河南省商丘市二高普通高校高三数学招生模拟考试理科数学

河南省商丘市二高 2009 年普通高校招生模拟考试 理 科 数 学
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1. 设 U 为全集,M,P 是 U 的两个子集,且 (CU M ) ? P ? P ,则 M ? P 等于 A. M B. P C. CU P D. ?

2 过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点作垂直于 x 轴的直线交抛物线于 A, B 两点,且 ? AOB 的 面积为 8(O 为坐标原点) ,则抛物线的焦点坐标为 A. ( 4,0) B. ( 2,0) C. (1,0) D. ( ?2,0)

3.若随机变量 ? 服从正态分布 ? ~ N (3, 2),? ?

? ?3
2
C.

,则随机变量? 的期望是

A.0

B.

2 2

3 2 2

D. 2

4.已知正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的底面边长为 a ,侧棱长为 2a ,则 AC 1 与侧面 ABB1 A1 所 成的角的正弦值等于 A.

1 2

B.

6 4

C.

2 2

D.

3 3

5. 在等差数列{an}中,前 n 项和为 Sn,

S2 1 S ? ,则 4 等于 S4 3 S8
C.

A.

1 8

B.

1 3

1 9

D.

3 10

6.如果复数 z ? A. ?21

1? i ? (1 ? i ) 2 ,则 (1 ? z )7 的展开式(按 z 的升幂排列)的第 5 项是 1? i B. ?35i C.35 D. 21i

7. | a |? 1, | b |? 2, c ? a ? b, 且a ? c, 则向量a与b 的夹角为 A.150° B.120° C.60° D.30°

8.已知直线 x ? y ? a与圆x 2 ? y 2 ? 4 交于 A 、 B 两点, O 是坐标原点,向量 OA 、 OB 满足

| OA ? OB |?| OA ? OB | ,则实数 a 的值
A.2 B.-2 C. 6 或- 6
?1

D.2 或-2

9. 设 函 数 y ? f ( x ) 的 反 函 数 为 y ? f

1 ( x ) , 且 y ? f (2 x ? 1) 的 图 象 过 点 ( ,1) , 则 2

y ? f ?1 ( x ) 的图象必过点
A. ( ,1)

1 2

B. (1, )

1 2

C. (1,0)

D. (0,1)

11 ?? ? 的图象为 C ,①图象 C 关于直线 x ? 12 ? 对称;②函数 f ( x) 在 ?? ? ? ? 5? ? 区间 ? ? , ? 内是增函数;③由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 ? ? ?? ?? ? C .以上三个论断中,正确论断的个数是
10.函数 f ( x) ? 3sin ? 2x ?

? ?

A.3

B. 2

C .1

D.0

11.已知 f ( x) 为定义在 (?3,3) 上的可导奇函数 ,且 f ( x) ? f ?( x) (其中 f ?( x ) 是 f ( x) 的导函数) ..... 对于 x ? (?3,3) 恒成立,则 f ( x) ? 0 的解集为 A. (1,3) B. (0,3) C. (?3, ?1) D. (?3, 0)

12.在如图所示的 10 块地上选出 6 块种植 A1、A2、…、A6 等六个不同品种的蔬 菜,每块种植一种不同品种蔬菜,若 A1、A2、A3 必须横向相邻种在一起,A4、 A5 横向、纵向都不能相邻种在一起,则不同的种植方案有 A.3120 B.3360 C.5160 D.5520

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上) 13.若 lim

(1 ? a)n ? 1 ax 2 ? 3x ? 2 ? 2 ,则 lim ? n ?? x ?1 n?2 x?a



14.在条件 ?

?( x ? y ? 5)( x ? y ? 1) ? 0 下,函数 z ? ?2 x ? y ? 3 的最小值是 ?0 ? x ? 2

15.双曲线的右准线方程为 x= 4, 右焦点为 F(10,0) ,离心率为 2,则双曲线的方程是
16. 在棱长为 1 的正方体 ABCD ? A AD 所成 1B 1C1D 1 的底面 A 1B 1C1 D 1 内取一点 E,使 AE 与 AB、 的角都是 60°,则线段 AE 的长为 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. )

, bcos B , cos c A 17. (本小题满分 10 分)在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a cos C
成等差数列. (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)求 2sin 2 A ? cos( A ? C) 的范围.

