【师说】2016高考人教数学文科一轮总复习点拨课件:8-4直线、平面平行的判定及性质

第八章 立体几何

第四节 直线、平面平行的判定及性质

考纲导学 1.以立体几何的定义、公理、定理为出发点,认识和理解空间 中线面平行的有关性质和判定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系 的简单命题.

1.若平面 α∥平面 β,直线 a∥平面 α,点 B∈β ,则在平面 β 内且过 B 点的所有直线中( )

A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线

解析:当直线 a 在平面 β 内且经过 B 点时,可使 a∥平面 α, 但这时在平面 β 内过 B 点的所有直线中,不存在与 a 平行的直线, 而在其他情况下,都可以存在与 a 平行的直线,故选 A.
答案:A

2.平面 α∥平面 β 的一个充分条件是( A.存在一条直线 a,a∥α,a∥β B.存在一条直线 a,a?α,a∥β

)

C.存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α D.存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α

解析:对于选项 A,当 α、β 两平面相交,直线 a 平行于交线 时,满足要求,故 A 不对;对于 B,两平面 α、 β 相交,当 a 在平 面 α 内且 a 平行于交线时,满足要求,但 α 与 β 不平行;对于 C, 同样在 α 与 β 相交,且 a、b 分别在 α、β 内且与交线都平行时满足 要求;故只有 D 正确,因为 a、b 异面,故在 β 内一定有一条直线 a′与 a 平行且与 b 相交,同样,在 α 内也一定有一条直线 b′与 b 平行且与 a 相交,由面面平行判定的推论可知其正确.
答案:D

3.对于直线 m、n 和平面 α,下列命题中的真命题是( A.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n ∥α B.如果 m?α,n?α,m、n 是异面直线,那么 n 与 α 相交 C.如果 m?α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n D.如果 m∥α,n∥α,m、n 共面,那么 m∥n

)

解析:A 中当 n∩α=A,A?m,则有 m、n 是异面直线,故 A 是错误的.B 中 n 与 α 可能相交,也可能平行,故 B 是错误的.C 中由线面平行的性质定理可知 C 是正确的.D 中 m、n 可能相交, 也可能平行,故 D 是错误的.
答案:C

4.过三棱柱 ABC-A1B1C1 任意两条棱的中点作直线,其中与 平面 ABB1A1 平行的直线共有______条.

解析:各中点连线如图,只有面 EFGH 与面 ABB1A1 平行,在 四边形 EFGH 中有 6 条符合题意.

答案:6

5.考察下列三个命题,在“__________”处都缺少同一个条件, 补上这个条件使其构成真命题(其中 l、m 为直线,α、β 为平面), 则此条件为__________. m?α,? ? l∥m ? ? l ∥ α ;② ? ? ? ? m∥α ? ? l ∥ α ;③ ? ? l∥m l⊥β, ? ? α⊥β,? ? l ? ?



∥α.

解析:①体现的是线面平行的判定定理,缺的条件是“l 为平 面 α 外的直线”即“l?α”,它同样也适合②③,故填 l?α.
答案:l?α

1.直线与平面平行的判定与性质 判定 图 形 条 件 结 论 ①________ ②________ ③________ ④________ 性质

a∥α

b∥α

a∩α=⑤__

⑥______

2.面面平行的判定与性质 判定 图形 性质

答案:①a∩α=?

②a?α,b?α,a∥b ⑤? ⑥a∥b

③a∥α ⑦α∩β=? ?a?α, b?α ?

④a∥α,a?β,α∩β=b ⑧a?β, b?β

⑨a∩b=P ⑩a∥α, b∥α

a∩b=P ?a′?β,b′?β ?α∥β,α∩γ=a

?a∥a′,b∥b ′ ?α∥β,a?β

?β∩γ=b

1.直线与平面的位置关系有三种:直线在平面内、直线与平 面相交、直线与平面平行,后面两种又统称为直线在平面外. 2.证明线面平行是高考中常见的问题,常用的方法就是证明 这条线与平面内的某条直线平行.但一定要说明一条直线在平面 外,一条直线在平面内.

