2018年高中数学第三章变化率与导数3.2.1导数的概念课件4北师大版选修1_1_图文

导数的概念 什么是平均变化率?什么是瞬时变化率? 人们发现,在高台跳水运动中,运动员 相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的 时间 t(单位:s) 存在函数关系 65 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的 49 平均速度,并思考下面的问题: (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运动状 态有什么问题吗? h(t ) ? ?4.9t ? 6.5t ? 10 2 ?t 是时间改 任意取一个时刻2+ ?t , 变趋近于 量,可以是 当Δt 0时,平均 正值,也可以为负值,但是不为0 速度有什么变化趋势? h(2+?t ) ? h(2) v? ? -4.9?t-13.1 2+?t ? 2 ?t ? 0时,在?2+?t, 2? 这段时间内 ?t ? 0时,在?2,2+?t ? 这段时间内 h(2) ? h(2+?t ) v? =-4.9?t-13.1 2 ? (2+?t ) 当?t=-0.01 时, v =- 13.051 当?t=0.01时, v=- 13.149 当?t=0.001 时, v =- 13.1049 当?t=-0.001时, v=- 13.0951 当?t=-0.0001时, v=- 13.09951 当?t=0.0001时, v=- 13.10049 当?t=-0.00001时, v=- 13.099951 当?t=0.00001 时, v=- 13.100049 当?t=-0.000001时, v=- 13.0999951 当?t=0.000001时, v=-13.1000049 h?2 ? ?t ? ? h?2? 为了表述方便 , 我们用 lim ? ?13.1 ?t ? 0 ?t 表示当t ? 2, ?t 趋势近于 0时, 平均速度 v 趋近于确 定值 ? 13.1. 从物理学的角度看,时间间隔 ?t 无限变小 时,平均速度 v 就无限趋近于t=2时的瞬时 速度,因此,运动员在t=2时的瞬时速度是 -13.1m/s. 导数的概念 这个值称为 当 x1趋于 x处及其附近有定义 0时, 定义:设函数 y=f(:x )在点 x0 ,当 平均变化率的极限 . 自变量x在点x0处有改变量Δx时函数有相应的改变量 Δy=f(x0+ Δx)- f(x0).如果当Δx?0 时,Δy/Δx趋于一个固 定的值,那么这个值就是函数f(x)在点x0 的瞬时变化 率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数, 通常用符号 f ?( x0 )或y? |x? x ,记作 0 即: f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y f ?( x0 ) ? lim ? lim . ?x ? 0 ? x ?x ? 0 ?x 说明: 1. 函数 f ( x) 在点 x0 处可导,是指 ?x ? 0 时, ?y ?y 有极限.如果 不存在极限,就说函数在 ?x ?x 点 x0 处不可导,或说无导数. 2. ?x 是自变量x在 x0 处的改变量, ?x ? 0 ,而 ?y 是函数值的改变量,可以是零. 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称. 例题讲解 m 3)是时间x 例1.一条水管中流过的水量y(单位: (单位:s)的函数 y ? f ( x) ? 3x .求函数 在x=2处的导 数 ,并解释它的实际意义. 解 : 当x从2变到2 ? ?x时, 函数值从3 ? 2变 到3(2 ? ?x),函数值y关于x的平均变化率为: f (2 ? ?x) ? f (2) 3(2 ? ?x) ? 3 ? 2 3?x ? ? ? 3(m 3 / s ). ?x ?x ?x 当x趋于2时, 即?x趋于0, 平均变化率趋于 3, 所以 f ?(2) ? 3m 3 / s. 导数f ?(2)表示当x ? 2s时水量的瞬时变化率 ,即水流 的瞬时速度 .也就是如果水管中的水 以x ? 2s时的瞬 时速度流动的话 , 每经过1s, 水管中流过的水量为 3m . 3 例2. 一名食品加工厂的工人上班后开始连续工作,生 产的食品量y(单位:kg)是其工作时间x(单位:h) 的函数 y ? f ( x) ,假设函数 y ? f ( x) 在x=1和x=3处的导数 分别为 f ?(1) ? 4和 f ?(3) ? 3.5 .试解释它们的实际意义. 2 y ? f x ? 2 x ? ? 例3.求 在 x ? 1 处 的导数. 解: ?y 2 ?1 ? ?x ? ? 2 ?1 4?x ? 2 ? ?x ? ? ? ?x ?x ?x ? 4 ? 2?x ?y ? lim ? 4 ?x ?0 ?x 2 2 2 ? f ? ?1? ? 4 归纳 求函数 y = f (x)的导数的一般步骤: 1. 求函数的改变量 2. 求平均变化率 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ); f ( x0 ? ?x ) ? f ( x0 ) ?y ? ; ?x ?x 3. 求极限 ?y f ?( x0 ) ? lim . ?x ? 0 ? x 简记为:一差、二比、三极限 巩固练习 2 ? ? f x ? ? x ? x 在 x ? ?1 附近的平均变化 1.求函数 率,并求出在该点处的导数. 解: ?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x ?y ?(?1 ? ?x) ? (?1 ? ?x) ? 2 f ?(?1) ? lim ? ? lim(3 ? ?x) ? 3 ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x 2 2.求在y ? f ? x ? ? x 处 x ? 1 的导数. 解:?y ? 1 ? ?x ? 1 ?y 1 ? ?x ? 1 1 ? ? ?x ?x 1 ? ?x ? 1 ?x?0 lim 1 1 ? 1 ? ?x ? 1 2 1

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