四川省成都市树德中学2016-2017学年高二上学期期末数学试卷理科 含解析 精品

2016-2017 学年四川省成都市树德中学高二 (上) 期末数学试卷 (理 科)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. ax+2y﹣1=0 与直线 l2: x+ y+4=0 平行”的 设 a∈R, 则“a=1”是“直线 l1: (a+1) ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 2.已知双曲线 ( A.5 ) B. C. D. D.既不充分也不必要条件 ﹣ =1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±2x,则其离心率为 )

3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系, yi) 2, …, n) 根据一组样本数据 (xi, (i=1, , 用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x ﹣85.71,则下列结论中不正确的是( A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( , ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 4.下列说法正确的是( ) )

A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x≤1” B.命题“若 ”的否定是“? x∈R,x2<1”

C.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为假命题 D.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆命题为假命题 5.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为( )

A.

B.

C.

D.

6.在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于 AC,CB 的长,则该矩形面积不小于 9cm2 的概率为( A. B. C. D. , )

7.直线 y=kx+3 与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 相交于 M、N 两点,若|MN|≥2 则直线倾斜角的取值范围是( A. D. B. ) C .

8.已知集合

表示的平面区域为 Ω,若在区域 Ω 内任取一点 )

P(x,y) ,则点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 的概率为( A. B. C. D.

9.已知实数 x,y 满足 等于( A.7 ) B.5 C.4 D.3

如果目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣1,则实数 m

10.点 M 是抛物线 y2=x 上的动点,点 N 是圆 C1: (x+1)2+(y﹣4)2=1 关于直线 x﹣y+1=0 对称的曲线 C 上的一点,则|MN|的最小值是( )

A.

B.

C.2

D. )

11 .某算法的程序框图如图所 示,则执行该程序后输出的 S 等于(

A.24 B.26 C.30 D.32 12.已知圆 C 的方程为(x﹣1)2+y2=1,P 是椭圆 两条切线,切点为 A、B,求 ? 的范围为( ) =1 上一点,过 P 作圆的

A.[0,

]

B.[2

﹣3,+∞] C.[2

﹣3,

] D.[ ,

]

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示,从茎叶图的 分布情况看, 运动员的发挥更稳定. (填“甲”或“乙”)

14.已知圆 O1:x2+y2=1,圆 O2: (x+4)2+(y﹣a)2=25,如果这两个圆有且只有 一个公共点,则常数 a= .

15 .已知知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 ,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1、e2,则 16.已知直线 y=k(x+ )与曲线 y= 成集合 A;P(x,y)是椭圆 + = .

恰有两个不同交点,记 k 的所有可能取值构 =1 上一动点,点 P1(x1,y1)与点 P 关于直线

y=x+l 对称,记

的所有可能取值构成集合 B,若随机地从集合 A,B 中分别抽 .

出一个元素 λ1,λ2,则 λ1>λ2 的概率是

三、解答题 17.设命题 p:点(1,1)在圆 x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0 的内部;命题 q:直线 mx﹣y+1+2m=0(k∈R)不经过第四象限,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 求 m 的取值范围. 18.某校从参加考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率; (2)估计本次考试的中位数; (精确到 0.1) (3)用分层抽样(按[60,70) 、[70,80)分数段人数比例)的方法在分数段为 [60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任 取 2 人,求恰有 1 人在分数段[70,80)的概率.

19.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,P(1,m)是抛物线 C 上的一点, 且|PF|=2. (1)若椭圆 与抛物线 C 有共同的焦点,求椭圆 C'的方程;

(2)设抛物线 C 与(1)中所求椭圆 C'的交点为 A、B,求以 OA 和 OB 所在的直线 为渐近线,且经过点 P 的双曲线方程. 20.已知圆 C:x2+y2﹣4x+3=0, (1)求过 M(3,2)点的圆的切线方程; (2)直线 l:2mx+2y﹣1﹣3m=0 被圆 C 截得的弦长最短时,求直线 l 的方程; (3)过原点的直线 m 与圆 C 交于不同的两点 A、B,线段 AB 的中点 P 的轨迹为 C1,直线 与曲线 C1 只有一个交点,求 k 的取值范围.

