河南省新乡市第一中学2015-2016学年高二下学期第二次周练数学(文科普通班)试题Word版含答案
新乡市一中高二数学周周考二（文科普）
命题人：宋卫红
审题人 ：洪桥
一、选择题(每题 5 分）
1． i 是虚数单位，复数 5 ? 2i ? （ ） 2 ? 5i
A． ?i
B． i
C． ? 21 ? 20 i 29 29
D． ? 4 ? 10 i 21 21
2．若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点（0，b）处的切线方程是 x ? y ?1 ? 0 ，则（ ）
A． a ? 1,b ? 1 B． a ? ?1,b ? 1
C． a ? 1,b ? ?1 D． a ? ?1,b ? ?1
3．若函数 f ? x?＝x2＋2x＋a ln x 在（0，1）上单调递减，则实数 a 的取值范围是（ ）
A． a ? 0
B． a ? 0 C． a ? ?4 D． a ? ?4
4．已知点
P
在曲线
y
?
4 上，? ex ?1
为曲线在点
P
处的切线的倾斜角，则 ?
的取值范围是
A．∪∪
C．∪∪∪上的最大值是( )
A.1＋ 1 e
B.1
C.e＋1
D.e－1
11． f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x ? 0 时 f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ? 0 且
f (?2) ? 0,则不等式f (x)g(x) ? 0 的解集为（ ）
A．（－2，0）∪（2，+∞）
B．（－2，0）∪（0，2）
C．（－∞，－2）∪（2，+∞）
D．（－∞，－2）∪（0，2）
12．定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ?4?＝1， f ?? x? 为 f (x) 的导函数，已知函数 y＝f ?? x? 的
图象如图所示．若两正数 a，b 满足 f (2a＋b) ? 1，则 b ? 2 的取值范围是（ ） a?2
A．
? ??
1 3
,
1 2
? ??
B．
? ??
??,
1 2
? ??
(3,+?)
C．
? ??
1 2
,
3
? ??
D． (??, ?3)
二、填空题
13．过坐标原点与曲线 y ? ln x 相切的直线方程为
.
14．观察下列各式： a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a4 ? b4 ? 7, 是 a5 ? b5 ? 11...... 则
a10 ? b10 ? _____________;
15．若曲线 y ? x 在点 P(a，a ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 ，则实数 a 的
值是_______．
16．已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? a ? 3i(a ? R), z1 ? z2 是 实数，则 z1 ? z2 =___________.
二、填空： 13. ___________ 三、解答题
答题卷 14._______________ 15.____________ 16._______________
17．已知函数 f (x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 1 处取得极值 c ? 4 .
(1)求 a, b ; (2)设函数 y ? f (x) 为 R 上的奇函数,求函数 f (x) 在区间 (?2, 0) 上的极值.
18．设函数 f ? x? ? a x3 ? bx2 ? cx ? d ?a ? 0? ，且方程 f ?? x? ?9x ? 0 的两个根分别为 1,4．
3
（1）当 a ? 3且曲 线 y ? f ? x? 过原点时，求 f ? x? 的解析式； （2）若 f ? x? 在 ???, ??? 内无极值点， 求 a 的取值范围．
19．某学校为调查高三年学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取 80 名学生，得到男生身高 情况的频率分布直方图（图（1）和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））．已知图（1） 中身高在 170~175cm 的男生人数有 16 人。
（I）试问在抽取的学生中，男、女生各有多少人？ （II）根据频率分布直方图，完成下列的 2×2 列联表，并判断能有多大（百分几）的把 握认为“身高与性别有关”？
（Ⅲ）在上述 80 名学生中，从身高在 170~175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法， 抽出 5 人，从这 5 人中选派 3 人当旗手，求 3 人中恰好有一名女生的概率。
参考公式：
20．已知函数 f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）． （1）当时 a=﹣4 时，求 f（x）的最小值； （2）若函数 f（x）在区间（0，1）上为单调函数，求实数 a 的取值范围．
21．已知函数 f (x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值.
22．某城市理论预测 2000 年到 2004 年人口总数与年份的关系所示
年份 200x（年） 0
1
2
3
4
人口数 y （十万） 5
7
8
11 19
（Ⅰ）请画出上表数据的散点图； （Ⅱ）请根据上表提供的数据，用最小二乘 法求出 y 关于 x 的线性回归方程； （Ⅲ）据此估计 2005 年该城市人口总数。
参考数值：0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132， 02 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 30 ，
n
? xi yi ? nx y
? 参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式
b? ?
i ?1 n
xi2
?
