湖南省怀化市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题

注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上。 2.考生作答时,选择题、填空题、解答题均须做在答题卡上,在本试卷上答题无效。考生在答题卡上按答 题卡中注意事项的要求答题。 3.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并收回。 4.本试题卷共 4 页,如有缺页,考生须声明,否则后果自负。

2013 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷


命题人:王小平 科

学(文科)
审题人:龙泊廷、陈 娟、周 睿、张理

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分. 时量:120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题

共 45 分)

一、选择题:本大题共 9 小题,每小题 5 分,共计 45 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求,请把正确答案的代号填在答题卡上. 1.已知全集 U ? ?1, 2, 3, 4, 5? ,集合 A ? ?1, 3, 4 ? ,集合 B ? ? 2 , 4 ? ,则 ? C U A ? ? B 为 A. ? 2 , 4 , 5 ? A. ? 2
2

B. ?1, 3, 4 ? B. ? 1

C. ?1, 2, 4 ?

D. ? 2, 3, 4, 5?

2.若复数 (1 ? i )( a ? i ) 是实数( i 是虚数单位) ,则实数 a 的值为 C.1 D.2
2 ,则下列判断正

3.已知命题 p : ? x ? R , x ? 2 x ? 3 ? 0 ,命题 q : ? x 0 ? R , sin x 0 ? co s x 0 ? 确的是 A. p 为真命题 B. p ? q 为真命题
?
3

C. p ? q 为假命题

D. q 为假命题

?

4.为了得到函数 y ? s in ( 2 x ?

) 的图象,可由函数

y ? sin 2 x 的图象怎样平移得到

A.向右平移 C.向右平移

?
6

B.向左平移 D.向左平移

?
6

?
3

?
3

5.执行如右图的程序框图,如果输入 a ? 5 ,那么输出 的 n 值为 A.1 C.3 B.2 D.4
??? ? ??? ? ??? ? ?

6.若 P 为 ? A B C 内一点,且 P B ? P C ? 2 P A ? 0 ,在 ? A B C 内随机撒一颗豆子,则此豆子落在 ? P B C 内的概率为 A.
1 4 1 3 1 2 2 3

B.

C.

D.

7.已知 a ? 0, b ? 0 ,若直线 l : a x ? b y ? 1 平分圆 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 的周长,则
2 2

1 a

?

2 b



最小值为 A. 4 2 B. 3 ? 2 2 C. 2 2 D.1 8.已知直线 y ? kx 与曲线 y ? ln x 有公共交点,则 k 的最大值为 A.1 B.
1 e

C.

2 e

D.

2 e

9.定义在 R 上的奇函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 4 ) ? ? f ( x ) ,且在 [0, 2 ] 上单调递增,则 A. f ( ? 2 5) ? f (1 9 ) ? f ( 4 0 ) C. f (1 9 ) ? f ( 4 0 ) ? f ( ? 2 5) B. f ( 4 0 ) ? f (1 9 ) ? f ( ? 2 5) D. f ( ? 2 5) ? f ( 4 0 ) ? f (1 9 )

第Ⅱ卷(非选择题 共 105 分)
二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填在答题卡上的相应横线上. 10.在直角坐标系 x o y 中,直线的参数方程为 ?
? x ? 2t ? 1 ? y ? 2t    

(t 为参数) ;在极坐标系(与直角坐标

系 x o y 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 的正半轴为极轴)中,圆的极坐标方程 为 ? ? 2 co s ? ,则此直线与此圆的位置关系是 11.已知函数 f ( x ) ? ? 则 f ( f (5)) ?
3 2



? 2

x?2

        ? 2) (x

(x ? lo g 2 ( x ? 1)     ? 2 )





12.设 f ( x ) ? a x ? 3 x ? 2 ,若 f ( x ) 在 x ? 1 处的 切线与直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 垂直,则实数 a 的值 为 .

?x ? y ? 1 ? 13.已知变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 , ?x ?1? 0 ?

则 z ? x ? 2 y 的最大值为 体积为 .
2 2



14.右图是某一个几何体的三视图,则该几何体的 15.若 M 为圆 C : x ? y ? 6 x ? 4 y ? 1 2 ? 0 上的动点, 抛物线 E : y ? 4 x 的准线为 l , P 是抛物线 E 上的 点
2

任意一点,记点 P 到 l 的距离为 d ,则 d ? PM 小值为 .

