2015高考真题湖南卷理科数学真题


生物达人 12

2015 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) (理科) 本试题包括选择题,填空题和解答题三部分,共 6 页,时间 120 分钟,满分 150 分. 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,贼每小题给出的四个选项中,只有一 项是复合题目要求的. 1.已知 A. 1 ? i

?1 ? i ?
z

2

,则复数 z =( ? 1 ? i ( i 为虚数单位) B. 1 ? i C. ?1 ? i D. ?1 ? i



2.设 A,B 是两个集合,则” A A.充分不必要条件 C.充要条件

B ? A ”是“ A ? B ”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

3.执行如图 1 所示的程序框图, 如果输入 n ? 3 , 则输出的 S ? ( A.

6 7

B.

3 7

C.

8 9

D.

4 9

? x ? y ? ?1 ? 4.若变量 x, y 满足约束条件 ? 2 x ? y ? 1 ,则 z ? 3 x ? y 的最小值为 ? y ?1 ?
( ) A.-7 B.-1 C.1 D.2

5.设函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是( A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数 C. 偶函数,且在 (0,1) 上是增函数



B. 奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 D. 偶函数,且在 (0,1) 上是减函数

3 a ? ? 2 6.已知 ? x ? 的展开式中含 的项的系数为 30,则 a ? ( x ? x? ?

5



A. 3

B. ? 3

C.6

D-6

7.在如图 2 所示的正方形中随机投掷 10000 个点,则落入阴影 部分 (曲线 C 为正态分布 N(0,1)的密度曲线) 的点的个数的估 计值为( ) A.2386 B.2718 C.3413 D.4772 8.已知点 A,B,C 在圆 x ? y ? 1 上运动,且 AB ? BC .若点 P
2 2

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的坐标为(2,0) ,则 PA ? PB ? PC 的最大值为( A.6 B.7 C.8 D.9



9.将函数 f ( x) ? isn 2 x 的图像向右平移 ? (0 ? ? ? 满足 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? 2 的 x1 , x2 ,有 x1 ? x2 A.

?

min

?

?

2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的图像,若对
,则 ? ? ( )

5? 12

B.

?
3

C.

?
4

D.

?
6

3

10.某工件的三视图如图 3 所示,现将该工件通过切割,加工成 一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在 原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为(材料利用率 =

新工件的体积 ) ( 原工件的体积
8 9?
B.



A.

16 9?

C.

4( 2 ? 1)3

?

D.

12( 2 ? 1)3

?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
2 11. ? 0 ( x ? 1)dx ?

.

12.在一次马拉松比赛中,35 名运动员的 成绩(单位:分钟)的茎叶图如图 4 所示. 若将运动员按成绩由好到差编为 1 35 号,再用系统抽样方法从中抽取 7 人,则 其中成绩在区间[139,151]上的运动员人 数是 . 13.设 F 是双曲线 C:

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为其虚轴 a 2 b2
. .

的一个端点,则 C 的离心率为

14.设 S n 为等比数列 ?an ? 的前项和,若 a1 ? 1 ,且 3S1 , 2 S 2 , S3 成等差数列,则 an ? 15.已知 f ( x) ? ? 范围是 三、解答题

? x3 , x ? a
2 ?x , x ? a

,若存在实数 b ,使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,则 a 的取值

.

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16.(Ⅰ)如图,在圆 O 中,相交于点 E 的两弦 AB、CD 的中点分别是 M、N,直线 MO 与直线 CD 相交于点 F,证明: (1) ?MEN ? ?NOM ? 1800 ; (2) FE ? FN ? FM ? FO

? 3 x ? 5? t ? ? 2 (t 为参数) (Ⅱ)已知直线 l : ? ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立 1 ?y ? 3 ? t ? ? 2
极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? . (1) 将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2) 设点 M 的直角坐标为 (5, 3) ,直线 l 与曲线 C 的交点为 A,B,求 | MA | ? | MB | 的值. (Ⅲ)设 a ? 0, b ? 0 ,且 a ? b ? (1) a ? b ? 2 ;

1 1 ? . a b

(2) a 2 ? a ? 2 与 b 2 ? b ? 2 不可能同时成立. 17.设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? b tan A ,且 B 为钝角》 (1)证明: B ? A ?

