高学生学习 兴趣,感受导数在解题中的作用和威力,自觉形成将数学理论 和实际问题相结合的思想, 在解题过程中, 逐步养成扎实严格、 实事求是的科学态度.

第三章

导数及其应用

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●重点难点 本章重点:导数的运算和利用导数解决实际问题. 本章难点:导数概念的理解.

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导数及其应用

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●学法探究 导数是微积分的初步知识,是研究函数、解决实际问题的 有力工具. 学习本章要认真理解平均变化率、 瞬时速度的概念, 进一步理解导数的概念和导函数的定义,掌握导数的几何意 义,掌握基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,通 过具体实例,认识导数的工具性及其与实际问题的联系,感受 导数在解题中的作用, 充分体会数形结合思想、 分类讨论思想、 等价转化思想及理论联系实际的思想方法.

第三章

导数及其应用

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第三章
3.1 变化率与导数

第三章

导数及其应用

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第三章
第 1 课时 变化率问题与导数的概念

第三章

导数及其应用

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学习要点点拨 课堂巩固练习 课前自主预习 课后强化作业 课堂典例讲练

第三章

3.1

第1课时

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课程目标解读

第三章

3.1

第1课时

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1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率. 2.通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬 时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道瞬时变化率 就是导数,体会导数的思想及其内涵.

第三章

3.1

第1课时

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重点难点展示

第三章

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第1课时

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本节重点:函数在某一点的平均变化率,瞬时变化率、导 数的概念. 本节难点:导数的概念的理解.

第三章

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第1课时

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学习要点点拨

第三章

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第1课时

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1.本节学习的有关概念比较抽象,学习时应通过实例理 解相关概念,深刻体会数学源于生活,又应用于生活. 2.平均变化率 平均变化率是本节中的重要概念,求函数平均变化率的步 骤是: (1)求自变量的增量 Δx=x-x0. (2)求函数的增量 Δy=y-y0=f(x)-f(x0)=f(x+Δx)-f(x0).

第三章

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第1课时

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Δy f?x0+Δx?-f?x0? (3)求平均变化率Δx= , 要注意 Δx, 的值 Δy Δx 可正,可负,但 Δx≠0,Δy 可为零,若函数 f(x)为常值函数, 则 Δy=0.

第三章

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第1课时

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3.瞬时变化率、瞬时速度 物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. 4.一般地,如果物体的运动规律是 s=s(t),那么物体在 时刻 t 的瞬时速度 v, 就是物体在 t 到 t+Δt 这段时间内, Δt→0 当 Δs 时平均速度的极限,即 v=lim Δt 为 t 时刻的瞬时速度. Δt→0

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4.导数的概念 对导数的定义要注意两点:第一:Δx 是自变量 x 在 x0 处 的改变量,所以 Δx 可正可负,但 Δx≠0;第二:函数在某点 的导数,就是函数在该点的瞬时变化率,即函数在该点的函数 值改变量与自变量改变量之比的极限值.因此它是一个常数而 不是变数.

第三章

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课前自主预习

第三章

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第1课时

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1. 在高台跳水运动中, 运动员在 t1≤t≤t2 这段时间里的位
s2-s1 置为 s1≤s≤s2,则他的平均速度为 t2-t1 .

2.已知函数 y=f(x),令 Δx= x2-x1 ,Δy= f(x2)-f(x1),
f?x2?-f?x1? 则当 Δx≠0 时,比值 x2-x1

Δy =Δx,为函数 f(x)从 x1 到 x2

的平均变化率,即函数 f(x)图象上两点 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)) 连线的 斜率.

第三章

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第1课时

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3.一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是 Δx→0 f?x0+Δx?-f?x0? Δy =lim ,我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处 Δx Δx
Δx→0

lim

f?x0+Δx?-f?x0? lim Δx . 的导数,记作 f ′(x0)或 y′|x=x0,即 f ′(x0)=Δx→0

第三章

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第1课时

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4.求函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的步骤: (1)求函数的增量 Δy= f(x0+Δx)-f(x0) ;
f?x0+Δx?-f?x0? Δx Δy lim Δx (3)取极限,得导数 f ′(x0)= Δx→0 .

Δy (2)求平均变化率Δx=



上述求导方法可简记为:一差、二比、三极限.

