[教案精品]新课标高中数学人教A版必修一全册教案1.3.1函数的单调性


1.3.1 函数的单调性
(一)教学目标 1.知识与技能 (1)理解函数单调性的定义、明确增函数、减函数的图象特征. (2)能利用函数图象划分函数的单调区间,并能利用定义进行证明. 2.过程与方法 由一元一次函数、一元二次函数的图象,让学生从图象获得“上升” “下降”的整体认 识. 利用函数对应的表格,用自然语言描述图象特征“上升” “下降”最后运用数学符号将 自然语言的描述提升到形式化的定义,从而构造函数单调性的概念. 3.情感、态度与价格观 在形与数的结合中感知数学的内在美,在图形语言、自然语言、数学语言的转化中感知 数学的严谨美. (二)教学重点和难点 重点:理解增函数、减函数的概念;难点:单调性概念的形成与应用. (三)教学方法 讨论式教学法. 在老师的引导下,学生在回顾旧知,细心观察、认真分析、严谨论证的 学习过程中生疑与析疑,合作与交流,归纳与总结的过程中获得新知,从而形成概念,掌握 方法. (四)教学过程 教学 环节 教学内容 观察一次函数 f (x) = x 的图象: y 师生互动 设计意图

提出 问题

师:引导学生观察图象的升降. 生:看图. 并说出自己对图象 1 的直观认识. O 1 x 师:函数值是由自变量的增大而增 大,或由自变量的增大而减小,这种 函数 f (x) = x 的图象特征由左到右 变化规律即函数的单调性. 是上升的. 观察二次函数 f (x) = x2 的图象: y

在 函 数图象的 观察中获 取函数单 调性的直 观认识.

师:不同函数,其图象上升、下降规 律不同. 且同一函数在不同区间上 的变化规律也不同. 这是“形”的方 面,从“数”的方面如何反映. 生:函数作图时列表描点过程中,从 O x 列表的数据变化可知自变量由 – 4 引入深 到 0 变化,函数值随着变小;而自变 2 题 函数 f (x) = x 在 y 轴左侧是下降的,量由 0 到 4 变化, 函数值随着自变量 在 y 轴右侧是上升的. 的变大而变大. 列表: 师:表格数值变化的一般规随是:自 变量 x 增大,函数值 y 也增大,函数 x … – 4 –3 –2 –1 0 图象上升,称函数为增函数;自变量 f (x) =x2 16 9 4 1 0 x 增大,函数值 y 反而减少,函数图 象下降. 称函数为减函数.

体 会 同一函数 在不同区 间上的变 化差异. 引导学 生从“形 变” 过渡到 “数变”. 从定性分 析到定量 分析.

1 1

2 4

3 9

4 16

… …

x∈(–∞,0]时,x 增大,f (x)减少, 图象下降. x∈(0,+∞)时,x 增大,f (x)也增大, 图象上升. 函数单调性的概念 一般地,设函数 f (x)的定义域为 I: 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上 的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f (x1)<f (x2),那么就说函数 f (x) 在 区 间 D 上 是 增 函 数 ( increasing function) ; y 师:增函数、减函数的函数值随自变 量的变化而变化怎么用数学符号表 f (x2) f (x1) 示呢? 师生合作: x1 O x2 x 形成概 对于函数 f (x) = x2 在区间(0,+ 念 x 则 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的 ∞)上. 任取 x1、2. 若 x1<x2, f (x1) 2 2 x 当 任意两个自变量的值 x1、 2, x1<x2 时,<f (x2),即 x1 <x2 . 2 都有 f (x1)>f (x2), 那么就说函数 f (x)在区 师:称 f (x) = x 在(0,+∞)上为增函 间 D 上是减函数(decreasing function). 数. y=f (x) y y=f (x) f (x1) f (x ) 2 x1 x2 x

由实例探 究规律从 而获得定 义的数学 符号表示.