21.已知抛物线 x2=2py (p>0) ,其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物线的两 条弦 AB 和 CD(点 A、C 在第一象限) ,且 M,N 分别是 AB,CD 的中点. (1)若 AB⊥CD,求△FMN 面积的最小值; (2)设直线 AC 的斜率为 kAC,直线 BD 的斜率为 kBD,且 kAC+4kBD=0,求证:直线 AC 过定点,并求此定点. 22.在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,动点 P(x,y)与定点 F(﹣1,0) 的距离和它到定直线 x=﹣2 的距离之比是 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过 F 作曲线 C 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,直线 OM 与 交于 P,Q 两点,求四边形 APBQ 面积的最大值. .

2016-2017 学年四川省成都市树德中学高二(上)期末数 学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题(每小题 5 分,共 60 分) 1. ax+2y﹣1=0 与直线 l2: x+ y+4=0 平行”的 设 a∈R, 则“a=1”是“直线 l1: (a+1) ( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 )

【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线的一般式方程与直线的平 行关系. 【分析】运用两直线平行的充要条件得出 l1 与 l2 平行时 a 的值,而后运用充分必 要条件的知识来解决即可. 【解答】解:∵当 a=1 时,直线 l1:x+2y﹣1=0 与直线 l2:x+2y+4=0, 两条直线的斜率都是﹣ ,截距不相等,得到两条直线平行, 故前者是后者的充分条件, ∵当两条直线平行时,得到 解得 a=﹣2,a=1, ∴后者不能推出前者, ∴前者是后者的充分不必要条件. 故选 A. ,

2.已知双曲线 ( A.5 ) B.



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±2x,则其离心率为

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线渐近线的方程,确定 a,b 的关系,进而利用离心率公式求解.

【解答】解:∵双曲线 ∴ ∴ ∴离心率 e= 故选:D. ,即 b=2a,



=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± x,

, .

3.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系, yi) 2, …, n) 根据一组样本数据 (xi, (i=1, , 用最小二乘法建立的回归方程为 =0.85x ﹣85.71,则下列结论中不正确的是( A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( , ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重必为 58.79kg 【考点】回归分析的初步应用. 【分析】根据回归方程为 =0.85x﹣85.71,0.85>0,可知 A,B,C 均正确,对于 D 回归方程只能进行预测,但不可断定. 【解答】解:对于 A,0.85>0,所以 y 与 x 具有正的线性相关关系,故正确; 对于 B,回归直线过样本点的中心( , ) ,故正确; 对于 C,∵回归方程为 =0.85x﹣85.71,∴该大学某女生身高增加 1cm,则其体重 约增加 0.85kg,故正确; 对于 D,x=170cm 时, 重为 58.79kg,故不正确 故选 D. =0.85×170﹣85.71=58.79,但这是预测值,不可断定其体 )

4.下列说法正确的是(



A.命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2>1,则 x≤1” B.命题“若 ”的否定是“? x∈R,x2<1”

C.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆否命题为假命题 D.命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆命题为假命题 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】写出原命题的否命题,可判断 A;写出原命题的否定命题,可判断 B;判 断原命题的真假, 进而可判断其逆否命题的真假; 写出原命题的逆命题, 可判断 D. 【解答】解:命题“若 x2>1,则 x>1”的否命题为“若 x2≤1,则 x≤1”,故 A 错误; 命题“若 ”的否定是“? x∈R,x2≤1”,故 B 错误;

命题“若 x=y,则 cosx=cosy”是真命题,故其逆否命题为真命题,故 C 错误; 命题“若 x=y,则 cosx=cosy”的逆命题为命题“若 cosx=cosy,则 x=y”为假命题,故 D 正确; 故选:D

5.阅读如图的程序框图,运行相应的程序,输出的结果为(



A.

B.

C.

D.

