高三数学模拟试题(文科)及答案


高三数学模拟试题(文科)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知 f ( x) ? x 2 ? 2x ,且 A ? x f ( x) ? 0 , B ? x f ?( x) ? 0 ,则 A ? B 为( A. ? C. x 1 ? x ? 2

?

?

?

?
B. a ? b

? ? D. ?x x ? 2?
B. x 0 ? x ? 1 C.

?

?



2.若 a ? b ? 0 ,则下列不等式中不能成立 的是 .... A. a ? b
2 2





3.已知 ? 是平面, a , b 是两条不重合的直线,下列说法正确的是 ( A. “若 a // b, a ? ? , 则b ? ? ”是随机事件 B. “若 a // b, a ? ? , 则b // ? ”是必然事件 C. “若 ? ? ? ,? ? ? , 则? ? ? ”是必然事件 D. “若 a ?? , a ? b ? P, 则b ? ? ”是不可能事件 4.若 x0 是方程 ( ) ? x 的解,则 x0 属于区间(
x

1 1 ? a?b a

D.

1 1 ? a b


1 2



A. (

2 ,1) 3

B. (

1 2 , ) 2 3

C. (

1 1 , ) 3 2

D. (0,

1 ) 3


5.一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位:m) ,则该几何体的体积为( A.

9 3 m 4

B.

7 3 m 3

C.

6.若 i 为虚数单位,已知 a ? bi ?

2?i (a, b ? R) ,则点 ( a, b) 与圆 x 2 ? y 2 ? 2 的关系为 1? i

7 3 m 2

D.

9 3 m 2

A.在圆外 B.在圆上 C.在圆内 7 . 在 ?ABC 中 , 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 长 分 别 为

a

( ) D.不能确定 、 b 、 c ,设命题 p:

a b c ? ? ,命题 q: ?ABC 是等边三角形,那么命题 p 是命题 q 的 sin B sin C sin A
( 8.已知函数 y ? ax ? bx ? 1 在 ?0,???单调,则 y ? ax ? b 的图象不可能 是( ...
2



A.充分不必要条件 C.充要条件

B.必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件



A. B. C. D. 9.如图是网络工作者用来解释网络运作的蛇形模型:数字 1 出现在第 一行;数字 2,3 出现在第二行;数字 6,5,4(从左到右)出现在第三 行;数字 7,8,9,10 出现在第四行,依此类推 2011 出现在( ) A.第 63 行,从左到右第 5 个数 B.第 63 行,从左到右第 6 个数 C.第 63 行,从左到右第 57 个数 D.第 63 行,从左到右第 58 个数 10. 过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 引它到渐进线 a 2 b2 的垂线,垂足为 M ,延长 FM 交 y 轴于 E ,若 FM ? 2ME ,
则该双曲线离心率为 A. ( )

3 2

B.

6 2

C



3

D.3 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 11.右图是 2010 年广州亚运会跳水比赛中,八位评委为某运动员 打出的分数的茎叶图,去掉一个最高分和一个最低分后,这位 运动员的平均得分为

?log2 x ? 2, x ? 0 ,则 f (?5) ? ?2 f ( x ? 3), x ? 0 13.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 n 的值为
12.已知函数 f ( x) ? ? 14.甲、乙、丙、三个人按任意次序站成一排,则甲站中间的概率 为 15.从原点 O 向圆 x ? y ? 4 y ? 3 ? 0 作两条切线,切点为 A, B ,
2 2

则 OA ? OB 的值为

?x ? y ? 2 ? 0 ? 16. 若不等式组 ? x ? 5 y ? 10 ? 0 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 2 分为面积相等的两部 ?x ? y ? 8 ? 0 ? 分,则 k 的值为 2 17.设函数 f ( x) ? x ? ax ? a ? 3, g ( x) ? ax ? 2a ,若不存在 ...x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 0 与

g ( x0 ) ? 0 同时成立,则实数 a 的取值范围是
三、解答题:本大题共 5 个小题,共 72 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x ,且 g ( x) ? f ( x) ? ? f ?( x) ? 7 sin x ?

? ?? 时,函数 g ( x) 的值域; ? 2? ? (2)已知 ? A 是 ?ABC 的最大内角,且 g ( A) ? 12 ,求 ? A
(1)当 x ? ?0,

19. (本题满分 14 分) 如图,在直角 ?ABC 中, ?C ? 90? , AB ? 2BC , E、F 为线段 AC、AB 上 的点, EF // BC ,将 ?AEF 沿直线 EF 翻折成 ?A?EF ,使平面 A?EF ? 平面 BCE ,且

A?B ? 2 A?T , FT // 平面 ?A?EC (1)问 E 点在什么位置? (2)求直线 FC 与平面 A?BC 所成角的正弦值。

20. (本题满分 14 分) 已知数列 ?an ?满足: (1)求 a2011 (2)若 bn ? an an?1 , Sn 为数列 ?bn ?的前 n 项和,存在正整数 n ,使得 S n ? ? ? 实数 ? 的取值范围。