18.(本小题满分 12 分)如图,已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,

E AB ? 1, AD ? 2 , ?ADC ? 60 , AF ? 1, M 是线段 EF 的中点. (1)求证: AC ? BF ; (2)求二面角 A ? FD ? B 的大小; (3)设点 P 为一动点,若点 P 从 M 出发,沿棱按照 M ? E ? C 的路线 运动到点 C ,求这一过程中形成的三棱锥 P ? BFD 的体积的最小值. C

M F B

D

A

19. (本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试,甲表示只要面试合格就签约; 乙、 丙则约定: 两人面试都合格就一同签约, 否则两人都不签约, 设每人面试合格的概率都是

1 , 2

且面试是否合格互不影响。 (1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数 ? 的分布列和数 学期望; 20. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 若a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 求实数 b 2 2

的取值范围; 21. (本小题满分 12 分)如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心,

F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在 直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,请说明理由. 22. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足递推关系 a1 ? 1 且 an?1 ? (1)在 m ? 1 时,求数列 ?an ? 的通项 an ;
2 2an ? 3an ? m (n ? N ? ) . an ? 1

(2) 当 n ? N 时,数列 ?an ? 满足不等式 an?1 ? an 恒成立,求 m 的取值范围;
?

(3) 在 ?3 ? m ? 1 时,证明:

1 1 ? ? a1 ? 1 a2 ? 1

?

1 1 ? 1? n . an ? 1 2

商丘市二高 2009 理科数学参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 题号 答案 1 D 2 B 3 A 4 A 5 D 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B 11 B 12 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡上) ?1 ?4 13. 14. 15.

( x ? 2) 2 y 2 ? ?1 16 48

16.

2

三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ) 17.在△ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且 a cos C, b cos B, c cos A 成等差数列. (Ⅰ)求 B 的值; (Ⅱ)求 2sin 2 A ? cos( A ? C) 的范围. 17.(Ⅰ) 2bcos B ? acosC ? ccos A ,∴ 2sin B cos B ? sin A cos C ? sin C cos A ? sin( A ? C ) ? sin B , ∴ cos B ? ,∴ B ? .
3 1 2

?

(Ⅱ) 2sin 2 A ? cos( A ? C ) ? 2sin 2 A ? cos( A ? ? ? A) ? 2sin 2 A ? cos(2 A ? ? )
?1 2 ? 3 ?? 1 3 ? 2 ? 1 ? cos 2 A ? cos 2 A ? sin 2 A ? 1 ? 3 ? ? ? 1 ? 3 sin ? 2 A ? ? ? 2 sin A ? 2 cos A ? 3? 2 2 ? ? ?

2 3

2 3

2 ? ? 3 ?? ? 0 ? A ? ? , ? ? 2 A ? ? ? ,∴ ? ? sin ? 2 A ? ? ≤1 , 3 3 3 2 3? ?

? ∴ 2sin 2 A ? cos( A ? C) ? ? ? ? ,1 ? 3 ? . ? 2 ? 1

18. (12 分) 如图, 已知平行四边形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB ? 1, AD ? 2 ,

E ?ADC ? 60 , AF ? 1, M 是线段 EF 的中点. (1)求证: AC ? BF ; (2)求二面角 A ? FD ? B 的大小; (3)设点 P 为一动点,若点 P 从 M 出发,沿棱按照 M ? E ? C 的路线 运动到点 C ,求这一过程中形成的三棱锥 P ? BFD 的体积的最小值. C
18.解法一: (1)易求 AC ? 3 ,从而 ?BAC ? ?ACD ? 由三垂线定理知: AC ? BF .……………… 4 分

M
F B

?
2



D

A

(2)法一:易求 BD ? 7, BF ? 2, DF ? 5, 由勾股定理知 ?BFD ? 90 , 设点 A 在面 BFD 内的射影为 O ,过 A 作 AG ? DF 于 G ,连结 DO , 则 ?AGO 为二面角 A ? FD ? B 的平面角.
0

在 ?ADF 中由面积法易求 AG ? 所以 sin ?AGO ?