3.在判定和证明直线与平面的位置关系时,除熟练运用判定 定理和性质定理外,切不可丢弃定义,因为定义既可作判定定理使 用,亦可作性质定理使用. 4.辅助线(面)是解(证)线面平行的关键.为了能利用线面平行 的判定定理及性质定理,往往需要作辅助线(面).

考点一 例1

直线与平面平行的判定和性质

如图所示,已知 P、Q 是正方体 ABCD-A1B1C1D1 的面

A1B1BA 和面 ABCD 的中心. 证明:PQ∥平面 BCC1B1.

证明:方法一,如图①,取 B1B 中点 E,BC 中点 F,连接 PE、 QF、EF,

① 1 ∵△A1B1B 中, P、 E 分别是 A1B 和 B1B 的中点, ∴PE 綊2A1B1. 1 同理 QF 綊 2AB.

又 A1B1 綊 AB,∴PE 綊 QF.

∴四边形 PEFQ 是平行四边形. ∴PQ∥EF. 又 PQ?平面 BCC1B1,EF?平面 BCC1B1, ∴PQ∥平面 BCC1B1.



方法二,如图②,连接 AB1,B1C. ∵△AB1C 中,P、Q 分别是 AB1 和 AC 的中点, ∴PQ∥B1C. 又 PQ?平面 BCC1B1, B1C?平面 BCC1B1, ∴PQ∥平面 BCC1B1.

【师说点拨】证明线面平行,用线面平行的判定定理即可,找 出所需条件,图中有则就地取材,没有则选取中点,以作平行线的 方式添加辅助线解决.

变式探究 1

如图,在四面体 ABCD 中,截面 EFGH 平行于对

棱 AB 和 CD, 且 AB⊥CD, 试问截面在什么位置时其截面面积最大?

解析: ∵AB∥平面 EFGH, 平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、FH, ∴AB∥FG,AB∥EH.∴FG∥EH. 同理可证 EF∥GH. ∴截面 EFGH 是平行四边形. 又 EF⊥FG,∴?EFGH 为矩形. 设 AB=a,CD=b,又设 FG=x,GH=y, x CG y BG 则由平面几何知识可得 = , = . a BC b BC

x y b 两式相加得 + =1,即 y= (a-x). a b a b b ∴S 矩形 EFGH=FG· GH=x·(a-x)= x(a-x). a a ∵x>0,a-x>0 且 x+(a-x)=a 为定值, ∴当且仅当 x=a-x 时, b ab a x(a-x)= 4 为最大值,此时 x=2, a 即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 分别为棱 AD、AC、BC、 BD 的中点时,截面面积最大.

考点二

平面与平面平行的判定和性质

例 2 如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 BC 上一点,且 A1B∥平面 AC1D, D1 是 B1C1 的中点, 求证: 平面 A1BD1∥平面 AC1D.

证明:连接 A1C 交 AC1 于点 E, ∵四边形 A1ACC1 是平行四边形, ∴E 是 A1C 的中点,连接 ED. ∵A1B∥平面 AC1D, 平面 A1BC∩平面 AC1D=ED,

∴A1B∥ED,

∵E 是 A1C 的中点, ∴D 是 BC 的中点. 又∵D1 是 B1C1 的中点, ∴BD1∥C1D. 又∵BD1?平面 AC1D C1D?平面 AC1D ∴BD1∥平面 AC1D 同理 A1D1∥平面 AC1D. 又 A1D1∩BD1=D1,∴平面 A1BD1∥平面 AC1D.

【师说点拨】平面平行的判定定理,是利用了线面平行来推证 的,即需要找到或证出两条相交直线平行另一平面.本题的证明就 是运用了这一判定定理.