【考点】程序框图. 【分析】由上程序框图,当运行程序后,写出每次循环 x,y,z 的值,当 z<20 不 成立,输出所求结果即可. 【解答】解:由上程序框图,当运行程序后, x=1,y=1,z=2<20,满足条件,执行循环; 则 x=1,y=2,z=3<20,满足条件,执行循环; 则 x=2,y=3,z=5<20,满足条件,执行循环;

则 x=3,y=5,z=8<20,满足条件,执行循环; 则 x=5,y=8,z=13<20,满足条件,执行循环; 则 x=8,y=13,z=21>20,不满足条件,退出循环, 则输出 故选:B. ,

6.在长为 10cm 的线段 AB 上任取一点 C,现作一矩形,邻边长分别等于 AC,CB 的长,则该矩形面积不小于 9cm2 的概率为( A. B. C. D. )

【考点】几何概型. 【分析】根据几何概型的概率公式,设 AC=x,则 BC=10﹣x,由矩形的面积 S=x(10 ﹣x)≥9 可求 x 的范围,利用几何概率的求解公式可求. 【解答】解:设 AC=x,则 BC=10﹣x, 矩形的面积 S=x(10﹣x)≥9, ∴x2﹣10x+9≤0 解得 1≤x≤9, 由几何概率的求解公式可得,矩形面积不小于 9cm2 的概率为 P= = .

故选:A.

7.直线 y=kx+3 与圆(x﹣2)2+(y﹣3)2=4 相交于 M、N 两点,若|MN|≥2 则直线倾斜角的取值范围是( A. D. 【考点】直线的倾斜角. 3) 【分析】 圆心 (2, 到直线 y=kx+3 的距离 d= 可得 k 的取值范围,由于 k=tanθ,解出即可. . 利用|MN|=2 B. ) C .





【解答】解:圆心(2,3)到直线 y=kx+3 的距离 d=

=



∴|MN|=2 解得 ∴ ,

=

=





设直线的倾斜角为 θ, 则 ∴θ∈ 故选:C. ≤tanθ≤ ∪ . .

8.已知集合

表示的平面区域为 Ω,若在区域 Ω 内任取一点 )

P(x,y) ,则点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 的概率为( A. B. C. D.

【考点】几何概型;简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出对应的面积,结合几何概型的概率 公式进行求解即可. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图, 则对应的区域为△AOB, 由 ,解得 ,即 B(4,﹣4) ,



,解得

,即 A( , ) ,

直线 2x+y﹣4=0 与 x 轴的交点坐标为(2,0) , 则△OAB 的面积 S= = ,

点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 区域面积 S=



则由几何概型的概率公式得点 P 的坐标满足不等式 x2+y2≤2 的概率为 故选:D

=



9.已知实数 x,y 满足 等于( A.7 ) B.5 C.4 D.3

如果目标函数 z=x﹣y 的最小值为﹣1,则实数 m

【考点】简单线性规划. 【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣1,确 定 m 的取值. 【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由目标函数 z=x﹣y 的最小值是﹣1, 得 y=x﹣z,即当 z=﹣1 时,函数为 y=x+1,此时对应的平面区域在直线 y=x+1 的下 方, 由 ,解得 ,即 A(2,3) ,

同时 A 也在直线 x+y=m 上,即 m=2+3=5, 故选:B

10.点 M 是抛物线 y2=x 上的动点,点 N 是圆 C1: (x+1)2+(y﹣4)2=1 关于直线 x﹣y+1=0 对称的曲线 C 上的一点,则|MN|的最小值是( A. B. C.2 D. )

【考点】关于点、直线对称的圆的方程;两点间的距离公式. 【分析】由题意求出圆的对称圆的圆心坐标,求出对称圆的圆心坐标到抛物线上 的坐标的距离的最小值,减去半径即可得到|MN|的最小值. 【解答】解:圆 C1: (x+1)2+(y﹣4)2=1 关于直线 x﹣y+1=0 对称的圆的圆心坐标 (3,0) ,半径是 1; 设 M 的坐标为(y2,y) ,所以圆心到 M 的距离: 的最小值为 , . ,当 y2= 时,它

则|MN|的最小值是: 故选 A.