?

2 (2)求 sin A ? sin C 的取值范围
18.某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有 4 个红 球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中,各随机摸出 1 个球,在摸出的 2 个 球中,若都是红球,则获一等奖;若只有 1 个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖. (1)求顾客抽奖 1 次能获奖的概率; (2)若某顾客有 3 次抽奖机会,记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 X,求 X 的分布列 和数学期望. 19.如图, 已知四棱台 ABCD ? A1 B1C1 D1 上、下底面分别是边长为 3 和 6 的正方形, AA1 ? 6 ,

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且 AA1 ? 底面 ABCD,点 P、Q 分别在棱 DD1 、BC 上. (1)若 P 是 DD1 的中点,证明: AB1 ? PQ ; (2)若 PQ//平面 ABB1 A1 ,二面角 P-QD-A 的余弦值为

3 ,求四面体 ADPQ 的体积. 7

20.已知抛物线 C1 : x 2 ? 4 y 的焦点 F 也是椭圆 C2 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的一个焦点, C1 与 a 2 b2

C2 的公共弦的长为 2 6 .
(1)求 C2 的方程; (2)过点 F 的直线 l 与 C1 相交于 A、B 两点,与 C2 相交于 C、D 两点,且 AC 与 BD 同向 (ⅰ)若 | AC |?| BD | ,求直线 l 的斜率 (ⅱ)设 C1 在点 A 处的切线与 x 轴的交点为 M,证明:直线 l 绕点 F 旋转时, ?MFD 总是钝 角三角形 21.已知 a ? 0 ,函数 f ( x) ? e sin x( x ? [0, ??)) . 记 xn 为 f ( x) 的从小到大的第 n (n ? N )
ax *

个极值点,证明: (1)数列 { f ( xn )} 是等比数列 (2)若 a ?

1 e ?1
2

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.

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一、选择题,每小题 5 分,满分 50 分. (1)D (2)C (6)D (7)C 二、填空题,每小题 5 分,满分 25 分. (11)0 (12)4 (13) 5

(3)B (8)B

(4)A (9)D

(5)A (10)A

(14) 3n ?1

(15) ( ??, 0 ) ? ( 1, ?? )

三、解答题满分 75 分 16、证明(I)如图 a 所示,

因为 M,N 分别是弦 AB,CD 的中点, 所以 OM ? AB,ON ? CD, 即 ? OME= 90o , ? ENO= 90o , ? OME+ ? ENO = 180o 。 又四边形的内角和等于 360o ,故 ? MEN+ ? NOM= 180o . (II)由(I)知,O,M,E,N 四点共圆,故由割线定理即得 FE ? FN ? FM ? FO

17、解(I)由 a=btanA 及正弦定理,得 sinB=sin( 又 B 为钝角,因此

?

sin A b sin B ,所以 sinB=cosA,即 ? ? cos A a cos B
+A).

?
2

+A ? (

?
2

2

,A) ,故 B=

?
2

+A,即 B-A=

?
2

.

(II)由(I)知,C= ? -(A+B)= ? -(2A+ 于是

?
2

)=

?
2

-2A>0,所以 A ? ? 0,

? ?

??

?, 4?

sinA+sinC=sinA+sin(

?
2

-2A)

= sinA+cos2A=-2 sin 2 A+sinA+1 =-2(sinA-

1 2 9 ) + 4 8

因为 0<A<

?
4

,所以 0<sinA<

2 ,因此 2

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2 1? 9 9 ? <-2 ? sin A ? ? ? ? 2 4? 8 8 ?
由此可知 sinA+sinC 的取值范围是(

2

2 9 , ]. 2 8

18、 (I)记事件 A1 ={从甲箱中摸出的 1 个球是红球}

A2 ={从乙箱中摸出的 1 个球是红球} B1 = {顾客抽奖 1 次获一等奖} B2 ={顾客抽奖 1 次获二等奖}
C={顾客抽奖 1 次能获奖}. 由题意, A1 与 A2 相互独立, A1 A2 与 A1 A2 互斥, B1 与 B2 互斥,且

