高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大小值第1课时函数的单调性学案新

第 1 课时 函数的单调性
学习目标:1.理解函数的单调性及其几何意义,能运用函数图象理解和研究函数的单调性.(重 点、难点)2.会用函数单调性的定义判断(或证明)一些函数的单调性.(难点)3.会求一些具体函 数的单调区间.(重点) [自 主 预 习·探 新 知] 1.增函数与减函数的定义 一般地,设函数 f(x)的定义域为 I:如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个 条件 自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时 都有 f(x1)<f(x2) 结论 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 都有 f(x1)>f(x2) 那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数

图示

思考 1:增(减)函数定义中的 x1,x2 有什么特征? [提示] 定义中的 x1,x2 有以下 3 个特征 (1)任意性,即“任意取 x1,x2”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般; (2)有大小,通常规定 x1<x2; (3)属于同一个单调区间. 2.函数的单调性与单调区间 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 1 思考 2:函数 y= 在定义域上是减函数吗?

x

1 1 [提示] 不是. y= 在(-∞, 0)上递减, 在(0, +∞)上也递减, 但不能说 y= 在(-∞, 0)∪(0,

x

x

+∞)上递减. [基础自测] 1.思考辨析 (1)因为 f(-1)<f(2),所以函数 f(x)在[-1,2]上是增函数.( (2)若 f(x)为 R 上的减函数,则 f(0)>f(1).( [答案] (1)× (2)√ (3)×
-1-

) )

)

(3)若函数 f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数, 则函数 f(x)在区间(1,3)上为增函数. (

2.函数 y=f(x)的图象如图 1?3?1 所示,其增区间是(

)

图 1?3?1 A.[-4,4] B.[-4,-3]∪[1,4] C.[-3,1] D.[-3,4] C [由图可知,函数 y=f(x)的单调递增区间为[-3,1],选 C.] 3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是减函数的是( 1 A.y=- ) 【导学号:37102125】

x

B.y=x D.y=1-x
2

C.y=x

2

D [函数 y=1-x 在区间(0,+∞)上是减函数,其余函数在(0,+∞)上均为增函数,故选 D.] 4.函数 f(x)=x -2x+3 的单调减区间是________. (-∞, 1) [因为 f(x)=x -2x+3 是图象开口向上的二次函数, 其对称轴为 x=1, 所以函数 f(x) 的单调减区间是(-∞,1).]
2

[合 作 探 究·攻 重 难] 求函数的单调区间 求下列函数的单调区间,并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数.
?2x+1,x≥1, ? 1 (1)f(x)=- ;(2)f(x)=? x ? ?5-x,x<1;

(3)f(x)=-x +2|x|+3. 【导学号:37102126】 1 [解] (1)函数 f(x)=- 的单调区间为(-∞,0),(0,+∞),其在(-∞,0),(0,+∞)上都

2

x

是增函数. (2)当 x≥1 时,f(x)是增函数,当 x<1 时,f(x)是减函数,所以 f(x)的单调区间为(-∞,1), [1,+∞),并且函数 f(x)在(-∞,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
? ?-x +2x+3,x≥0, (3)因为 f(x)=-x +2|x|+3=? 2 ?-x -2x+3,x<0. ?
2 2

根据解析式可作出函数的图象如图所示,由图象可知,
-2-

函数 f(x)的单调区间为(-∞,-1],(-1,0),[0,1),[1,+∞).

f(x)在(-∞,-1],[0,1)上是增函数,在(-1,0),[1,+∞)上是减函数.
[规律方法] 1.求函数单调区间的方法 (1)利用基本初等函数的单调性,如本例(1)和(2),其中分段函数的单调区间要根据函数的自变 量的取值范围分段求解; (2)利用函数的图象,如本例(3). 2.若所求出函数的单调增区间或单调减区间不唯一,函数的单调区间之间要用“,”隔开,如 本例(3).

[跟踪训练] 1.(1)根据如图 1?3?2 说出函数在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数;

图 1?3?2 (2)写出 y=|x -2x-3|的单调区间. [解] (1)函数在[-1,0],[2,4]上是减函数,在[0,2],[4,5]上是增函数. (2)先画出
? ?x -2x-3,x<-1或x>3, f(x)=? 2 ?- x -2x- ,-1≤x≤3 ?
2 2

的图象,如图.

所以 y=|x -2x-3|的单调减区间为(-∞,-1],[1,3];单调增区间为[-1,1],[3,+∞).

2

函数单调性的判定与证明 1 证明函数 f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数.

x

-3-

【导学号:37102127】 思路探究: 设元0<x1<x2<1 ― → 作差:f

x1 -f x2

变形 ― ― → 判号:f

x1

f x2

结论 ― ― → 减函数

1? ? 1? ? [证明] 设 x1,x2 是区间(0,1)上的任意两个实数,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)=?x1+ ?-?x2+ ?

?

x1? ?

x2?