2
nx
，a? ? y ? b?x
i ?1
参考答案
1．A
【解析】
试题分析： 5 ? 2i ? (5 ? 2i)(2 ? 5i) ? 10 ? 25i ? 4i ?10i2 ? ?i ，故选 A．
2 ? 5i (2 ? 5i)(2 ? 5i)
29
另解： 5 ? 2i ? ?5i2 ? 2i ? ?i(2 ? 5i) ? ?i ．
2 ? 5i 2 ? 5i
2 ? 5i
考点：复数的运算．
2．A 【解析】
试题分析： y ? x2 ? ax ? b,? y ' ? 2x ? a ．由题意可知点 ?0,b? 即为切点，由切线方程可知
切线的斜率 k ?1，由导数的几何意义可知 y ' x?0 ? 2?0 ? a ?1．解得 a ?1，将点 ?0,b? 代入
切线方程是 x ? y ?1 ? 0 可得 b ?1．故 A 正确．
考点：导数的几何意义． 3 ．D 【解析】
试 题 分 析 ： 因 为 函 数 f (x) 在 （ 0 ， 1 ） 上 单 调 递 减 ， 所 以 当 x ∈ （ 0 ， 1 ） 时 ，
f (x) ? 2x ? 2 ? a ? 2x2 ? 2x ? a ? 0 ，所以 g ? x?＝2x2 ? 2x ? a ? 0在 x ??0,1?时恒成立，
x
x
所以 g ?0? ? 0， g ?1? ? 0 ，即 a ? ?4 ，，故选 D．
考点：利用导数研究函数的单调性． 4．D 【解析】
试题分析：
y
'
?
?
4ex (ex ?1)2
，又 (ex
? 1)2
? 4ex
? (ex
?1)2
? 0 （当 ex
? 1 时取等号），所以
(ex
? 1) 2
? 4ex
? 0 ，0
?
4ex (ex ?1)2
? 1，所以 ?1 ?
y ' ? 0 ，即 ?1?ant
?0?
，所以 3? ? ? ? ? ， 4
故选 D．
考点：导数的几何意义，直角的倾斜角．
【名师点睛】1．导数的几何意义，函数在某点处的导数就是函数的图象在该点处切线的斜率．
2．直线的斜率 k 与倾斜角 α 的关系： (1)所有的直线都有倾斜角,当直线与 x 轴垂直,即倾斜
角为时,斜率不存在;(2)直线倾斜角的范围为[0,π ),因为正切函数在[0,π )上不单调,所以 在研究斜率与倾斜角的关系时,可结合正切函数在上的图象,对其在上的变化情况分别讨论．
5．B
【解析】
试题分析：设 F (x) ? f (x) ? 2x ? 4 ，则 F?(x) ? f ?(x) ? 2 ，因为 f ?(x) ? 2 恒成立，所以
F?(x) ? f ?(x) ? 2 ? 0 ， 即 函 数 F (x) 在 R 上 单 调 递 增 ． 因 为 f (?1) ? 2 ， 所 以
F (?1) ? f (?1) ? 2(?1)? 4
? 2 ? 2 ? 4 ? 0 ．所以有 F (x) ? f (x) ? 2x ? 4 ? 0 ，即 F (x) ? f (x) ? 2x ? 4 ? F (?1) ．所以
x ? ?1 ，即不等式的解集是 (?1，? ?) ，故选 B．
考点：1、导数的应用；2、函数的单调性．
【方法点晴】因为函数 f (x) 的解析式未知，所以要利用函数的单调性来解，首先构造出新的
函数 F(x) ，再由已知条件分析出函数 F? x? 的单调性，利用已知条件 找出特殊函数值 F (?1) ? 0 ，最后利用函数 F? x? 的单调性得出关于 x 的不等式，解不等式即可得解集．
6．B 【解析】
试题分析：因为 f ? x? ? x? x ? 2?ex ，易知，当 x ?(??, 0) (2, ??) 时，f (x) ? 0 ，当 x ?02(,)
? ? 时， f (x) ? 0，排除 A、C；又 f ?? x? ? ?2x ? 2?ex ? x2 ? 2x ex ? ex (x ? 2)(x ? 2) ，易
知当 x ? (??, ? 2) ( 2, ??) 时， f ?(x) ? 0 ，此时 f (x) 单调递增，当 x ? (? 2, 2) 时，