11 .某算法的程序框图如图所示,则执行该程序后输出的 S 等于(



A.24 B.26 C.30 D.32 【考点】椭圆的简单性质;循环结构. 【分析】首先分析程序框图,循环体为“直到“循环结构,按照循环结构进行运算, 求出满足题意时的 S. 【解答】解:根据题意,本程序框图为求 S 的值循环体为“直到“循环结构, 其功能是计算椭圆 到焦点的距离,如图所示. 根据椭圆的定义及对称性,得 即 S=2a+2a+2a+(a﹣c)=7a﹣c, 又椭圆 的 a=5,b=4,c=3, 上横坐标分别为:﹣3,﹣2,﹣1,0,1,2,3 的点

则执行该程序后输出的 S 等于 S=32. 故选 D.

12.已知圆 C 的方程为(x﹣1)2+y2=1,P 是椭圆 两条切线,切点为 A、B,求 ? 的范围为( )

=1 上一点,过 P 作圆的

A.[0,

]

B.[2

﹣3,+∞] C.[2

﹣3,

] D.[ ,

]

【考点】椭圆的简单性质;平面向量数量积的运算. 【分析】利用圆切线的性质:与圆心切点连线垂直;设出一个角,通过解直角三 角形求出 PA,PB 的长;利用向量的数量积公式表示出 ? ,利用三角函数的二

倍角公式化简函数,通过换元,再利用基本不等式求出最值. 【解答】解:设 PA 与 PB 的夹角为 2α,则|PA|=PB|= ∴y= ? =|PA||PB|cos2α= ?cos2α= , ?cos2α.

记 cos2α=u,则 y=

=﹣3+(1﹣u)+

≥2

﹣3,

∵P 在椭圆的左顶点时,sinα= ,∴cos2α= ,



?

的最大值为

=





?

的范围为[2

﹣3,

].

故选:C.

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13.某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录用茎叶图表示,从茎叶图的 分布情况看, 乙 运动员的发挥更稳定. (填“甲”或“乙”)

【考点】茎叶图;极差、方差与标准差. 【分析】由茎叶图知甲的得分相对分散,乙的得分相对集中,由此能求出结果. 【解答】解:由某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分记录的茎叶图表知: 甲的得分相对分散,乙的得分相对集中, ∴从茎叶图的分布情况看,乙运动员的发挥更稳定. 故答案为:乙.

14.已知圆 O1:x2+y2=1,圆 O2: (x+4)2+(y﹣a)2=25,如果这两个圆有且只有 一个公共点,则常数 a= ±2 或0 .

【考点】圆与圆的位置关系及其判定. 【分析】两个圆有且只有一个公共点,两个圆内切或外切,分别求出 a,即可得出 结论. 【解答】解:∵两个圆有且只有一个公共点,

∴两个圆内切或外切, 内切时, ∴a=±2 或 0, 或0 =4,外切时, =6,

故答案为±2

15 .已知知 F1 , F2 是椭圆和双曲线的公共焦点, P 是它们的一个公共点,且 ,椭圆和双曲线的离心率分别为 e1、e2,则 【考点】双曲线的简单性质. 【分析】 如图所示, 设椭圆与双曲线的标准方程分别为: + =1, ﹣ =1 = 4 .

(ai,bi>0,a1>b1,i=1,2) ,a12﹣b12=a22+b22=c2,c>0.设|PF1|=m,|PF2|=n.可 n﹣m=2a2, 得 m+n=2a1, ∠F1PF2= ﹣2mncos
2 =m2+n2 , 在△PF1F2 中, 由余弦定理可得: (2c)

,化简整理由离心率公式即可得出.

【解答】解:如图所示, 设椭圆与双曲线的标准方程分别为: + =1, ﹣ =1(ai,bi>0,a1>b1,i=1,2) ,

a12﹣b12=a22+b22=c2,c>0. 设|PF1|=m,|PF2|=n. 则 m+n=2a1,n﹣m=2a2, 解得 m=a1﹣a2,n=a1+a2, 由∠F1PF2= ,在△PF1F2 中, ,

由余弦定理可得: (2c)2=m2+n2﹣2mncos

∴4c2=(a1﹣a2)2+(a1+a2)2﹣(a1﹣a2) (a1+a2) , 化为 4c2=a12+3a22, 化为 =4.

故答案为:4.