的最

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)

甲乙两班进行一门课程的考试,按照学生考试 成绩的优秀和不优秀统计后得到如右的列联表: (1)据此数据有多大的把握认为学生成绩优秀与 班级有关? (2)用分层抽样的方法在成绩优秀的学生中随机 抽取 5 名学生,问甲、乙两班各应抽取多少人? 甲班 乙班 总计

优秀 15 10 25

不优秀 35 40 75

总计 50 50 100

(3)在(2)中抽取的 5 名学生中随机选取 2 名学生介绍学习经验, 求至少有一人来自乙班的概 率.( k ?
2

n ? ad ? bc ?

2

?a ? b ? ?c ? d ? ?a ? c ? ?b ? d ?
0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323

,其中 n ? a ? b ? c ? d ) 0.10 2.706 0.05 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P (k

2

? k)

0.15 2.072

k

17. (本小题满分 12 分) 已知 ? ? 0 , 向量 m ? 最小正周期为 ? . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)已知 a 、 b 、 c 分别为 ? A B C 内角 A、 B 、 C 所对的边,且 a ?
f ( x ) 在[

??

?

? ?? ? 1 3 sin ? x , c o s ? x , 向量 n ? ? co s ? x , ? co s ? x ? , f ( x ) ? m ? n ? 的 且 2

?

1 9 , c ? 3 ,又 cos A 恰是

?
12

,

2? 3

] 上的最小值,求 b 及 ? A B C 的面积.

P

18. (本小题满分 12 分) 如图,边长为 4 的正方形 A B C D 与正三角形 A D P 所 在的平面相互垂直,且 M 、 N 分别为 P B 、 A D 中点. (1)求证: M N / / 面 P C D ; (2)求直线 P C 与平面 P N B 所成角的正弦值.
A B N M D C

19. (本小题满分 13 分) 设等差数列 ? a n ? 的前 n 项的和为 S n ,且 a 1 0 ? 8, S 3 ? 0 . (1)求 { a n } 的通项公式;

(2)令 b n ? ( ) ,求 { b n } 的前 n 项和 T n ;
an

1

2

(3)若不等式

k 4 ? Tn

? 2 a n ? 3 对于 n ? N 恒成立,求实数 k 的取值范围.
*

20. (本小题满分 13 分) 双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 与椭圆

x

2

?

y

2

9

5

? 1 有相同的焦点 F1 , F 2 ,且该双曲线的渐近

线方程为 y ? ? 3 x . (1)求双曲线的标准方程; (2) 过该双曲线的右焦点 F 2 作斜率不为零的直线与此双曲线的左, 右两支分别交于点 M 、N , 设 M F 2 ? ? F 2 N ,当 x 轴上的点 G 满足 F1 F 2 ? ( G M ? ? G N ) 时,求点 G 的坐标.
????? ???? ? ????? ???? ? ????

21. (本小题满分 13 分) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ? x ? a x ? ln x .
2

(1)若 f ( x ) 是单调函数,求实数 a 的取值范围; (2)若 f ( x ) 有两个极值点 x1 、 x 2 ,证明: f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 3 ? 2 ln 2 .

2013 年怀化市高三第一次模拟考试统一检测试卷

高三数学(文科)参考答案与评分标准
一、选择题( 5 ? 9 ? 45 )
/ /

题号 答案
/

1 A

2 C
/

3 D

4 A

5 C

6 C

7 B

8 B

9 D

二、填空题( 5 ? 6 ? 30 )
3 3

10.相离; 三、解答题:

11.1;

12. ? 1 ;

13.3;

14. ? ?



15. 2 5 ? 1 .

2 16 解: (1)由题知 K 的观测值 k ?

1 0 0 ? (1 5 ? 4 0 ? 3 5 ? 1 0 ) 50 ? 50 ? 25 ? 75

2

? 1 .3 3 ? 1 .3 2 3 ,

所以至少有 7 5 %的把握认为学生成绩优秀与班级有关…………4 分 (2)成绩优秀的学生共有 25 人,抽取的比例为
1 1 5 25 5 5 ? 1 5



所以甲班应抽取 ? 1 5 =3 人,乙班应抽取 ? 1 0 =2 人………… 6 分 (3)设至少有一人来自乙班的事情为 A ,记甲班的 3 人分别为 a 1 , a 2 , a 3 ;乙班的 2 人 分别为 b1 , b 2 ,则所有基本事件: ( a 1 , a 2 ), ( a 1 , a 3 ), ( a 1 , b1 ), ( a 1 , b 2 ), ( a 2 , a 3 ),
( a 2 , b1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 3 , b 1 ), ( a 3 , b 2 ), ( b1 , b 2 ) ,共有 10 种.