f ?(x) ? 0 ，此时 f (x) 单调递减，故选 B．
考点：1、函数的图象；2、利用导数研究函数的单调性． 【方法点睛】根据已知函数确定函数的图象通常考虑：（1）确定函数的性质，函数的单调性、 奇偶性、周期性、对称性进行判断；（2）根据解析式取特殊点检查图象，或在给出的图象取 特殊点，检查其是否满足函数的解析式． 7．A 【解析】 试题分析：根据导数大于 0 时函数单调递增，导数小于 0 时原函数单调递减确定函数 f（x） 的单调性
解：由图象可知，即求函数的单调减区间，从而有解集为
，
故选 A．
考点：利用导数研究函数的单调性．
8．A
【解析】
试题分析：求出数据中心（ ， ），则（ ， ）必在回归直线上．
解： =
=2.5， =
=3.5．
经验证只有 =x+1 经过（2，5，3，5 ）， 故选：A． 考点：线性回归方程． 9．B． 【解析】 试题分析：①：根据相关指数的意义可知①正确；②：根据相关系数的意义可知②正确；③：
方差应为 4 ，故③错误；④： k 2 的观察值越小， x 与 y 有关系的把握程度越小，故④错误，
故正确的命题有 2 个，故选 B． 考点：命题的真假． 10．D 【解析】f′(x)＝ex－1，令 f′(x)＝0，得 x＝0.
又
f(0)＝e0－0＝1，f(1)＝e－1>1，f(－1)＝ 1 ＋1>1，而 e
e－1－
? ??
1 e
?
1???
＝e－
1 e
－2＝
e2 ? 2e ?1 >0， e
所以 f(x)max＝f(1)＝e－1. 11．A 考点：利用导数研究函数的单调性．. 12．C 【解析】
试题分析：由 y＝f ?? x? 的图象知，当 x ? 0 时， f ?? x? ? 0 ，当 x ? 0 时 ， f ?? x? ? 0 ，所以
y ? f ? x? 在 (??, 0) 上 单 调 递 减 ， 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 ． 因 为 两 正 数 a，b 满 足
f (2 a＋ b) ? 1且 f ?4?＝1，所以 2a ? b ? 4 ，如图， b ? 2 表示点 A(?2, ?2) 与线段 BC 上的
a?2
点连线的斜率，其中
B?2, 0?
， C ?0, 4? ，因为 kAB
?
1 2
， kAC
?3
，a
? 0 ， b ? 0 ，所以
1 ? b ? 2 ? 3 ，故选 C． 2 a?2
考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、简单的线性规划问题．
13． x ? ey ? 0
【解析】
试 题分 析： 设切 点坐 标为 (x0 , y0 )
，∵
y ? ln x
，∴
y'
?
1 x
，∴ k
?
1 x0
，∴切线方程为
y
?
y0
?
1 x0
(x ?
x0 )
，又∵ (0, 0) 在切线上，∴ ? y0
?
1 x0
(?x0 ) 即
y0
? 1 ，又∵ (x0 ,
y0 ) 在曲线
y
?
ln
x
上，∴
y0
?
ln
x0 ，∴
x0
?
e ，∴切线方程为
y
?1 ?
1 (x e
?
e)
即
x ? ey
?
0
.
考点：过点求切线.
14．123
【解析】
试题分析：观察可得各式的值构成数列 1，3，4，7，11，…，其规律为从第三项起，每项等
于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项．继续写出此数列为 1，3，4，7，11，18，
29，47，76，123，…，第十项为 123，即 a10 ? b10 ? 123，故答案为 123．
考点：数列的简单应用、推理与证明. 15．4 【解析】
试 题 分 析 ： 由 y' ? 1 ， 则 切 线 斜 率 k ? 1 ， 则 过 P(a，a ) 的 切 线 方 程
2x
2a
为: y ?
a
?
1 2a
?x
?
a
?
，与坐标轴交点分别为
? ???
0,
a 2
? ???
, ? ?a,
0?