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3.1

第1课时

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5.函数 y=x2 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率为 k1,在 x0-Δx 到 x0 之间的平均变化率为 k2,则( A.k1>k2 C.k1=k2 B.k1<k2 D.不确定 )

[答案] D

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第1课时

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[解析]

函数在 x0 到 x0 +Δx 之间的平均变化率 k1 =

?x0+Δx?2-x2 0 =2x0+Δx,在 x0-Δx 到 x0 之间的平均变化率 k2 Δx x2-?x0-Δx?2 0 = =2x0-Δx,因为 Δx 可正可负,∴k1 与 k2 的大 Δx 小关系不确定.

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第1课时

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6.y=x2-2x+3 在 2 到 3 之间的平均变化率为________.

[答案]
[解析]

3
Δy=f(3)-f(2)=(9-6+3)-(4-4+3)=3, Δx=3

Δy -2=1,∴平均变化率为 =3. Δx

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课堂典例讲练

第三章

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第1课时

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思路方法技巧
命题方向
[例 1]

平均变化率
求函数 y=x3 在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率, 并

1 计算当 x0=1,Δx=2时平均变化率的值. [分析] 直接利用概念求平均变化率, 先求出表达式, 再直 接代入数据就可以得出相应的平均变化率.

第三章

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第1课时

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[解析]

当自变量从 x0 变化到 x0+Δx 时, 函数的平均变化

3 f?x0+Δx? ?x0+Δx?3-x0 率为 Δx = =3x2+3x0Δx+(Δx)2. 0 Δx

1 当 x0=1,Δx=2时, 1 ?1?2 19 平均变化率的值为 3×1 +3×1×2+?2? = 4 . ? ?
2

第三章

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第1课时

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[ 点评]

解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的意

义. 只要求出平均变化率的表达式, 它的值就可以很容易求出. 求函数 f(x)的平均变化率的一般步骤为: ①求函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0); Δy f?x0+Δx?-f?x0? ②计算平均变化率:Δx= . Δx

第三章

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第1课时

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某质点沿曲线运动的方程为 f(x)=-2x2+1(x 表示时间, f(x)表示位移),则该质点从 x=1 到 x=2 的平均速度为( A.-4 C.6 B.-8 D.-6 )

[答案] D

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第1课时

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[解析] 速度为

∵f(x)=-2x2+1,则质点从 x=1 到 x=2 的平均

Δy f?2?-f?1? v= = Δx 2-1 [-2×22+1]-[-2×12+1] = =-6,故选 D. 2-1

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第1课时

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建模应用引路
命题方向 瞬时变化率

[例 2]

以初速度 v0(v0>0)垂直上抛的物体,t 秒时的高

1 2 度为 s(t)=v0t-2gt ,求物体在时刻 t0 处的瞬时速度.

第三章

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第1课时

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[解析]

1 1 2 2 ∵Δs=v0(t0 +Δt)- 2g(t0 +Δt) -(v0t0 -2gt 0 )=(v0

1 -gt0)Δt-2g(Δt)2, Δs 1 Δs ∴ Δt =v0-gt0-2gΔt,当 Δt→0 时, Δt →v0-gt0. 故物体在时刻 t0 的瞬时速度为 v0-gt0.

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第1课时

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[点评]

瞬时速度是平均速度在 Δt→0 时的极限值.因此,

要求瞬时速度,应先求出平均速度.

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第1课时

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(2012~2013 学年度山东潍坊高二期末测试)已知物体的运 动方程是 S=-4t2+16t(S 的单位为 m;t 的单位为 s),则该物 体在 t=2s 时的瞬时速度为( A.3m/s C.1m/s
[答案] D

)

B.2m/s D.0m/s

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第1课时

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[解析] 4Δt2,

ΔS=-4(2+Δt)2+16(2+Δt)+4×22-16×2=-

2 ΔS -4Δt ∴ = =-4Δt, Δt Δt

ΔS ∴v=lim Δt =lim (-4Δt)=0. Δt→0 Δt→0 ∴物体在 t=2s 时的瞬时速度为 0m/s.

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第1课时

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探索延拓创新
命题方向 利用定义求函数在某点处的导数

[例 3] 数.

