2017-2018版高中数学 第二章 统计 2.3.2 方差与标准差 苏教版必修3(1)_图文

第2章 2.3总体特征数的估计 2.3.2 方差与标准差 学习目标 1.理解样本数据方差、标准差的意义,会计算方差、标准差; 2.会用样本的基本数字特征(平均数、标准差)估计总体的基本 数字特征; 3.体会用样本估计总体的思想. 内容索引 问题导学 题型探究 当堂训练 问题导学 知识点一 用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征 1.样本的基本数字特征包括 众数 、中位数 、平均数 、标准差 、极差 . 2.平均数向我们提供了样本数据的重要信息,但是平均数有时也会使我 们作出对总体的片面判断,因为这个平均数掩盖了一些极端的情况,而 这些极端情况显然是不能忽视的.因此,还需要刻画数据的分散程度. 3.一组数据的 最大值与最小值 的差称为极差,用极差刻画数据的分散程 度简便易行,但集中程度差异不大时,不易得出结论. 知识点二 方差、标准差 思考 若两名同学的两门学科的平均分都是80分,一名是两门均为80 分,另一名是一门40分,一门120分,如何刻画这种差异? 答案 可以通过考察样本数据的分散程度的大小. 梳理 标准差与方差: 一般地, (1)标准差是样本数据到平均数的一种平均距离,一般用s表示. s= n1[?x1- x ?2+?x2- x ?2+…+?xn- x ?2]. (2)标准差的平方s2叫做方差. s2=1n[(x1- x )2+(x2- x )2+…+(xn- x )2](xn 是样本数据,n 是样本容量,x 是样本平均数). (3)标准差(或方差)越小,数据越稳定在平均数附近.s=0 时,每一组样本 数据均为 x . 题型探究 类型一 感受数据的离散程度 例1 分别计算下列四组样本数据的平均数,并画出条形图,说明它们的 异同点. 解答 (1)5,5,5,5,5,5,5,5,5; (2)4,4,4,5,5,5,6,6,6; (3)3,3,4,4,5,6,6,7,7; (4)2,2,2,2,5,8,8,8,8. 反思与感悟 标准差能够衡量样本数据的稳定性,标准差越大,数据的离散程度就越 大,也就越不稳定.标准差越小,数据的离散程度就越小,也就越稳定. 跟踪训练1 有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中 的环数如下: 甲:7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙:9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 试求出甲、乙两人本次射击的平均成绩, 并画出两人成绩的频率分布条 形图,你能说明其水平差异在哪里吗? 解答 类型二 方差、标准差的计算 例2 从甲、乙两种玉米中各抽10株,分别测得它们的株高如下: 甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42; 乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40. 试计算甲、乙两组数据的方差和标准差. 解答 计算方差(或标准差)时要先计算平均数. 反思与感悟 跟踪训练2 求出跟踪训练1中的甲、乙两运动员射击成绩的标准差,结 合跟踪训练1的条形图体会标准差的大小与数据离散程度的关系. 解答 x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7,同理可得 x 乙=7. 根据标准差的公式,得 s 甲= 110[?7-7?2+?8-7?2+…+?4-7?2]=2; 同理可得s乙≈1.095.所以s甲>s乙. 因此说明离散程度越大,标准差就越大. 类型三 标准差及方差的应用 例3 甲、乙两人同时生产内径为25.40 mm的一种零件.为了对两人的生 产质量进行评比,从他们生产的零件中各抽出20件,量得其内径尺寸如 下(单位:mm): 甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.45 25.38 25.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.42 25.35 25.41 25.39 乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.49 25.36 25.34 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.31 25.32 25.32 25.32 25.48 从生产的零件内径的尺寸看,谁生产的质量较高?(结果保留小数点后3 位解)答 反思与感悟 比较两组数据的异同点,一般情况是从平均数及标准差这两个方面考虑. 其中标准差与样本数据单位一样,比方差更能直观地刻画出与平均数的 平均距离. 跟踪训练3 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 (单位:t/hm2),试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定. 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第解5年答 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 甲品种的样本平均数为10,样本方差为 [(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(10.2-10)2]÷5=0.02. 乙品种的样本平均数也为10,样本方差为 [(9.4 - 10)2 + (10.3 - 10)2 + (10.8 - 10)2 + (9.7 - 10)2 + (9.8 - 10)2]÷5 = 0.244. 因为0.244>0.02,所以由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定. 当堂训练 1.下列说法正确的是_②___. 答案 解析 ①在两组数据中,平均值较大的一组方差较大; ②平均数反映数据的集中趋势,方差则反映数据离平均值的波动大小; ③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和; ④在记录两个人射击环数的两组数据中,方差大的表示射击水平高. ①中平均值和方差是数据的两个特征,不存在这种关系; ③中求和后还需取平均数; ④中方差越大,射击越不平稳,水平越低. 12345 2.将某选手的9个得分去掉1个最高分,去掉1个最低分,7个剩余分数的 平

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