事情 A 包含的基本事件有 ( a1 , b1 ), ( a1 , b 2 ), ( a 2 , b1 ), ( a 2 , b 2 ), ( a 3 , b1 ), ( a 3 , b 2 ), ( b1, b 2 ) ,共 7 种.所 以由古典概型得 p ( A ) ? 17 解: (1) f ( x ) ?
7 10 3 sin ? x c o s ? x ? c o s ? x ?
2

…………12 分
1 2

…………2 分

= s in ( 2 ? x ?
由T ? 2? 2?

?
6

) …………4 分

? ? , 知 ? ? 1 .? f ( x ) ? s in ( 2 x ? 2? 3 1 2 ,? 0 ? 2 x ?

?
6

) …………6 分

(2)?

?
12

? x ?

?
6

?

7? 6

,当 x ?
2? 3

2? 3

时 f ( x ) m in ? ?

1 2

,

则 cos A ? ?

, 又 A ? (0 , ? ), ? A ?

…………8 分

由余弦定理得: 1 9 ? 9 ? b ? 6 b c o s
2

2? 3

解得 b ? 2 …………10 分
3 3 2

? ? A B C 的面积为 S ?

1 2

? 2? 3?

3 2

?

………… 12 分

18 解: (1)取 P C 的 中 点 G , 连 M G 、 D G ,在 ? P B C 中,
? M 、 G 分 别 为 P B, P C的 中 点 ,
P G

? M G ∥ BC 且 M G ?

1 2

B C ,又 N D ?

1 2

AD ,
M D N H C

// ? M G ? D N ,故四边形 D N M G 为平行四边形,
? M N ∥ D G ,又 D G ? 面 P D C , M N ? 面 P D C , ? M N ∥ 面 P D C ………… 6 分
A

B

(2) 连接 B N 、 N C 、 P N ,因为面 A D P ? 面 A B C D ,且 P N ? A D ,所以 P N ? 面 A B C D ,又 P N ? 面 P N B ,所以面 P N B ? 面 A B C D . 过点 C 作 C H ? B N , 垂足为 H ,连 P H ,? C H ? 面 P N B , 故 ? C P H 为 直 线 P C 与 平 面 P N B 所成的角…………8 分 在正方形 ABCD 中,易知 ? A B N ? ? B C H ? ? ( 令 ),
? C H ? B C cos ? ? 4 ? 2 5 ? 8 5

…………10 分

在 R t ? P N C 中 , P N ? 2 3, N C = 2 5 ? P C ? 4 2 , ?
CH PC 8 4 2? 5 10 5

在 R t ? C H P 中, s in ? C P H ?
? a 1 ? 9 d ? 8,

?

?

…………12 分

19 解: (1)? ?

? a1 ? ? 1 ?? , a n ? n ? 2 …………4 分 ? d ?1 ? 3 a1 ? 3 d ? 0 ,
1
n?2

(2)? b n ? ( )
2

1 n ?1 1 ? 2 ( ) ,? ? b n ? 是 首 项 为 b1 ? 2 , 公 比 为 的等比数列, 2 2

1 n? ? 2 1? ( ) ? 1 n? 1 n?2 2 ? ? ? ? …………7 分 故 Tn ? ? 4 1? ( ) ? 4 ? ( ) ? ? 1 2 ? 2 ? 1? 2

(3)由

k 4 ? Tn

?

k ?2 4

n

? 2 n ? 7 对 n ? N 恒 成 立 ,?
*

k 4

?

2n ? 7 2
n

对n? N 恒成立 .
*

令Cn ?

2n ? 7 2
n

,由 C n ? 1 ? C n ?

2n ? 5 2
n ?1

?

2n ? 7 2
n

?

9 ? 2n 2
n ?1



当 1 ? n ? 5时 C n ? 1 ? C n , 当 n ? 5时 C n ? 1 ? C n …………10 分
? ?C n ? 中 的 最 大 项 为 C 5 ? 3 32

,?

k 4

?

3 32
2

,故 k ?
2

3 8
2

…………13 分
2

20 解: (1) 由题可知:

b a

?

3 , c ? 2 , c ? a ? b ,解得 a ? 1 , b ? 3 ,
2
2

所求双曲线方程为 x ?
2

y

? 1 …………5 分

3

(2)设过点 F 2 的直线方程为: x ? ky ? 2 ,
? 2 y ?1 ?x ? 联立方程组 ? 3 ? x ? ky ? 2 ?
2

,消去 x 得: (3 k ? 1) y ? 1 2 ky ? 9 ? 0 ,
2 2

?12k ? y ? y2 ? 2 ? 1 ? 3k ? 1 设 M ( x1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ) ,则 ? 9 ? y y ? 1 2 2 ? 3k ? 1 ?