16.已知直线 y=k(x+ )与曲线 y= 成集合 A;P(x,y)是椭圆 +

恰有两个不同交点,记 k 的所有可能取值构 =1 上一动点,点 P1(x1,y1)与点 P 关于直线

y=x+l 对称,记

的所有可能取值构成集合 B,若随机地从集合 A,B 中分别抽 .

出一个元素 λ1,λ2,则 λ1>λ2 的概率是 【考点】几何概型.

【分析】根据直线和圆锥曲线的位置关系求出集合 A,B,然后根据几何概型的概 率公式即可得到结论. 【解答】解:∵y= ,

∴x=y2,代入 y=k(x+ )得 y=k(y2+ ) , 整理得 ky2﹣y+ =0, 直线 y=k(x+ )与曲线 y= 恰有两个不同交点,

等价为 ky2﹣y+ =0 有两个不同的非负根, 即△=1﹣k2>0,且 >0, 解得 0<k<1, ∴A={k|0<k<1}. P1(x1,y1)关于直线 y=x+1 的对称点为 P(y1﹣1,x1+1) ,

P 是椭圆

+

=l 上一动点,

∴﹣4≤y1﹣1≤4, 即﹣1≤ ≤1,

设 b=

,则﹣1≤b≤1,

∴B={b|﹣1≤b≤1}. ∴随机的从集合 A,B 中分别抽取一个元素 λ1,λ2, 则 λ1>λ2 等价为 则对应的图象如图: 则 λ1>λ2 的概率是 , 故答案为: . ,

三、解答题 17.设命题 p:点(1,1)在圆 x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0 的内部;命题 q:直线 mx﹣y+1+2m=0(k∈R)不经过第四象限,如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 求 m 的取值范围. 【考点】复合命题的真假.

【分析】分别求出 p,q 为真时的 m 的范围,通过讨论 p,q 的真假,得到关于 m 的不等式,取并集即可. 【解答】解:点(1,1)在圆 x2+y2﹣2mx+2my+2m2﹣4=0 的内部, 故 1+1﹣2m+2m+2m2﹣4<0,解得:﹣1<m<1, 故命题 p?﹣1<m<1, 直线 mx﹣y+1+2m=0(k∈R)不经过第四象限, 故 ,解得:m≥0,

故命题 q?m≥0; 如果 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 则 p,q 一真一假, ①p 真 q 假时,﹣1<m<0; ②p 假 q 真时,m≥1. 故 m 的取值范围为﹣1<m<0 或 m≥1.

18.某校从参加考试的学生中随机抽取 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分 成六段后得到如下部分频率分布直方图如图.观察图形的信息,回答下列问题: (1)求分数在[70,80)内的频率; (2)估计本次考试的中位数; (精确到 0.1) (3)用分层抽样(按[60,70) 、[70,80)分数段人数比例)的方法在分数段为 [60,80)的学生中抽取一个容量为 6 的样本,将该样本看成一个总体,从中任 取 2 人,求恰有 1 人在分数段[70,80)的概率.

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图.

【分析】 (1)利用频率分布直方图中小矩形的面积之和为 1,能求出分数在[70, 80)内的频率. (2)利用频率分布直方图能求出中位数. (3)[60,70)分数段的人数为 9 人,[70,80)分数段的人数为 18 人.需在[60, 70)分数段内抽取 2 人,分别记为 a,b;在[70,80)分数段内抽取 4 人,分别记 为 c,d,e,f.由此利用列举法能求出从中任取 2 人,恰有 1 人在分数段[70,80) 的概率. 【解答】解: (1)分数在[70,80)内的频率为: 1﹣(0.010+0.015+0.015+0.025+0.005)×10=1﹣0.7=0.3… (2)∵数学成绩在[40,70)内的频率为(0.010+0.015+0.015)×10=0.4, 数学成绩在[70,80)内的频率为 0.3, ∴中位数为 70+ = .…

(3)由题意,[60,70)分数段的人数为:0.15×60=9(人) , [70,80)分数段的人数为:0.3×60=18(人) . ∴需在[60,70)分数段内抽取 2 人,分别记为 a,b; 在[70,80)分数段内抽取 4 人,分别记为 c,d,e,f. 设“从样本中任取 2 人,恰有 1 人在分数段[70,80)内”为事件 A, 所有基本事件有(a,b) , (a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) , (c,d) , (c,e) , (c,f) , (d,e) , (d,f) , (e,f) ,共 15 个… 其中事件 A 包含(a,c) , (a,d) , (a,e) , (a,f) , (b,c) , (b,d) , (b,e) , (b,f) ,共 8 个.… ∴P(A)= .…

