2018版高中数学第二章基本初等函数(Ⅰ)2.1.2第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修1

第 2 课时 解决一些问题(重、难点). 指数函数及其性质的应用 学习目标 1.理解指数函数的单调性与底数的关系(重点).2.能运用指数函数的单调性 考查方向 方向 1 比较两数的大小 【例 1-1】 A.0.4 <3 <π C.3 <0.4 <π 0.6 0.4 3 3 0.4 题型一 指数函数单调性的应用 (1)下列大小关系正确的是( 0 ) 3 0 0.4 B.0.4 <π <3 0 0.4 0 D.π <3 <0.4 1.5 0.6 3 (2)设 a=0.6 ,b=0.6 ,c=1.5 ,则 a,b,c 的大小关系是( A.a<b<c C.b<a<c 3 ) B.a<c<b D.b<c<a 0 0 0 0.4 解析 (1)0.4 <0.4 =1=π =3 <3 ,故选 B. (2)∵1.5 >1.5 =1,0.6 <0.6 =1,故 1.5 >0.6 ,又函数 y=0.6 在(-∞,+∞) 上是减函数,且 1.5>0.6,所以 0.6 <0.6 ,故 0.6 <0.6 <1.5 ,选 C. 答案 (1)B (2)C 方向 2 解简单的指数不等式 【例 1-2】 (2)已知 a -5x 1.5 0.6 1.5 0.6 0.6 0.6 0 0.6 0 0.6 0.6 x ?1?3x-1 (1)不等式? ? ≤2 的解集为________. ?2? >a x+7 (a>0,且 a≠1),求 x 的取值范围. ?1?-1 ?1?3x-1 ?1?-1 ?1?x (1)解析 ∵2=? ? ,∴原不等式可化为? ? ≤? ? ,∵函数 y=? ? 在 R 上是减函 ?2? ?2? ?2? ?2? 数,∴3x-1≥-1,∴x≥0,故原不等式的解集是{x|x≥0}. 答案 {x|x≥0} (2)解 当 a>1 时,∵a 当 0<a<1 时,∵a -5x -5x >a x+7 7 ,∴-5x>x+7,解得 x<- ; 6 >a x+7 7 ,∴-5x<x+7,解得 x>- . 6 7 7 综上所述,x 的取值范围是:当 a>1 时,x<- ;当 0<a<1 时,x>- . 6 6 方向 3 指数型函数的单调性 ?1?x2-2x 的单调性,并求其值域. 【例 1-3】 判断 f(x)=? ? ?3? ?1?u 2 解 令 u=x -2x,则原函数变为 y=? ? . ?3? 1 ∵u=x -2x=(x-1) -1 在(-∞,1]上递减,在[1,+∞)上递增, 2 2 ?1?u 又∵y=? ? 在(-∞,+∞)上递减, ?3? ?1?x2-2x 在(-∞,1]上递增,在[1,+∞)上递减. ∴y=? ? ?3? ∵u=x -2x=(x-1) -1≥-1, 2 2 ?1?u ∴y=? ? ,u∈[-1,+∞), ?3? ?1?u ?1?-1 ∴0<? ? ≤? ? =3, ?3? ?3? ∴原函数的值域为(0,3]. 规律方法 1.比较幂值大小的三种类型及处理方法 2.解指数不等式的类型及应注意的问题 (1)形如 a >a 的不等式,借助于函数 y=a 的单调性求解,如果 a 的取值不确定,要对 x b x a 分为 0<a<1 和 a>1 两种情况分类讨论. (2)形如 a >b 的不等式,注意将 b 转化为以 a 为底数的指数幂的形式,再借助于函数 y =a 的单调性求解. 3.函数 y=a f(x) x x (a>0,a≠1)的单调性的处理技巧 f(x) 当 a>1 时,y=a 相反. 与 y=f(x)的单调性相同,当 0<a<1 时,y=a f(x) 与 y=f(x)的单调性 题型二 指数函数的实际应用 【例 2】 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若初始溶液 1 含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量减少 . 3 (1)写出杂质含量 y 与过滤次数 n 的函数关系式; (2)过滤 7 次后的杂质含量是多少?过滤 8 次后的杂质含量是多少?至少应过滤几次才 能使产品达到市场要求? 解 2 ? 1? 2 2 (1)过滤 1 次后的杂质含量为 ×?1- ?= × ; 100 ? 3? 100 3 过滤 2 次后的杂质含量为? ? 2 ×2?×?1-1?= 2 ×?2?2; ? ? ? ? ? ?100 3? ? 3? 100 ?3? 2 过滤 3 次后的杂质含量为? … 过滤 n 次后的杂质含量为 ? 2 ×?2?2?×?1-1?= 2 ×?2?3; ? ?? ? ? ? ? ?100 ?3? ? ? 3? 100 ?3? 2 ?2?n * ×? ? (n∈N ). 100 ?3? 2 ?2?n * ×? ? (n∈N ). 100 ?3? 故 y 与 n 的函数关系式为 y= (2)由(1)知当 n=7 时,y= 当 n=8 时,y= 2 ?2?7 64 1 ×? ? = > , 3 100 ? ? 54 675 1 000 2 ?2?8 128 1 ×? ? = < , 100 ?3? 164 025 1 000 所以至少应过滤 8 次才能使产品达到市场要求. 规律方法 指数函数在实际问题中的应用 (1)与实际生活有关的问题,求解时应准确读懂题意,从实际问题中提取出模型转化为 数学问题. (2)在实际问题中,经常会遇到指数增长模型:设基数为 N,平均增长率为 p,则对于经 过时间 x 后的总量 y 可以用 y=N(1+p) 来表示,这是非常有用的函数模型. 【训练 1】 春天来了,某池塘中的荷花枝繁叶茂,已知每一天新长出荷叶覆盖水面面 积是前一天的 2 倍, 若荷叶 20 天可以完全长满池塘水面, 当荷叶刚好覆盖水面面积一半时, 荷叶已生长了________天. 解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为 1, 则荷叶覆盖水面面积 y 与生长时间 x 的函数 关系为 y=2 x-1 x ,当 x=2

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