江西省临川一中2013-2014学年高一数学下学期期末考试试题

临川一中 2013-2014 学年高一下学期期末考试数学试题
一、选择题(每小题 5 分,共 10 个小题,本题满分 50 分) 1.如果 a ? b ,则下列各式正确的是( ) A. a ? lg x ? b ? lg x
2 2 B. ax ? bx
2 2 C. a ? b

x x D. a ? 2 ? b ? 2

2.已知 0 ? x ? 1 ,则 x(3 ? 3 x) 取得最大值时 x 的值为( A.



1 3

B.

1 2

C.

3 4

D.

2 3
)

3.一个等比数列前 n 项的和为 48,前 2 n 项的和为 60,则前 3n 项的和为( A. 83 B. 108 C. 75 D. 63
2

4.若直线 ax ? 2 y ? 6 ? 0 和直线 x ? a(a ? 1) y ? (a ?1) ? 0 垂直,则 a 的值为( A. 0 或 ?

)

3 2

B. 0 或 ?

2 3
x

C. 0 或

2 3

D. 0 或

3 2

5.已知 a、b 都是正实数,函数 y ? 2ae ? b 的图象过(0,1)点,则 A. 3 ? 2 2 B. 3 ? 2 2 C. 4 D. 2 )

1 1 ? 的最小值是( a b

)

6.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=(

2

A.

5

B.

5

C. 2

D. 1

7.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这 两年生产总值的年平均增长率为( A. C. )

p?q 2

B.

( p ? 1)( q ? 1) ? 1 2

pq

D. ( p ? 1)(q ? 1) ?1

8.一个多面体的三视图如图所示, 则该多面体的表面积为( ) A. 21 ? 3 C. 21 B. 18 ? 3 D. 18

第 8 题图

1

? y?x ? 9.设 m ? 1, 在约束条件 ? y ? m x 下,目标函数 z ? x ? my 的最大值大于 2,则 m 的取值范 ?x ? y ? 1 ?
围为( )

A. 1,1 ? 2

?

?

B. 1 ? 2 ,??

?

?

C. ?1,3 ?

D. ?3,?? ?

0 10. 直 三 棱 柱 ABC ? A1 B1C1 中 , ?BCA ? 90 , M 、N 分 别 是 A1 B1、A1C1 的 中 点 ,

AN 所成的角的余弦值为( BC ? CA? CC 1 ,则 BM 与
A. 1



10

B. 2

5

C.

2 2

D.

30 10

第Ⅱ卷 (非选择题共 100 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 5 小题,满分 25 分) 11.当 x ? 0 时,函数 y ?

x2 ? 2x ? 4 的最小值为 x

. 时, {an } 的前 n 项

12.若等差数列 {an } 满足 a7 ? a8 ? a9 ? 0, a7 ? a10 ? 0 ,则当 n ? 和最大.

S2 ,体积分别为 V1 , V2 ,若它们的侧面积相等,且 13.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为 S1 ,

S1 9 V ? ,则 1 的值是 S2 4 V2



2 14.已知函数 f ( x) ? x ? mx ? 1,若对于任意的 x ??m, m ?1? 都有 f ( x) ? 0 ,则实数 m 的

取值范围为

.

2 2 15.设点 M (a,2) ,若在圆 O : x ? y ? 4 上存在点 N ,使得 ?OMN ? 45? ,则 a 的取值范

围是________.

三、解答题(需要写出解答过程或证明步骤) 16.(本小题满分 12 分) 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别是 a , b, c ,且 b ? 3, c ? 1, A ? 2 B.
2

(Ⅰ)求 a 的值;

(Ⅱ)求 sin( A ?

?
4

) 的值.

17.(本小题满分 12 分)解关于 x 的不等式

a?x ? 0 ,其中常数 a 是实数. x ?x?2
2

18.(本小题满分 12 分) 在直角坐标系 xoy 中,已知点 A ?1,1? , B ? 2,3? , C ? 3, 2 ? ,点 P ? x, y ? 在 ?ABC 三边围成 的区域(含边界)上,且 OP ? m AB? n AC(m, n ? R) . (Ⅰ)若 m ? n ?
? 1 ,求 OP ; 3
? ? ?

(Ⅱ)用 x, y 表示 m ? n ,并求 m ? n 的最小值.

19.(本小题满分 12 分)

?BAC ? 45? , 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, PA 丄平面 ABCD ,AC 丄 AD ,AB 丄 BC ,
PA=AD =2 , AC =1 .
(Ⅰ)证明: PC 丄 AD ; (Ⅱ)求二面角 A ? PC ? D 的正弦值; (Ⅲ)求三棱锥 P ? ACD 外接球的体积.
P

B A C

D

20. (本小题满分 13 分) 如图,为保护河上古桥 OA,规划建一座新桥 BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:
3

新桥 BC 与河岸 AB 垂直; 保护区的边界为圆心 M 在线段 OA 上并与 BC 相切的圆, 且古桥两 端 O 和 A 到该圆上任意一点的距离均不少于 80m. 经测量, 点 A 位于点 O 正北方向 60m 处, 点 C 位于点 O 正东方向 170m 处(OC 为河岸), cos ?BCO ? 以 OA 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系. (Ⅰ)求 BC 所在直线的方程及新桥 BC 的长; (Ⅱ)当 OM 多长时,圆形保护区的面积最大? 并求此时圆的方程.