19.已知抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点为 F,P(1,m)是抛物线 C 上的一点, 且|PF|=2. (1)若椭圆 与抛物线 C 有共同的焦点,求椭圆 C'的方程;

(2)设抛物线 C 与(1)中所求椭圆 C'的交点为 A、B,求以 OA 和 OB 所在的直线

为渐近线,且经过点 P 的双曲线方程. 【考点】椭圆的简单性质;双曲线的简单性质;圆锥曲线的综合. 【分析】 (1)根据题意,由抛物线的定义可得 方程,结合题意可得椭圆 的标准方程即可得答案; (2)联立抛物线、椭圆的方程,消去 y 得到 3x2+16x﹣12=0,解可得 x 的值,即可 得 A、B 的坐标,进而可得双曲线的渐近线方程,由此设双曲线方程为 6x2﹣y2=λ (λ≠0) ,结合抛物线的几何性质可得 λ 的值,即可得答案. 【解答】解: (1)根据题意,抛物线 C:y2=2px 中,P 到焦点距离等于 P 到准线距 离, 所以 ,p=2 ,即 p=2,可得抛物线的

中有 4﹣n=1,解可得 n 的值,代入椭圆

故抛物线的方程为 C:y2=4x; 又由椭圆 即 n=3, 故所求椭圆的方程为 ; ,可知 4﹣n=1,

(2)由

,消去 y 得到 3x2+16x﹣12=0,解得

(舍去) .

所以 由渐近线

,则双曲线的渐近线方程为 y=± ,可设双曲线方程为 6x2﹣y2=λ(λ≠0) .

x,

由点 P(1,m)在抛物线 C:y2=4x 上,解得 m2=4,P(1,±2) , 因为点 P 在双曲线上,∴6﹣4=λ=2, 故所求双曲线方程为: .

20.已知圆 C:x2+y2﹣4x+3=0,

(1)求过 M(3,2)点的圆的切线方程; (2)直线 l:2mx+2y﹣1﹣3m=0 被圆 C 截得的弦长最短时,求直线 l 的方程; (3)过原点的直线 m 与圆 C 交于不同的两点 A、B,线段 AB 的中点 P 的轨迹为 C1,直线 与曲线 C1 只有一个交点,求 k 的取值范围.

【考点】直线与圆的位置关系. 【分析】 (1)由圆的方程求出圆心和半径,易得点 A 在圆外,当切线的斜率不存 在时,切线方程为 x=3.当切线的斜率存在时,设切线的斜率为 k,写出切线方程, 利用圆心到直线的距离等于半径,解出 k,可得切线方程; (2)当直线 l⊥CN 时,弦长最短,可求直线 l 的方程; (3)求出轨迹 C1,利用直线 与曲线 C1 只有一个交点,求 k 的值.

【解答】解: (1)圆 C:x2+y2﹣4x+3=0,即 (x﹣2)2+y2=1,表示以(2,0)为圆 心,半径等于 1 的圆. 当切线的斜率不存在时,切线方程为 x=3 符合题意. 当切线的斜率存在时,设切线斜率为 k,则切线方程为 y﹣2=k(x﹣3) ,即 kx﹣y ﹣3k+2=0, 所以,圆心到切线的距离等于半径,即 4y﹣1=0. 综上可得,圆的切线方程为 x=3 或 3x﹣4y﹣1=0… (2)直线 l:2mx+2y﹣1﹣3m=0 恒过定点 当直线 l⊥CN 时,弦长最短,此时直线的方程为 x﹣y﹣1=0… (3)设点 P(x,y) ,∵点 P 为线段 AB 的中点,曲线 C 是圆心为 C(2,0) ,半径 r=1 的圆,∴CP⊥OP, 由于点 P 在圆内,由 所以 C1: 圆心到直线的距离 d= ∴化简得(x﹣1)2+y2=1… 得 x= (注:范围也可写成 =1,∴ , )… =1,解得 k= ,此时,切线为 3x﹣