2 30 ,由体积法求得点 A 到面 BFD 的距离是 AO ? , 10 5

6 6 ,所以求二面角 A ? FD ? B 的大小为 arcsin . 4 4 0 法二:易求 BD ? 7, BF ? 2, DF ? 5,由勾股定理知 ?BFD ? 90 ,过 A 作 AG ? DF 于 G ,又过 G 作 GH // BF 交 BD 于 H ,连结 AH .则易证 ?AGH 为二面角 A ? FD ? B 的平面角 DG 4 2 4 ? , , 于是 .在 ?ADF 中由面积法易求 AG ? ,从而 DG ? DF 5 5 5
所以 GH ?

4 2 1 7 , , BH ? BD ? 5 5 5
12 2 2 .再在 ?BAH 中由余弦定理求得 AH ? .最后 25 7

在 ?BAD 中由余弦定理求得 cos ?ABD ?

在 ?AGH 中 由 余 弦 定 理 求 得 cos ?AGH ?

10 , 所 以 求 二 面 角 A ? FD ? B 的 大 小 为 4

arccos

10 .………… 8 分 4

(3)设 AC 与 BD 交于 O,则 OF//CM,所以 CM//平面 FBD,当 P 点在 M 或 C 时,三棱锥 P —BFD 的体积的最小. (VP ? BFD )min ? VC ? BFD ? VF ? BCD ?

1 1 3 ? ? 2 ?1sin120 ? . ……………… 3 2 6

12 分 解法二:空间向量解法,略. 19.甲、乙、丙三人参加了一家公司招聘面试,甲表示只要面试合格就签约;乙、丙则约定:两 人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约,设每人面试合格的概率都是

1 ,且面试是否合 2

格互不影响。 (1)求至少有一人面试合格的概率; (2)求签约人数 ? 的分布列和数学期望; 解:A、B、C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格,则 P? A? ? P?B ? ? P?C ? ?

1 2

7 ?1? (1)至少有一人合格的概率 P=1-P( A ? B ? C )= 1 ? ? ? ? 8 ? 2?
(2) ? 可能取值 0,1,2,3

3

……………… 4 分 ……………… 5 分

1 1 1 3 P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ; 2 2 2 8

1 1 1 3 P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( AB C ) ? P( ABC ) ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ( ) 3 ? ; 2 2 2 8

1 1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? ; P(? ? 3) ? P( ABC ) ? ; 8 8
∴分布列为

?
P

0

1

2

3

……………………10 分

3 8

3 8

1 8

1 8

3 3 1 1 E? ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 1. 8 8 8 8
20.已知函数 f ( x) ? ln x ?

……………………12 分

1 2 ax ? 2 x(a ? 0). 2

(Ⅰ)若函数 f ( x ) 存在单调递减区间,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 若a ? ?

1 1 且关于 x 的方程 f ( x ) ? ? x ? b 在 ?1, 4? 上恰有两个不相等的实数根, 求实数 b 2 2

的取值范围; 20.(本小题满分 12 分) 解: (1) f ?( x) ? ?

ax 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0). 依题意 f ?( x) ? 0 在 x ? 0 时有解:即 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 在 x

x ? 0 有解.则 ? ? 4 ? 4a ? 0 且方程 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个正根.
此时, ?1 ? a ? 0 …………………………………………………………6 分

1 1 1 3 , f ( x) ? ? x ? b ? x 2 ? x ? ln x ? b ? 0. 2 2 4 2 1 2 3 ( x ? 2)( x ? 1) . 列表: 设 g ( x) ? x ? x ? ln x ? b( x ? 0). 则 g ?( x ) ? 4 2 2x
(2) a ? ?

x
g ?( x )

(0,1) +

1 0 极大值

(1,2)

2 0 极小值

(2,4) +

?

g ( x)

5 ? g ( x)极小值 ? g (2) ? ln 2 ? b ? 2, g ( x)极大值 ? g (1) ? ?b ? .g (4) ? ?b ? 2 ? 2 ln 2 4
方程 g ( x) ? 0 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根.

