湖北省洪湖市贺龙高级中学高中数学 3.1.1方程的根与函数的零点导学案 新人教A版必修1


高中数学人教版必修 1:3.1.1 方程的根与函数的零点
姓名:_____________ 班级: ___________ 组别: ___________ 组 名: ____________ 【学习目标】 1. 会用函数图象的交点解释方程的根的意义。 2. 理解函数的零点与方程的根的联系。 3. 能掌握零点定理,并能运用零点定理解决相关问题。 4. 能结合二次函数的图象与 x 轴的交点的个数,判断一元二次方程的根的存在性和根的 个数。 【重点难点】 重点:零点的概念,零点存在性定理的理解及应用。 难点:零点存在性定理的理解及应用。 【知识链接】 1. 一元二次方程的求根方法:直接开方法,因式分解法,求根公式法 2. 画函数图像的基本步骤:列表,描点,连线。 【学习过程】 阅读教材第 86 页至第 87 页“探究”前的内容,回答下列问题 知识点一:零点定义的理解 1.函数的零点 对于函数 y ? f ( x) ,我们把使 的 叫做函数 y ? f ( x) 的零点。 ,也就是函数 y ? f ( x) 的

这样,函数 y ? f ( x) 的零点就是方程 f ( x) ? 0 的 图像 x 轴的交点的 。

说明:函数零点不是一个点,而是具体的自变量。

⑴ f ( x) ? ? x ? x ? 20 ( x ?[0,??))
2

⑵ f ( x) ?

x2 ? 2x ?1 x ?1

1

阅读教材第 87 页“探究”至第 88 页例 1 前内容,回答下列问题 知识点二:函数零点的存在性定理 1. 观察函数 y ? f ( x) 的图象 ① f (a) ? f (b) ② f (b) ? f (c) ③ f (c ) ? f ( d ) 0;在区间 [a, b] 上 0;在区间 [b, c] 上 0;在区间 [c, d ] 上 零点
a o
b

y
c
d

x

零点 零点 的一条曲线, ,即存在

2.零点存在性定理:如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的图像是 并且有 ,那么,函数 y ? f ( x) 在区间 (a, b) 内 ,这个 c 也就是方程 f ( x) ? 0 的根。

c ? (a, b) ,使得

3.如果函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上,图象是连续的,并且在闭区间的两个端点上的函数值 互异即 f (a) ? f (b) ? 0 ,且是单调函数,那么这个函数在 (a, b) 内必有惟一的一个零点。

例 1. 已知函数 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上是连续不断的曲线, 下列语句中, 正确的是 ( ①若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则在区间 (a, b) 内函数 y ? f ( x) 有且仅有一个零点; ②若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则在区间 (a, b) 内函数 y ? f ( x) 没有零点; ③若在区间 (a, b) 内函 数 y ? f ( x) 有零点,则必有 f (a) ? f (b) ? 0 ; ④若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则在区间 (a, b) 内函数 y ? f ( x) 有零点; ⑤若 f (a) ? f (b) ? 0 ,则在区间 (a, b) 内函数 y ? f ( x) 有零点; A.①② B.③④ C.②④⑤ D.⑤



阅读教材第 88 页例 1,回答下列问题 知识点三:零点存在性定理的应用 例 2:函数 f ( x) ? lg x ? A. (6,7) 【基础达标】
2

9 的零点所在的大致区间是 ( x
C. (8,9)

) D. (9,10)

B. (7,8)

A1.下列基本初等函数是否有零点,若有请写出其零点。 ⑵ 比例函数 y ? kx(k ? 0) ⑵反比例函数 y ? _______ ________ ____ __ ___

k (k ? 0) x

⑶一次函数 y ? kx ? b(k ? 0) ________ ⑷二次函数 y ? ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) ,
2

当 ? ? 0 时,__________ 当 ? ? 0 时,____ 当 ? ? 0 时,________ ⑸指数函数 y ? a (a ? 0, a ? 1) _____
x

___ ; __________ ; _______ 。 _________。 _____。

⑹对数函数 y ? log a x(a ? 0, a ? 1) ________ A2.求下列函数的零点: ⑴ f ( x) ? x ? 1
4

⑵ f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

B3.函数 f ( x) ? Inx ? A. (1,2)

2 的零点所在的大致区间是( ) x 1 B. (2,3) C. ( ,1)和(3,4) e
2

D. (e ,? ?)

C4.若 f ( x) ? ax ? b 有一个零点是 3,求函数 g ( x) ? bx ? 3ax 的零点。

【课堂小结】
3

1. 零点的定义 2. 求零点应注意的问题 3. 方程 f ( x) ? 0 的实数根与函数 y ? f ( x) 的零点及其函数图像与 x 轴交点横坐标的关 系? 4. 零点存在性定理 使函数 y=f(x)在区间(a, b)内必有 零点的条件: ①在[a, b]连续 ②f(a)·f(b)<0 【当堂检测】 A1.函数 f ( x) ? 2 x ? 5 x ? 2 的零点有(
2



A.0 个

B.1 个

C.2 个
2

D.不确定

B2.已知函数 f ( x) ? mx ? 2 x ? 3 只有一 个零点,求 m 的值。

C3.如果二次函数 f(x)=x +mx+(m+4)的两个零点都在 1 和 2 之间 ,求 m 的取值 范 围

2

【课后反思】 本节课我最大的收获是 我还存在的疑惑是 我对导学案的建议是

4


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