B1 = A1 A2 , B2 = A1 A2 + A1 A2 ,C= B1 + B2 .
因 P( A1 )=

4 2 5 1 = ,P( A2 )= = ,所以 10 5 10 2
P( B1 )=P( A1 A2 )=P( A1 )P( A2 )=

2 1 1 ? = , 5 2 5

P( B2 )=P( A1 A2 + A1 A2 )=P( A1 A2 )+P( A1 A2 ) =P( A1 )(1- P( A2 ))+(1- P( A1 ))P( A2 ) =

2 1 2 1 1 ? (1- )+(1- ) ? = 5 2 5 2 2 1 1 7 + = . 5 2 10 1 ,所以 X~B 5

故所求概率为 P(C)= P( B1 + B2 )=P( B1 )+ P( B2 )=

(II)顾客抽奖 3 次独立重复试验,由(I)知,顾客抽奖 1 次获一等奖的概率为 (3, 于是

1 ). 5 1 4 64 5 5 125 48 1 1 1 4 2 P(X=1)= C3 ( )( ) = 5 5 125 1 4 12 2 P(X=2)= C3 ( ) 2 ( )1 = 5 5 125
0 P(X=0)= C3 ( ) 0 ( )3 =

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3 P(X=3)= C3 ( )3 ( ) 0 =

1 5

4 5

1 125
2 3

故 X 的分布列为 X P

0

1

64 125

48 125

12 125

1 125

X 的数学期望为 E(X)=3 ?

1 3 = . 5 5

19、解法一 由题设知, AA1 ,AB,AD 两两垂直,以 A 为坐标原点,AB,AD, AA1 所在直线分 别为 x 轴,y 轴,z 轴,建立如图 b 所示的空间直角坐标系,则相关各点的坐标为 A(0,0,0)

B1 (3,0,6)

D(0,6,0)

D1 (0,3,6)

Q(6,m,0),其中 m=BQ,

0? m?6。
(I) 若 P 是 DD1 的中点,则 P(0,

9 ,3 ) , AB1 =(3,0 ,6), 2

于是 AB1 ? PQ =18-18=0,所以 AB1 ? PQ ,即 AB1 ? PQ . (II) 由题设知, DQ =(6,m-6,0), DD1 =(0,-3,6)是平面 PQD 内的两个不共线向量.

设 n1 =(x,y,z)是平面 PQD 的一个法向量,则 ?

? n1 ? DQ ? 0 ? ,即 ? ?n1 ? DD1 ? 0

?6 x ? (m ? 6) y ? 0 ? ? ?3 y ? 6 z ? 0
取 y=6,得 n1 =(6-m,6,3).又平面 AQD 的一个法向量是 n2 =(0,0,1) ,所以 cos< n1 , n2 >=

n1 ? n2 3 3 = . ? 2 2 2 | n1 | ? | n2 | (6 ? m) ? 6 ? 3 (6 ? m) 2 ? 45
3 3 3 ,因此 = , 7 (6 ? m) 2 ? 45 7

而二面角 P-QD-A 的余弦值为

解得 m=4,或者 m=8(舍去) ,此时 Q(6,4,0) 设 DP = ? DD1 (0< ? ? 1),而 DD1 =(0,-3,6) ,由此得点 P(0,6-3 ? ,6 ? ) ,

PQ =(6,3 ? -2,-6 ? ).

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因为 PQ// 平面 ABB1 A1 , 且平面 ABB1 A1 的一个法向量是 n1 = ( 0,1,0 ) ,所以 PQ ?n3 =0 ,即 3 ? -2=0,亦即 ? =

2 ,从而 P(0,4,4) 3

于是,将四面体 ADPQ 视为以△ADQ 为底面的三棱锥 P-ADQ,则其高 h=4, 故四面体 ADPQ 的体积

1 V? S 3
解法二

ADQ

1 1 ? h ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 2

(I)如图 c,取 A1 A 的中点 R,连结 PR,BR,因为 A1 A , D1 D 是梯形 A1 AD1 D 的两

腰,P 是 D1 D 的中点,所以 PR//AD,于是由 AD//BC 知,PR//BC, 所以 P,R,B,C 四点共面. 由题设知,BC ? AB,BC ? A1 A ,所以 BC ? 平面 ABB1 A1 ,因此 BC ? AB1 . 因为 tan ?ABR =
1 ○