O

师: 投影例1. 掌 握 生:合作交流完成例 1. 利用图象 师: 引导学生完成教材 P36 练习的第 划 分 函 数 1 题、第 2 题. 单调区间 师:投影训练题 1 的方法. 生:学生通过合作交流自主完 掌 握 单 调 应用 成. 性证明步 举例 例1 【解】 y= f (x)的单调区间有 骤及原理. : [–5,–2) ,[–2,1) ,[1,3) ,[3,5]. 内化定义, 其中 y = f (x) 在区间[–5, , 3)强 化 划 分 –2) [1, 训练题 1: 上是减函数,在区间[–2,1) ,[3,5] 单 调 区 间 (1)请根据下图描述某装配线的生 上是增函数. 的方法. 产率与生产线上工人数量间的关系. 训练题 1 答案: (1)在一定范

例 1 如图是定义在区间[–5,5]上的 函数 y = f (x),根据图象说出函数的单调 区间,以及在每一单调区间上,它是增函 数还是减函数?

围内, 生产效率随着工人数的增加而 提高,当工人数达到某个数量时,生 产效率达到最大值, 而超过这个数量 时, 生产效率又随着工人的增加而降 低. 由此可见,并非是工人越多,生 产效率就越高. (2)整个上午(8∶00~12∶00)天 (2) 气越来越暖, 中午时分 (12∶00~13∶00) 一场暴风雨使天气骤然凉爽了许多. 暴 风雨过后, 天气转暖, 直到太阳落山 (18∶ 00)才又开始转凉. 画出这一天 8∶00~ 增区间为[8,12],[13,18];减 20∶00 期间气温作为时间函数的一个可 区间为:[12,13],[18,20]. 能的图象,并说出所画函数的单调区间. (3) 函数在[–1, 0]上是减函数, 在[0,2]上是增函数,在[2,4]上是 (3)根据下图说出函数单调区间, 减函数,在[4,5]是增函数. 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还 师:打出例 2,请学生阐明应用 是减函数. 定义证明(判定)并总结证明单调性 的基本步骤. 生:学生代表板书证明过程,教师点 评. 例 2 分析:按题意,只要证明 例 2
p=

物理学中的玻意耳定律

函数 p =

k 在区间(0,+∞)上是减 V

函数即可. k (k 为正常数) 告诉我们,对于一定 V 证明:根据单调性的定义,设

量的气体,当其体积 V 减小时,压强 p 将 V1,V2 是定义域(0,+∞)上的任意 强化记题 增大. 试用函数的单调性证明之. 两个实数,且 V1<V2,即 V ?V 步 骤 与 格 k k 训练题 2: 证明函数 f (x) = –2x +1 在 p(V1 ) ? p (V2 ) = ? = k 2 1 . V1 V2 V1V2 式. R 上是减函数. 由 V1,V2∈(0,+∞),得 V1V2 >0. 由 V1<V2,得 V2 – V1>0. 又 k>0,于是 p (V1) – p (V2)>0, 即 p (V1) >p (V2). 所以, 函数 p =
k , ?(0, V +∞) V

是减函数,也就是说,当体积 V 减 小时,压强 p 将增大. 师:投影训练题 2 生:自主完成 训练题 2 证明: 任取 x1,2∈R, x 且 x1<x2,

因为 f (x1) – f (x2) =2 (x2 –x1)>0, 即 f (x1)>f (x2), 所以 f (x) = –2x +1 在 R 上是减函数. 1°体会函数单调性概念的形成过 归纳 小结 程. 2°单调性定义. 3°利用图象划分单调区间. 4°利用定义证明单调性步骤. 1.3 第一课时 习案 反思回顾 师生合作: 回顾单调性概念的形式与 整理知 发展. 识, 提升能 师:阐述单调性的意义与作用. 力. 学生独立完成 巩固知识 培养能力

课后 练习

备选例题:
例 1 证明函数 f (x) =3x +2 在 R 上是增函数. 【证明】设任意 x1、x2?R,且 x1<x2, 则 f (x1) – f (x2) = (3x1 +2) – (3x2 +2) = 3(x1–x2). 由 x1<x2 得 x1 –x2<0. ∴f (x1) – f (x2)<0,即 f (x1)<f (x2). ∴f (x) =3x +2 在 R 上是增函数. 例 2 证明函数 f (x) =
1 在(0,+∞)上是减函数. x

【证明】设任意 x1、x2?(0,+ ∞)且 x1<x2, 则 f (x1) – f (x2) =
1 1 x2 ? x1 ? = , x1 x2 x1 x2

由 x1,x2?(0,+∞)得,x1x2>0,又 x1<x2,得 x2 – x1>0, ∴f (x1) – f (x2) >0,即 f (x1)<f (x2). ∴f (x) =
1 在(0,+∞)上是减函数. x


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