过( , 因为直线

)时,k= 与曲线 C1 只有一个交点,所以 或 …

21.已知抛物线 x2=2py (p>0) ,其焦点 F 到准线的距离为 1.过 F 作抛物线的两 条弦 AB 和 CD(点 A、C 在第一象限) ,且 M,N 分别是 AB,CD 的中点. (1)若 AB⊥CD,求△FMN 面积的最小值; (2)设直线 AC 的斜率为 kAC,直线 BD 的斜率为 kBD,且 kAC+4kBD=0,求证:直线 AC 过定点,并求此定点. 【考点】抛物线的简单性质. 【 分 析 】( 1 ) 求 出
FMN=

M , N =

的 坐 标 , 可 得

S



|FM|?|FN|=

,利用基本不等式求△FMN 面

积的最小值; (2)利用 kAC+4kBD=0,得出 x1x3=4,可得直线 AC 的方程,即可得出结论. 【解答】 (1)解: (1)抛物线的方程为 x2=2y,设 AB 的方程为 y=kx+ 联立抛物线方程,得 x2﹣2kx﹣1=0, ∴S△FMN= |FM|?|FN|= = ,同理 ≥1

当且仅当 k=±1 时,△FMN 的面积取最小值 1.… (2)证明:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,C(x3,y3) ,D(x4,y4) , 设 AB 的方程为 y=kx+ ,联立抛物线方程,得 x2﹣2kx﹣1=0,∴x1x2=﹣1, 同理,x3x4=﹣1 … 故 kAC+4kBD= = =

注意到点 A、C 在第一象限,x1+x3≠0,故得 x1x3=4,… 直线 AC 的方程为 ,

化简得



所以,直线 AC 恒经过点(0,﹣2)…

22.在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,动点 P(x,y)与定点 F(﹣1,0) 的距离和它到定直线 x=﹣2 的距离之比是 (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)过 F 作曲线 C 的不垂直于 y 轴的弦 AB,M 为 AB 的中点,直线 OM 与 交于 P,Q 两点,求四边形 APBQ 面积的最大值. 【考点】直线与椭圆的位置关系;轨迹方程. 【分析】 (1)由题意列关于 P 的坐标的函数关系式,整理可得动点 P 的轨迹 C 的 方程; (2)设直线 AB 的方程为 x=my﹣1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线系方程和 椭圆方程,得到关于 y 的一元二次方程,利用根与系数的关系求得 A、B 中点的坐 标,得到直线 PQ 的,求出圆心与直线 mx+2y=0 的距离为,得到|PQ|.设点 A 到 直 线 PQ 的 距 离 为 d , 则 点 B 到 直 线 PQ 的 距 离 也 为 d , 可 得 2d= . .

结合题意化简可得 2d=

.代入得 2d=

.代入四边形面

积公式,换元后利用配方法求得四边形 APBQ 面积的最大值. 【解答】解: (1)由已知,得 两边平方,化简得 故轨迹 C 的方程是 . ; .

(2)∵AB 不垂直于 y 轴,设直线 AB 的方程为 x=my﹣1,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 ,得(m2+2)y2﹣2my﹣1=0.

y1+y2=

,y1y2=

. ,于是 AB 的中点为 M( ) ,

x1+x2=m(y1+y2)﹣2=

故直线 PQ 的斜率为﹣ ,PQ 的方程为 y=﹣ x,即 mx+2y=0, 圆心与直线 mx+2y=0 的距离为 ,|PQ|= .

设点 A 到直线 PQ 的距离为 d,则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d, ∴2d= .

∵点 A,B 在直线 mx+2y=0 的异侧,∴(mx1+2y1) (mx2+2y2)<0, 于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1﹣mx2﹣2y2|,从而 2d= .

∵|y1﹣y2|=

=



∴2d= 故 四

. 边 形 APBQ 的 . 面 积

S= |PQ|?2d=

令 m2+4=t(t≥4) ,则 S= 当 ,即 时, .



) .

2017 年 3 月 13 日精品文档 强烈推荐


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