AR 3 AB1 = = =tan ?A1 AB1 ,所以 tan ?ABR =tan ?A1 AB1 ,因此 AB 6 A1 A

?ABR ? ?BAB1 = ?A1 AB1 ? ?BAB1 = 90o ,
1 即知 AB ? 平面 PRBC,又 PQ ? 平面 PRBC,故 AB ? PQ. 于是 AB1 ? BR,再由○ 1 1

(II)如图 d,过点 P 作 PM// A1 A 交 AD 于点 M,则 PM//平面 ABB1 A1 . 因为 A1 A ? 平面 ABCD, 所以 OM ? 平面 ABCD,过点 M 作 MN ? QD 于点 N, 连结 PN, 则 PN ? QD,

3 ?PNM 为二面角 P-QD-A 的平面角,所以 cos ?PNM = , 7 MN 3 即 = ,从而 PN 7

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PM 40 . ? MN 3

3 ○

连结 MQ,由 PQ//平面 ABB1 A1 ,所以 MQ//AB,又 ABCD 是正方形,所以 ABQM 为矩形,故 MQ=AB=6. 设 MD=t,则 MN=

MQ ? MD MQ ? MD
2 2

=

6t 36 ? t 2

.

4 ○

过点 D1 作 D1 E / / A1 A 交 AD 于点 E,则 AA1 D1 E 为矩形,所以 D1 E = A1 A =6,AE= A1 D1 =3, 因此 ED=AD-AE=3,于是

PM D1 E 6 ? ? ? 2 ,所以 PM=2MD=2t, MD ED 3

3 ○ 4 得 再由○

36 ? t 2 = 3
1 V? S 3

40 , 解 得 t=2 , 因 此 PM=4. 故 四 面 体 ADPQ 的 体 积 3
ADQ

1 1 ? h ? ? ? 6 ? 6 ? 4 ? 24 . 3 2

20、解(I)由 C1 : x ? 4 y 知其焦点 F 的坐标为(0,1) ,因为 F 也是椭圆 C2 的一焦点,
2

所以

a 2 ? b2 ? 1

1 ○

又 C1 与 C2 的公共弦的长为 2 6 , C1 与 C2 都关于 y 轴对称,且 C1 的方程为 x ? 4 y ,由此
2

易知 C1 与 C2 的公共点的坐标为( ? 6,

3 ) ,所以 2 9 6 ? 2 ?1 2 4a b

2 ○

2 2 1 ,○ 2 得 a =9, b =8,故 C 的方程为 联立○ 1

x2 y 2 ? ?1 9 8
(II)如图 f ,设 A( x1 , y1 )B( x2 , y2 )C( x3 , y3 )D( x4 , y4 ).

3 ○

(i)因 AC 与 BD 同向,且|AC|=|BD|,所以 AC = BD ,从而 x3 ? x1 = x4 ? x2 ,即

x1 ? x2 = x3 ? x4 ,于是

? x1 ? x2 ?

2

-4 x1 x2 =

? x3 ? x4 ?

2

-4 x3 x4

3 ○

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设直线 l 的斜率为 k,则 l 的方程为 y=kx+1. 由?

? y ? kx ? 1 得 x 2 +16kx-64=0.而 x1 , x2 是这个方程的两根.所以 2 x ? 4 y ?

x1 ? x2 =4k, x1 x2 =-4
? y ? kx ? 1 ? 由 ? x2 y 2 得(9+8 k 2 ) x 2 +16kx-64=0.而 x3 , x4 是这个方程的两根.所以 ?1 ? ? 9 ?8
16k 64 , x3 x4 =. 2 9 ? 8k 9 ? 8k 2 4 ? 64 16k 2 4 ○ 5 带入○ 3 ,得 16( k +1)= 将○ + ,即 2 2 ? 9 ? 8k 2 ? 9 ? 8k

4 ○

x3 ? x4 =-

5 ○

16( k 2 +1)=

162 ? 9(k 2 ? 1)

? 9 ? 8k ?