1 1 1 1 ? ? ??? ? n 2 (n ? 1, n ? N * ) , a1 a2 a3 an
1 ,求 2

21. (本题满分 15 分) 如图,在由圆 O: x 2 ? y 2 ? 1 和椭圆 C: 构中, 已知椭圆的离心率为 B. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 OA ? OB ? 存在,请说明理由.
2 1 OM ,若存在,求此时直线 l 的方程;若不 2

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 构成的“眼形”结 a2

6 , 直线 l 与圆 O 相切于点 M, 与椭圆 C 相交于两点 A, 3

22. (本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? ax | x ? a | ,x ?[0, 2] (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值; (2)当函数 f(x)的最大值为 0 时,求实数 a 的取值范围。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 sin x ? cos x , 且 g ( x) ? f ( x) ? ? f ?( x) ? 7 s i n x?

? ?? 时,函数 g ( x) 的值域; ? 2? ? (2)已知 ? A 是 ?ABC 的最大内角,且 g ( A) ? 12 ,求 ? A
(1)当 x ? ?0,

19. (本题满分 14 分) 如图,在直角 ?ABC 中, ?C ? 90? , AB ? 2BC , E、F 为线段

AC、AB 上的点, EF // BC ,将 ?AEF 沿直线 EF 翻折成 ?A?EF ,使平面 A?EF ? 平 面 BCE ,且 A?B ? 2 A?T , FT // 平面 ?A?EC (1)问 E 点在什么位置? (2)求直线 FC 与平面 A?BC 所成角的正弦值。 解:取 A?C 的中点记为 S ,连接 ES 、 TS , 易得 EF // ST ,

由平面 EFTS ? 平面 ?A?EC ? ES , FT // 平面 ?A?EC ,得 FT // ES , 四边形 EFTS 为平行四边形,得 EF ? ST ,而 ST ? 所以 E 为 AC 中点。????7 分

1 BC , 2

21. (本题满分 15 分)如图,在由圆 O: x ? y ? 1 和椭圆 C:
2 2

x2 ? y 2 ? 1 (a ? 1) 构 2 a

成的“眼形”结构中,已知椭圆的离心率为 C 相交于两点 A, B. (1)求椭圆 C 的方程; (2)是否存在直线 l ,使得 OA ? OB ?
2

6 ,直线 l 与圆 O 相切于点 M,与椭圆 3

2 1 OM ,若存 2

在,求此时直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 解: (1)解得: a ? 3 ,所以所求椭圆 C 的方程为

x2 ? y2 ? 1 3

????5 分
2 1 OM 2

(2)假设存在直线 l ,使得 OA ? OB ?

易得当直线 l 垂直于 x 轴时,不符合题意,故设直线 l 方程为 y ? kx ? b , 由直线 l 与圆 O 相切,可得 b ? k ? 1 ??(1)
2 2

????7 分

22. (本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x3 ? ax | x ? a | ,x ?[0, 2] (1)当 a=-1 时,求函数 f(x)的最大值; (2)当函数 f(x)的最大值为 0 时,求实数 a 的取值范围。 解: (1)当 a=-1 时, f ( x) ? x ? x | x ?1| ,x ?[0, 2]
3

1 2 2 ? 0, 3 3 当 1<x<2 时, f ( x) ? x3 ? x2 ? x, f ?( x) ? 3x 2 ? 2x ? 1 ? (3x ? 1)(x ? 1) ? 0
3 2 f ?( x) ? 3x ? 2x ? 1 ? 3( x ? ) ? 当 0<x<1 时, f ( x) ? x ? x ? x,
2

又函数 f(x)是连续函数,所以 f(x)在[0,2]上是增函数,????4 分 ∴函数 f(x)的最大值 f(x)max= f(2)=10 ????6 分 (2)1°当 a≤0 时,f(0)=0,当 0<x≤2 时 f(x)>0,此时不符合题设,???? 8分 2°当 a>0 时, f ( x) ? x ? ax ? a x, f ?( x) ? 3x ? 2ax ? a ? (3x ? a)( x ? a), ∵0≤x≤2 ∴3x+a>0 (i)当 a≥2 时, f ?( x) ? 0 ,故 f(x)在[0,2]上是减函数, ∴此时 f(x)max= f(0)=0,符合题设 ????11 分 (ii)当 0<a<2 时, f ?( x) ? 0 ? a ? x ? 2,f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? a, 故 f(x)在[0,a]上是减函数,在在[a,2]上是增函数 ∴此时 f(x)max=max{f(0) ,f(2)}=0,
3 2 2 2 2

a ? 2a ? 4 ? 0, 8 ? 2a(a ? 2) ? 0, 又 f(0)=0,∴f(2)≤0,即 8 ? 2a | a ? 2 |? 0,
2

解之得 a ? ?1 ? 5或a ? 5 ?1


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