，又所成三角形面积为
2，
可得 1 ? a ? a ? 2 ，所以 a ? 4 . 22
考点：导数的应用.
16． 4 2
【解析】
试题分析：显然应该求出 z2 ，z1z2 ? 2a ? 3 ? (a ? 6)i ，它是实数，则 a ? ?6 ，z1 ? z2 ? ?4 ? 4i ，
可得结论． 考点：复数的分类与复数的模．
17．(1)
?a ? 2 ??b ? ?6
（2） f (x) 在 x ? ?1 处有极大值
【解析】
f (?1) ? ?2 ? 6 ? 4 无极小值.
试题分析：∵ f ?(x) ? 3ax2 ? b
(1)∴
? ? ?
f f
(1) ? c ? ?(1) ? 0
4
∴
?a ? b ? c ??3a ? b ?
? 0
c
?
4
∴
?a ?? b
? ?
2 ?6
（2）因为其为奇函数∴ f (x) ? 2x3 ? 6x ∴ f ?(x) ? 6x2 ? 6 ? 6(x ?1)(x ?1)
令 f ?(x) ? 0 ∴ x ? ?1 或 1 ∵ x ? (?2, 0) ∴ x ? ?1 ∴当 x ? (?2, ?1), f ?(x) ? 0 x ? (?1, 0), f ?(x) ? 0 ∴ f (x) 在 x ? ?1 处有极大值 f (?1) ? ?2 ? 6 ? 4 无极小值. 考点：本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。 点评：中档题，本题属于导数应用中的基本问题，通过研究导数的正负，明确函数的单调性。 判断函数的驻点是何种类型的极值点。
18．（1） f ? x? ? x3 ? 3x2 ?12x ；（2）?1,9? ；
【解析】
试题分析：（1）先求出函数的导数 f ?? x? ? ax2 ? 2bx ? c ，根据方程 f ?? x? ?9x ? 0 的两个根
分别为 1,4 得到关于 a,b, c 的方程组，再依据 a ? 3 且曲线 y ? f ? x? 过原点，分别求出
a,b,c, d 的值，从而求得函数 f ? x? 的解析式；（2）函数 f ? x? 在 ???, ??? 内无极值点，再
依据 a
?
0 可知
f
??x?
?
ax2
? 2bx ? c
?
0在 ???,???
内恒成立，可以得到
?? ??a
? ?
0 0
，解出
a
的
取值范围即可；
试题解析：由 f ? x? ? a x3 ? bx2 ? cx ? d ?a ? 0? ，得 f ?? x? ? ax2 ? 2bx ? c ．
3
由于 f ?? x? ?9x ? ax2 ? ?2b ?9? x ? c ? 0 的两个根分别为 1,4，????1a6?a2?b8?bc??c9?=306 ? 0 （*）
（1）当
a
?
3
时，由（*）式得
?2b ??8b
? ?
c c
? 6=0 ?12 ?
0
解得
?b ??c
? ?3 ，又因为曲线 ? 12
y
?
f
? x? 过原点，
所以 d ? 0 ，故 f ? x? ? x3 ? 3x2 ?12x ． （2）由于 a ? 0 ， f ? x? ? a x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ???, ??? 内无极值点，
3
? f ?? x? ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在 ???, ??? 内恒成立．由（*）式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a ，
又
?=
?
2b?2
?
4ac
?
9
?
a
?1?
?
a
?
9?
．解
???=9 ?
?
a
?1?
?
a
?
9
?
?
0
得
a
??1,
9?
，即
a
的取值范
??a ? 0
围为?1,9? ．
考点：导数的应用；
19．（1）40,40；（2）能有 99．9％的把握认为身高与性别有关；（3） 6 ? 3 . 10 5
【解析】（1）由频率分布直方图先得身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08?5 ? 0.4 ；（2）
K 2 ? 80? (30? 36 ?10? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ；（3）古典概型. 40? 40? 34? 46
解：（Ⅰ）直方图中，因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08?5 ? 0.4 ，
设男生数为
n1
，则
0.4
?
16 n1
，得
n1
?