1 根据导数定义求函数 y=x + +5 在 x=2 处的导 x
2

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第1课时

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[解析]
2

? ? 1 1 2 当 x=2 时, Δy=(2+Δx) + +5-?2 +2+5? 2+Δx ? ?
2

-Δx =4Δx+(Δx) + , 2?2+Δx? Δy 1 所以Δx=4+Δx- , 4+2Δx
? 1 ? Δy ? 所以 y′|x=2=lim =lim ?4+Δx-4+2Δx? ? ? Δx→0 Δx Δx→0 ?

1 15 =4+0- =4. 4+2×0

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[点评]

用导数定义求函数在某一点处的导数的过程:一

差、二比、三极限.

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求 y=f(x)=x3+2x+1 在 x=1 处的导数.

[解析]

Δy=f(1+Δx)-f(1)=(1+Δx)3 +2(1+Δx)+1-

(13+2×1+1)=5Δx+3(Δx)2+(Δx)3,
2 3 Δy 5Δx+3?Δx? +?Δx? = =5+3Δx+(Δx)2, Δx Δx

Δy f ′(1)=lim Δx=lim [5+3Δx+(Δx)2]=5. Δx→0 Δx→0

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第1课时

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名师辨误作答
f?x0-Δx?-f?x0? 设 f(x)在 x0 处可导,求lim 的值. Δx Δx→0

[例 4]

[错解] ∵Δx→0,∴-Δx→0, 又∵f(x)在 x0 处可导, f?x0-Δx?-f?x0? ∴lim =f(x0). Δx →0 Δx

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第1课时

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[辨析]

错误的原因是由于对导数的定义理解不清,函数

值 f(x0 -Δx)-f(x0)所对应的自变量的改变量为(x0 -Δx)-x0 = -Δx.

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[正解]

∵f(x)在 x0 可导,

f?x0-Δx?-f?x0? ∴lim Δx Δx→0 f?x0-Δx?-f?x0? =- lim -Δx -Δx→0 =-f ′(x0).

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课堂巩固练习

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一、选择题 1.若函数 f(x)=2x2-1 的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ Δy Δx,1+Δy),则 等于( Δx A.4 C.4+2Δx ) B.4x D.4+2(Δx)2

[答案] C

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[解析]
2

Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+

Δy 2Δx ,∴ =4+2Δx. Δx

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2.一物体的运动方程是 s=3+2t,则在[2,2.1]这段时间内 的平均速度是( A.0.41 C.0.3 ) B.2 D.0.2

[答案] B

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[解析] Δs=(3+2×2.1)-(3+2×2)=0.2, Δt=2.1-2=0.1, Δs 0.2 ∴ = =2. Δt 0.1

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3.如果质点 A 的运动方程是 s(t)=2t3,则在 t=3 秒时的 瞬时速度为( A.6 C.54 ) B.18 D.81

[答案] C

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[解析]

Δs=s(3+Δt)-s(3)=2Δt3+18Δt2+54Δt,

Δs =2Δt2+18Δt+54,在 t=3 秒时的瞬时速度为: Δt Δs lim Δt =lim (2Δt2+18Δt+54)=54. Δt→0 Δt→0

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4.已知 f(x)=x2-3x,则 f ′(0)=( A.Δx-3 C.-3 B.(Δx)2-3Δx D.0

)

[答案] C

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?0+Δx?2-3?0+Δx?-02+3×0 [解析] f ′(0)=lim Δx Δx→0 Δx2-3Δx =lim Δx =lim (Δx-3)=-3.故选 C. Δx→0 Δx→0

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二、填空题 5. 已知函数 f(x)=ax+4, f ′(1)=2, a 等于______. 若 则
[答案]
[解析]

a=2
Δy=f(1+Δx)-f(1)=a(1+Δx)+4-a-4=aΔx,

Δy Δy Δx=a,∴lim Δx=a,∴f ′(1)=a=2. Δx→0

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1 6. 函数 y=x2在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率为________.
2x0+Δx - ?x0+Δx?2x2 2

[答案]

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第1课时

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[解析]

1 1 ∵Δy= - 2, ?x0+Δx?2 x0

1 ∴y=x2在 x0 到 x0+Δx 之间的平均变化率为 1 1 2- 2 Δy ?x0+Δx? x0 Δx= Δx 2x0+Δx =- . ?x0+Δx?2x2 0

第三章

3.1

第1课时

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课后强化作业(点此链接)

第三章

3.1

第1课时


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