变式探究 2

如图所示,平面 α∥平面 β,A、C∈α,B、D∈β,

AE CF 点 E、F 分别在线段 AB、CD 上,且 = ,求证:EF∥平面 β. EB FD

解析:当 AB 和 CD 在同一平面内时,由 α∥β 可知 AC∥BD, AE CF ABDC 是梯形或平行四边形.由 = ,得 EF∥BD. EB FD 又 BD?β,所以 EF∥β. 当 AB 和 CD 异面时,作 AH∥CD 交 β 于 H,则 AHDC 是平行 四边形, CF AG 作 FG∥DH 交 AH 于 G,连接 EG,于是 = . FD GH

AE CF AE AG 因为 = ,所以 = , EB FD EB GH 所以 EG∥BH,又 BH?β,所以 EG∥β, 又 FG∥DH,DH?β,所以 FG∥β. 所以平面 EFG∥β,而 EF?平面 EFG, 所以 EF∥平面 β.

考点三 例3

空间平行关系中的探索性问题

如图所示,四边形 ABCD 为矩形,AD⊥平面 ABE,AE

=EB=BC,F 为 CE 上的点,且 BF⊥平面 ACE. (1)求证:AE⊥BE; (2)设 M 在线段 AB 上,且满足 AM=2MB,试在线段 CE 上确 定一点 N,使得 MN∥平面 DAE.

解析:(1)∵AD⊥平面 ABE,AD∥BC,∴BC⊥平面 ABE,则 AE⊥BC. 又∵BF⊥平面 ACE, ∴AE⊥BF,∴AE⊥平面 BCE, 又 BE?平面 BCE,∴AE⊥BE.

(2)在△ABE 中过 M 点作 MG∥AE 交 BE 于 G 点,在△BEC 中 过 G 点作 GN∥BC 交 EC 于 N 点,连接 MN,则由比例关系易得 1 CN= CE. 3 ∵MG∥AE,MG?平面 ADE,AE?平面 ADE, ∴MG∥平面 ADE. 同理,GN∥平面 ADE. 又∵GN∩MG=G,∴平面 MGN∥平面 ADE. 又 MN?平面 MGN,∴MN∥平面 ADE. ∴N 点为线段 CE 上靠近 C 点的一个三等分点.

【师说点拨】 (1) 通过线面垂直证明线线垂直. (2) 这是一道探 索性问题, 先确定点 N 的位置, 再进行证明. 要注意解题的方向性, 通过寻找到的条件,证明 MN∥平面 DAE 成立.

变式探究 3

如图,四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 a 的正

方形,侧棱 PA⊥底面 ABCD,在侧面 PBC 内有 BE⊥PC 于 E,且 6 BE= 3 a,试在 AB 上找一点 F,使 EF∥平面 PAD.

解析: 在平面 PCD 内, 过 E 作 EG∥CD 交 PD 于 G, 连接 AG, 在 AB 上取点 F,使 AF=EG,则 F 即为所求作的点.

EG∥CD∥AF,EG=AF, ∴四边形 FEGA 为平行四边形. ∴FE∥AG.又 AG?平面 PAD,FE?平面 PAD, ∴EF∥平面 PAD.

又在△BCE 中, CE= BC -BE =
2 2

2 2 3 a -3a = 3 a.
2

在 Rt△PBC 中,BC2=CE· CP, a2 ∴CP= = 3a. 3 3a EG PE PC-CE 又∵ = = , CD PC PC 2 ∴EG=AF=3a. ∴点 F 为 AB 的一个三等分点.

?方法与技巧 1.平行问题的转化关系

2.直线与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)面与面平行的性质. 3.平面与平面平行的主要判定方法 (1)定义法;(2)判定定理;(3)推论;(4)a⊥α,a⊥β?α∥β. ?失误与防范 在推证线面平行时,一定要强调直线不在平面内,否则,会出 现错误.