-----9 分

? g (1) ? 0 5 ? 则 ? g (2) ? 0 解得: ln 2 ? 2 ? b ? ? ……………………………………………12 分 4 ? g (4) ? 0 ?

21. (本小题满分 12 分)如图,椭圆长轴端点为 A, B , O 为椭圆中心,

F 为椭圆的右焦点,且 AF ? FB ? 1 , OF ? 1 .
(Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)记椭圆的上顶点为 M ,直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,问:是否存在 直线 l ,使点 F 恰为 ?PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不 存在,请说明理由.

6 解: (1)设椭圆方程为 由题意 c ? 1 又∵ AF ? FB ? 1 即 ∴a
2

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

y

M
A B

(a ? c) ? (a ? c) ? 1 ? a2 ? c2
…………4 分

O

F

x

?2

x2 故椭圆方程为 ? y2 ? 1 2

(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P, Q 两点,且 F 恰为 ?PQM 的垂心,则 设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,∵ M (0,1), F (1,0) ,故 k PQ ? 1 于是设直线 l 为 y ? x ? m ,由 ? ……………6 分

? y ? x?m 得 2 2 ?x ? 2 y ? 2
…………8 分 又 yi

3x2 ? 4mx ? 2m2 ? 2 ? 0
∵ MP ? FQ ? 0 ? 得 x1 ( x2

x1 ( x2 ? 1) ? y2 ( y1 ? 1)

? xi ? m(i ? 1,2)

? 1) ? ( x2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 即
由韦达定理得

2x1x2 ? ( x1 ? x2 )(m ?1) ? m2 ? m ? 0
2m2 ? 2 4m 2? ? (m ? 1) ? m2 ? m ? 0 3 3
解得 m ? ?

4 4 或 m ? 1 (舍) 经检验 m ? ? 符合条件 3 3
4 ………12 分 3

则直线 l 的方程为: y ? x ?

22. (本题满分 12 分)已知数列 ?an ? 满足递推关系 a1 ? 1 且 an?1 ? (1)在 m ? 1 时,求数列 ?an ? 的通项 an ;

2 2an ? 3an ? m (n ? N ? ) . an ? 1

(2) 当 n ? N 时,数列 ?an ? 满足不等式 an?1 ? an 恒成立,求 m 的取值范围;
?

(3) 在 ?3 ? m ? 1 时,证明: 22. (1) an ? 2n ? 1……4 分

1 1 ? ? a1 ? 1 a2 ? 1

?

1 1 ? 1? n . an ? 1 2

(2)由 an?1 ? an ,而 a1 ? 1 ,? an ? 0 , ?

2 2an ? 3an ? m 2 ? an ,? m ? ?an ? 2an , an ? 1

? m ? ?(an ?)2 ? 1 恒成立, an ? 1 ,? m ? ?2n ? 1 ,即 m ? ?3 .……8 分
(3) 由(2)得当 ?3 ? m ? 1 时知 an?1 ? an ,? an ? 0 ,设数列 cn ?

1 1 ,? cn ?1 ? , an ?1 ? 1 an ? 1

cn ?1 ?

an ? 1 1 . ? 2a ? 3an ? m 2(an ? 1)2 ? m ? 1 ? ?1 an ? 1
2 n

m ? 1 ,? m ? 1 ? 0 ,故 cn ?1 ?

an ? 1 1 1 1 1 1 ? ? ? cn , c1 ? ? , 2 2(an ? 1) 2 an ? 1 2 a1 ? 1 2


? cn ?

1 1 cn ?1 ? n (n ? 2) 2 2

? c1 ? c2 ? ?c3

1 1 1 ? cn ? ? 2 ? 3 2 2 2
? 1 1 ? 1? n an ? 1 2

1 1 (1 ? n ) 1 2 2 ? 1 ? ( 1 )n , ? n ? 1 2 2 1? 2
………12 分



1 1 ? ? a1 ? 1 a2 ? 1


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