1 ? x2-x1 x1-x2 ?1 1? ? =(x1-x2)+? - ?=(x1-x2)+ =(x1-x2)?1- ?=

-1+x1x2

?x1 x2?

x1x2

?

x1x2?

x1x2

∵0<x1<x2<1, ∴x1-x2<0,0<x1x2<1,则-1+x1x2<0, ∴

x1-x2

-1+x1x2

x1x2 x

>0,即 f(x1)>f(x2),

1 ∴f(x)=x+ 在(0,1)上是减函数. [规律方法] 利用定义证明函数单调性的步骤 取值:设 x1,x2 是该区间内的任意两个值,且 x1<x2. 作差变形:作差 f 易判断正负的式子 定号:确定 f x1 -f x2 的符号 结论:根据 f x1 -f x2 的符号及定义判断单调性 提醒:作差变形是证明单调性的关键,且变形的结果是几个因式乘积的形式.

x1 -f x2 ,并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为

[跟踪训练] 2.试用函数单调性的定义证明:f(x)= [证明] f(x)=2+ 设 x1>x2>1, 则 f(x1)-f(x2)= 因为 x1>x2>1, 所以 x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0, 所以 f(x1)<f(x2), 所以 f(x)在(1,+∞)上是减函数. 2 2 x2-x1 - = x1-1 x2-1 x1- x2- , 2 , x-1 2x 在(1,+∞)上是减函数. x-1

函数单调性的应用 [探究问题]
-4-

1.若函数 f(x)是其定义域上的增函数,且 f(a)>f(b),则 a,b 满足什么关系.如果函数 f(x) 是减函数呢? 提示:若函数 f(x)是其定义域上的增函数,那么当 f(a)>f(b)时,a>b;若函数 f(x)是其定义域 上的减函数,那么当 f(a)>f(b)时,a<b. 2.若函数 f(x)=x -2ax+3 在(2,+∞)上是增函数,则实数 a 的取值范围是什么? 提示:因为函数 f(x)=x -2ax+3 是图象开口向上的二次函数,其对称轴为 x=a,所以其单调 增区间为(a,+∞),由题意可得(2,+∞)? (a,+∞),所以 a≤2. 已知函数 f(x)=x +ax+b. (1)若函数 f(x)的图象过点(1,4)和(2,5),求 f(x)的解析式. (2)若函数 f(x)在区间[1,2]上不单调,求实数 a 的取值范围. 【导学号:37102128】 思路探究: 待定系数法求f x 分析f x 的对称与区间的关系
2 2 2 2

数形结合 ― ― → 建立不等式 ― ― → 求a的范围

[解] (1)∵f(x)=x +ax+b 过点(1,4)和(2,5),
? ?1+a+b=4, ∴? ?4+2a+b=5, ?

解得?

? ?a=-2, ?b=5, ?
2

∴f(x)=x -2x+5. (2)由 f(x)在区间[1,2]上不单调可知 1<- <2,即-4<a<-2. 2 母题探究:1.把本例(2)条件“不单调”改为“单调”,求实数 a 的取值范围. [解] 由 f(x)在区间[1,2]上单调可知- ≤1 或- ≥2,即 a≤-4 或 a≥-2. 2 2 2.若把本例改为“函数 g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且 g(2x-3)>g(5x+6)”,求实数 x 的取值范围. [解] ∵g(x)在(-∞,+∞)上是增函数,且 g(2x-3)>g(5x+6), ∴2x-3>5x+6,即 x<-3. 所以实数 x 的取值范围为(-∞,-3).

a

a

a

[规律方法] 函数单调性的应用 函数单调性定义的“双向性”:利用定义可以判断、证明函数的单调性,反过来,若已知 函数的单调性可以确定函数中参数的取值范围. 若一个函数在区间[a,b]上是单调的,则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调 的.

-5-

[当 堂 达 标·固 双 基] 1.如图 1?3?3 是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),则下列关于函数 f(x)的说法错误的是 ( )

图 1?3?3 A.函数在区间[-5,-3]上单调递增 B.函数在区间[1,4]上单调递增 C.函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减 D.函数在区间[-5,5]上没有单调性 C [由图可知,f(x)在区间[-3,1],[4,5]上单调递减,单调区间不可以用并集“∪”连接,故 选 C.] 2.函数 f(x)在 R 上是减函数,则有( A.f(3)<f(5) C.f(3)>f(5)
2

) 【导学号:37102129】

B.f(3)≤f(5) D.f(3)≥f(5) )

C [∵3<5,且 f(x)在 R 上是减函数,∴f(3)>f(5).] 3.如果函数 f(x)=x -2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数,则 b 的取值范围为( A.b=3 C.b≤3
2 2

B.b≥3 D.b≠3

C [函数 f(x)=x -2bx+2 的图象是开口向上,且以直线 x=b 为对称轴的抛物线, 若函数 f(x)=x -2bx+2 在区间[3,+∞)上是增函数,则 b≤3,故选 C.] 4.已知函数 f(x)= (k≠0)在区间(0,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范围是________. 【导学号:37102130】 (-∞,0) [结合反比例函数的单调性可知 k<0.] 5.证明:函数 y=

k x

x 在(-1,+∞)上是增函数. x+1

[证明] 设 x1>x2>-1,则

x1 x2 x1-x2 y1-y2= - = x1+1 x2+1 x1+ x2+ x1-x2 x2+

.

∵x1>x2>-1,∴x1-x2>0,x1+1>0,x2+1>0, ∴

x1+

>0,即 y1-y2>0,y1>y2,

-6-

∴y=

x

x+1

在(-1,+∞)上是增函数.

-7-


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