3 .以 OC 所在直线为 x 轴, 5

21( 本 小 题 满 分 14 分 ) 设 各 项 为 正 数 的 数 列 ?an ? 的 前 n 和 为 S n , 且 S n 满 足: Sn ? (n2 ? n ? 3)Sn ? 3(n2 ? n) ? 0, n ? N? .等比数列 ?bn ?满足: log 2 bn ?
2

1 an ? 0 . 2

(Ⅰ)求数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (Ⅱ)设 cn ? an ? bn ,求数列 ?cn ?的前 n 项的和 Tn ; (Ⅲ) 证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 ? ? ??? ? ? . a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1) 3
4

临川一中 2013—2014 学年度下学期期末考试 高一数学试卷答案

三.解答题 16.解: (Ⅰ)∵ A ? 2 B ,∴ sin A ? sin 2 B ? 2sin B cos B , 由正弦定理得 a ? 2b ?

a 2 ? c2 ? b2 2ac

∵ b ? 3, c ? 1 ,∴ a2 ? 12, a ? 2 3 .............................6 分 (Ⅱ)由余弦定理得 cos A ?

b 2 ? c 2 ? a 2 9 ? 1 ? 12 1 ? ?? , 2bc 6 3

2 2 由于 0 ? A ? ? ,∴ sin A ? 1 ? cos A ? 1 ? (? ) ?

1 3

2 2 , 3



? ? ? 2 2 2 1 2 4? 2 ..........12 sin( A ? ) ? sin A cos ? cos A sin ? ? ? (? ) ? ? 4 4 4 3 2 3 2 6
分 17.解原不等式 ? ( x ? a)(x ? 2)(x ? 1) ? 0 .........................2 分 当 a ? ?1 时原不等式的解集为 (??, a) ? (?1,2) ..............4 分 当 a ? ?1 时原不等式的解集为 (??,?1) ? (?1,2) ...........6 分 当 ? 1 ? a ? 2 时原不等式的解集为 (??,?1) ? (a,2) .......8 分 当 a ? 2 时原不等式的解集为 (??,?1) ............10 分 当 a ? 2 时原不等式的解集为 (??,?1) ? (2, a) .........12 分 18 解(Ⅰ) OP ? m AB ? n AC ? ∴ OP ?
?
? ? ?

1 1 (1,2) ? ( 2,1) ? (1,1) , 3 3

2 ....................5 分
5

19. 解: (Ⅰ)

DA ? AC? ? ? DA ? 平面PAC ? DA ? PC .................4 分 DA ? PA ?

(Ⅱ)过 A 作 AM ? PC 交 PC 于点 M ,连接 DM ,则 ?AMD 为所求角 在三角形 AMD 中, sin ?AMD ?

AD 30 ........................8 分 ? DM 6

(Ⅲ)求三棱锥 P ? ACD 外接球即为以 AP, AD, AC 为棱的长方体的外接球,长方体的对角 线为球的直径 l ? 2 ? 2 ? 1 ? 9 ? (2 R ) ? R ?
2 2 2 2 2

3 2

P

4 4 3 9 V ? ?R 3 ? ? ? ( )3 ? ? ...............12 分 3 3 2 2
M B
A C

20(Ⅰ)建立平面直角坐标系 xOy. 由条件知 A(0, 60),C(170, 0), 直线 BC 的斜率 k
BC

D

=-tan∠BCO=-

4 . 3
AB

3 . 4 b?0 4 ?? , 设点 B 的坐标为(a,b),则 k BC= a ? 170 3 b ? 60 3 ? , k AB= a?0 4
又因为 AB⊥BC,所以直线 AB 的斜率 k =
2 2 解得 a=80,b=120. 所以 BC= (170 ? 80) ? (0 ? 120) ? 150 .

因此直线 BC 的方程为 y ? ? 新桥 BC 的长是 150 m.

4 ( x ? 170) ,即 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 ..............6 分 3

6

(Ⅱ)设保护区的边界圆 M 的半径为 r m,OM=d m,(0≤d≤60). 由知,直线 BC 的方程为 4 x ? 3 y ? 680 ? 0 由于圆 M 与直线 BC 相切,故点 M(0,d)到直线 BC 的距离是 r, 即r ?

| 3d ? 680 | 680 ? 3d ? . 5 5

因为 O 和 A 到圆 M 上任意一点的距离均不少于 80 m,

? 680 ? 3d ? d ≥ 80 ? ?r ? d ≥ 80 ? 5 所以 ? 即? 解得 10 ≤ d ≤ 35 ?r ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 680 ? 3d ? (60 ? d ) ≥ 80 ? 5 ?
故当 d=10 时, r ?

680 ? 3d 最大,即圆面积最大. 5

所以当 OM = 10 m 时,圆形保护区的面积最大.此时圆的方程为 x 2 ? ( y ?10) 2 ? 1302 .....................................13 分

1 n 1 ? ( ) 1 1 1 1 2 1 n ?1 1 n 1 2 (1) ? (2) 得 Tn ? 1 ? ( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) ? n ? ( ) ? ? n ? ( )n 1 2 2 2 2 2 2 1? 2 1 ? Tn ? 4 ? ( ) n ?1 (n ? 2) .............................................9 分 2
(Ⅲ)当 k ? N ? 时 k ?
2

k k 3 1 3 ? k 2 ? ? ? (k ? )( k ? ) 2 2 16 4 4

7

?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? [ ? ] ak (ak ? 1) 2k (2k ? 1) 4 k (k ? 1 ) 4 (k ? 1 )(k ? 3 ) 4 k ? 1 (k ? 1) ? 1 2 4 4 4 4
1 1 1 ? ? ??? ? a1 (a1 ? 1) a2 (a2 ? 1) an (an ? 1)

?

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? )?( ? ) ? ??? ? ( ? )] 1 1 1 1 4 1? 1 2 ? 1 2? 3? n? n ?1? 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 1 ? ( ? )? ? ? 4 1? 1 n ?1? 1 3 4n ? 3 3 4 4
............................................................................... ...............14 分

8


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