①…………7 分

由 M F 2 ? ? F 2 N 得: ? ? ?
?????

?????

???? ?

y1 y2

,②
????? ???? ? ????

设 G ( t , 0 ) ,由 F1 F 2 ? ( 4 , 0 ) , 及 F1 F 2 ? ( G M ? ? G N ) 得:
( x1 ? t ? ? x 2 ? ? t , y 1 ? ? y 2 ) ? ( 4, 0 ) ? 0 ,即 x1 ? t ? ? x 2 ? ? t ? 0 ,③…………10 分
y1 y2 y1 y2

由②,③得 k y 1 ? 2 ? t ?

(ky2 ? 2) ?

t ? 0 ,

即 2 ky1 y 2 ? ( 2 ? t )( y 1 ? y 2 ) ? 0 ,④ 由①,④得: k ( 2 t ? 1) ? 0 , 又 k ? 0 , 故 t ?
1 1 , 即 G ( ,) …………13 分 0 2 2

(2)解法二:设过点 F 2 的直线方程为: y ? k ( x ? 2 ) ,与双曲线方程联立,消去 y 得
(3 ? k ) x ? 4 k x ? 4 k ? 3 ? 0 ,由题知: 3 ? k
2 2 2 2
2

? 0 且 ? >0,

? 4k ? x1 ? x 2 ? 2 ? k ?3 ( 设 M x1 , y 1 ) , N ( x 2 , y 2 ) ,则 ? ……………… 2 ? x x ? 4k ? 3 2 ? 1 2 k ?3 ?
2

7分

由 M F 2 ? ? F 2 N 得: ? ?
?????

?????

???? ?

2 ? x1 x2 ? 2

设 G ( t , 0 ) ,由 F1 F 2 ? ( 4 , 0 ) 及 F1 F 2 ? ( G M ? ? G N ) 得:
( x1 ? t ? ? x 2 ? ? t , y 1 ? ? y 2 ) ? ( 4, 0 ) ? 0
? 2 x1 x 2 ? ( t ? 2 ) (x ? 1

?????

???? ?

????

即 x1 ? t ? ? x 2 ? ? t ? 0 …… 10 分
1 2

x ) ? 2
1 x

4 ? ,代入上述条件得: t ? t 0
2ax ? x ? 1
2

,即 G ( , 0 ) .……13 分
2

1

21 解: (1) f ? ( x ) ? 1 ? 2 a x ?

? ?

( x ? 0 ) …………2 分

x
2

记 ? ( x ) ? 2 a x ? x ? 1( x ? 0 ) ,则关于 x 的方程 2 a x ? x ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 1 ? 8 a
2

当a ?

1 8

时 ? ? 0, ? x ) ? 0 , 故 f ? ( x ) ? 0 ,? 函数 f ( x ) 在 (0, ? ? ) 上单调递减……… 4 分 (

当0 ? a ?

1 8

时 , ? ? 0 , 方 程 f ? ( x ) ? 0 有 两 个 不 相 等 的 正 根 x1 , x 2 , 不 妨 设 x1 ? x 2 ,

则 当 x ? (0, x1 ) 及 x ? ( x 2 , ? ? ) 时 f ? ( x ) ? 0 , 当 x ? ( x1 , x 2 )时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 不 是 单 调 函 数 , ,
?1 ? , ? ? …………6 分 + ?8 ? ?

综上 ,a 的 取 值 范 围 为

( 2) 由 ( 1) 知 当 且 仅 当 a ? (0,

1 8

)时 f ( x ) 有 极 小 值 x1 和 极 大 值 x 2 , 且 x1 , x 2 是方程

2a x ?
2

x? 1 ? 0 的两正根,则 x1 ? x 2 ?

1 2a
2

, x1 x 2 ?

1 2a



? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ( x1 ? x 2 ) ? a ? ? x1 ? x 2 ? ? 2 x1 x 2 ? ? (ln x1 ? ln x 2 ) ? ?
1 4a 1 4a 1 4a ? ln 2 ? 1 , 当 a ? ( 0 ,
1 8

? ln ? 2 a ? ?

? 1 ? ln a ?

? ln 2 ? 1(0 ? a ?

1 8

) ………… 9 分

令 g ( a ) ? ln a ?

)时 , g ?( a ) ?

4a ? 1 4a
2

? 0

1 1 ? g ( a ) 在 ( 0, ) 内 单 调 递 减 , 故 g ( a ) ? g ( ) ? 3 ? 2 ln 2 …………13 分 8 8


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