2 2



所以 9 ? 8k

?

2 2

?

= 16 ? 9 ,解得 k= ?

6 6 ,即直线 l 的斜率为 ? . 4 4

(ii)由 x ? 4 y 得 y =
2 '

x x ,所以 C1 在点 A 处的切线方程为 y- y1 = 1 (x- x1 ) ,即 2 2
y= x1 x -

x12 4

.

令 y=0 得 x=

x1 x x ,即 M( 1 ,0),所以 FM =( 1 ,-1).而 FA =( x1 , y1 ? 1 ).于是 2 2 2
FA ? FM =

x12 2

- y1 ? 1 =

x12 4

+1>0,

因此 ?AFM 是锐角,从而 ?MFD ? 180o ? ?AFM 是钝角.

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故直线 l 绕点 F 旋转时,△MFD 总是钝角三角形.

21、证明: (I) f ( x) ? ae sin x ? e cos x
' ax ax

? e ax (a sin x ? cos x)
? a 2 ? 1e ax sin( x ? ? )
其中 tan ? =
'

1 ? ,0< ? < . a 2
即 x= m? - ? ,m ? N * .

令 f ( x) =0,由 x ? 0 得 x+ ? =mx, 对 k ? N,若 2k ? <x+ ? <(2k+1) 若(2k+1) ? <x+ ? <(2k+2)

? ,即 2k ? - ? <x<(2k+1) ? - ? ,则 f ' ( x) >0;

? ,即(2k+1) ? - ? <x<(2k+2) ? - ? ,则 f ' ( x) <0.
'

因此,在区间( (m-1) ? ,m ? - ? )与(m ? - ? ,m ? )上, f ( x) 的符号总相反.于是 当 x= m ? - ? (m ? N * )时, f ( x) 取得极值,所以

xn ? n? ? ? (n ? N * ) .
此时, f ( xn ) ? e
a ? n? ? ? ?

sin(n? ? ? ) ? (?1) n ?1 e

a ? n? ? ? ?

sin ? . 易知 f ( xn ) ? 0,而

f ( xn ?1 ) (?1) n ? 2 e ?? ? ? sin ? ? ? ?e ax n ?1 a ? n? ? ? ? f ( xn ) (?1) e sin ?
a ? n ?1 ? ? ? ?

是常数,故数列 ? f ( xn )? 是首项为 f ( x1 ) = e (II)由(I)知, sin ? =

a ? n? ? ? ?

sin ? ,公比为 ?e ax 的等比数列

1 a ?1
2

,于是对一切 n ? N * , xn <| f ( xn ) |恒成立,即

n? ? ? ?

1 a ?1
2

e

a ? n? ? ? ?

恒成立,等价于

a2 ? 1 e a? n? ? ? ? ? a a ? n? ? ? ?
恒成立(因为 a>0) 设 g(t)=

(? )

et et (t ? 1) ' ' ( t) = (t)0) ,则 g .令 g =0 得 t=1 ( t) 2 t t

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当 0<t<1 时, g (t) < 0 ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递减; 当 t>1 时, g (t) > 0 ,所以 g(t)在区间(0,1)上单调递增. 从而当 t=1 时,函数 g(t)取得最小值 g(1)=e 因此,要是( ? )式恒成立,只需
'

'

a2 ? 1 1 ? g (1) ? e ,即只需 a ? . a e2 ? 1

而当 a=

1 e2 ? 1

时,tan ? =

1 ? 2 = e ? 1 ? 3 且 0 ? ? ? .于是 a 2

? ?? ?

2? 3? ? e 2 ? 1 ,且当 n ? 2 时, n? ? ? ? 2? ? ? ? ? e 2 ? 1 .因此对一切 3 2

n ? N * , axn ?

n? ? ? e2 ? 1
1

? 1 ,所以 g( axn ) ? g (1) ? e ?

a2 ? 1 .故( ? )式亦恒成立. a

综上所述,若 a ?

e ?1
2

,则对一切 n ? N * , xn ?| f ( xn ) | 恒成立.


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