40
．………………………………………4
分
由男生的人数为 40，得女生的人数为 80-40=40．
（ Ⅱ ） 男 生 身 高 ? 170cm 的 人 数 ? (0.08 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.01) ? 5? 40 ? 30 ， 女 生 身 高
? 170cm 的人数 0.02?5? 40 ? 4，所以可得到下列二列联表：
≥170cm <170cm 总计
男生身高 30
10
40
女生身高 4
36
40
总计
34
46
80
…………………………………………6 分
K 2 ? 80? (30? 36 ?10? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ，…………………………………7 分 40? 40? 34? 46
所以能有 99．9％的把握认为身高与性别有关； …………………………………8 分
（Ⅲ）在 170～175cm 之间的男生有 16 人，女生人数有 4 人．
按分层抽样的方法抽出 5 人，则男生占 4 人，女生占 1 人． ………………………9 分
设男生为 A1, A2 , A3, A4 ，女生为 B ．
从 5 人任选 3 名有: ( A1, A2 , A3), ( A1, A2 , A4 ), ( A1, A2 , B), ( A1, A3, A4 ), ( A1, A3, B), ( A1, A4 , B),
( A2 , A3, A4 ), ( A2 , A3, B), ( A2 , A4 , B), ( A3, A4 , B) ,共 10 种可能， ……10 分
3
人
中
恰
好
有
一
名
女
生
有 : ( A1, A2 , B), ( A1, A3, B), ( A1, A4 , B), ( A2 , A3, B), ( A2 , A4 , B), ( A3, A4 , B), 共 6 种 可
能，
………………………11 分
故所求概率为 6 ? 3 ． 10 5
…………………………………………12 分
20．（1）当 x=1 时，函数 f（x）取最小值 3．（2）实数 a 的取值范围是{a|a≥0，或 a≤﹣4}．
【解析】
试题分析：（1）当 a=﹣时，f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0.
，
由此能求出 f（x）的极小值． （2）由 f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），知
，设 g（x）=2x2+2x+a，由函
数 f（x）在区间（0，1）上为单调函数，能求出实数 a 的取值范围． 解：（1）当 a=﹣4 时，f（x）=x2+2x﹣4lnx， x＞0
，
令 f′（x）=0，得 x=﹣2（舍），或 x=1， 列表，得
x （0，1） 1 （1，+∞） f′（x） ﹣ 0 + f（x） ↓ 极小值 ↑ ∴f（x）的极小值 f（1）=1+2﹣4ln1=3， ∵f（x）=x2+2x﹣4lnx，x＞0 只有一个极小值， ∴当 x=1 时，函数 f（x）取最小值 3． （2）∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R），
∴
，（x＞0），
设 g（x）=2x2+2x+a， ∵函数 f（x）在区间（0，1）上为单调函数， ∴g（0）≥0，或 g（1）≤0， ∴a≥0，或 2+2+a≤0， ∴实数 a 的取值范围是{a|a≥0，或 a≤﹣4}． 考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系 ． 21．(1) x ? y ? 2 ? 0 ;(2)详见解析. 【解析】
试题分析：(1)根据导数的几何意义，当 a ? 2 时， f ??x? ? 1 ? 2 ,得出 f ??1? ? ?1，再代入点
x
斜式直线方程；
（2） f ?(x) ? 1 ? a ? x ? a , x ? 0 讨论，当 a ? 0和 a ? 0 两种情况下的极值情况. xx
试题解析：解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ?(x) ? 1 ? a . x
（1）当 a ? 2 时, f (x) ? x ? 2ln x , f ?(x) ? 1 ? 2 (x ? 0) , x
? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1, ? y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ?1 ? ?(x ?1) , 即x? y?2?0. （2）由 f ?(x) ? 1 ? a ? x ? a , x ? 0 可知:
xx ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;
x ? (0, a) 时, f ?(x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?(x) ? 0 ? f (x) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值. 综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求极值. 22． （1）见解析. （2） y = 3.2 x + 3.6
（3）2005 年该城市人口总数为 196 万。
n
? xi yi ? nx y
? 【 解 析 】（ 2） 利 用 公 式 b? ?
i ?1 n
xi2
?
2
nx
，a? ? y ? b?x 求线性回归方程即可。
i ?1
（3）根据（2）的结果，把 x=5 代入线性回归方程求值即可。
y
2
·
10
18 6 1
41 21
·
08 ·· 4·6
2
0 1234 5
x
（1）
（2） y = 3.2 x + 3.6
（3）2005 年该城市人口总数为 196 万。