1. (2014· “皖西七校”联合考试)已知 α, β 是两个不同的平面, 下列四个条件中能推出 α∥β 的是( ①存在一条直线 a,a⊥α,a⊥β; ②存在一个平面 γ,γ⊥α,γ⊥β; ③存在两条平行直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α; ④存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α. A.①③ C.①④ B.②④ D.②③ )

解析:对于①,垂直于同一直线的两个平面平行,故当 a⊥α, a⊥β 时,α∥β,故①正确; 对于②,若 γ⊥α,γ⊥β,α 与 β 可能平行,也可能相交(此时 α, β 的交线与 γ 垂直),故②不正确; 对于③,若 a?α,b?β,a∥β,b∥α,则 α 与 β 可能平行, 也可能相交(此时 a,b 均与交线平行),故③不正确;

对于④,存在两条异面直线 a,b,a?α,b?β,a∥β,b∥α. 可将 α 内的直线平移到 β 内的直线 c, 则有相交直线 b, c 都与平面 α 平行,根据面面平行的判定定理,可得④正确.故选 C.
答案:C

2.(2014· 东北三校联考)直线 m,n 均不在平面 α,β 内,给出 下列命题: ①若 m∥n,n∥α,则 m∥α;②若 m∥β,α∥β,则 m∥α;③ 若 m⊥n,n⊥α,则 m∥α;④若 m⊥β,α⊥β,则 m∥α. 则其中正确命题的个数是( A.1 B.2 )

C.3 D.4

解析:对于①,根据线面平行的判定定理知,m∥α;对于②, 如果直线 m 与平面 α 相交,则必与 β 相交,而这与 α∥β 矛盾,故 m∥α;对于③,在平面 α 内取一点 A,设过 A,m 的平面 γ 与平面 α 相交于直线 b.因为 n⊥α,所以 n⊥b,又因为 m⊥n,所以 m∥b, 则 m∥α;对于④,设 α∩β=l,在 α 内作 m′⊥ β,因为 m⊥β,所 以 m∥m′,从而 m∥α.故 4 个命题都正确.
答案:D

3.(2014· 河北石家庄调研)设 a,b 表示直线,α,β,γ 表示不 同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 a⊥α 且 a⊥b,则 b∥α B.若 γ⊥α 且 γ⊥β,则 α∥β C.若 a∥α 且 a∥β,则 α∥β D.若 γ∥α 且 γ∥β,则 α∥β )

解析: A 项中,应该是 b∥α 或 b?α;B 项中,如果是墙角的 三个面就不符合题意;C 项中,α∩β=m,若 a∥m 时,满足 a∥α, a∥β,但是 α∥β 不正确;所以选 D.
答案:D

4.(2014· 广东揭阳一模)设平面 α,β,直线 a,b,a?α,b?α, 则“a∥β,b∥β”是“α∥β”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 )

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

解析:由平面与平面平行的判定定理可知,若直线 a,b 是平 面 α 内两条相交直线, 且有“a∥β, b∥β”, 则有“α∥β”; 当“α ∥β”,若 a?α,b?α,则有“a∥β,b∥β” ,因此“a∥β,b∥β” 是“α∥β”的必要不充分条件.选 B
答案:B

5.(2014· 浙江温州第一次适应性测试)如图,矩形 ABCD 中,E 为 AB 的中点, 将△ADE 沿直线 DE 翻转成△A1DE.若 M 为线段 A1C 的中点,则在△ADE 翻转过程中,正确的命题是__________. ①|BM |是定值;②点 M 在圆上运动;③一定存在某个位置,使 DE⊥A1C;④一定存在某个位置,使 MB∥平面 A1DE.

解析:取 DC 的中点 N,连接 MN,NB,则 MN∥A1D,NB∥ DE,∴平面 MNB∥平面 A1DE,MB?平面 MNB, ∴MB∥平面 A1DE,④正确; 1 ∠A1DE=∠MNB,MN=2A1D=定值,NB=DE=定值,根据 余弦定理得,MB2=MN2+NB2-2MN· NB· cos∠MNB,所以 MB 是 定值.①正确;

B 是定点,所以 M 是在以 B 为圆心,MB 为半径的圆上,②正 确; 当矩形 ABCD 满足 AC⊥DE 时存在, 其他情况不存在, ③不正 确. 所以①②④正确.
答案:①②④

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