河南省新乡市第一中学2015-2016学年高二下学期第二次周练数学(文科普通班)试题Word版含答案

新乡市一中高二数学周周考二(文科普)

命题人:宋卫红

审题人 :洪桥

一、选择题(每题 5 分)

1. i 是虚数单位,复数 5 ? 2i ? ( ) 2 ? 5i

A. ?i

B. i

C. ? 21 ? 20 i 29 29

D. ? 4 ? 10 i 21 21

2.若曲线 y ? x 2 ? ax ? b 在点(0,b)处的切线方程是 x ? y ?1 ? 0 ,则( )

A. a ? 1,b ? 1 B. a ? ?1,b ? 1

C. a ? 1,b ? ?1 D. a ? ?1,b ? ?1

3.若函数 f ? x?=x2+2x+a ln x 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是( )

A. a ? 0

B. a ? 0 C. a ? ?4 D. a ? ?4

4.已知点

P

在曲线

y

?

4 上,? ex ?1

为曲线在点

P

处的切线的倾斜角,则 ?

的取值范围是

A.∪∪

C.∪∪∪上的最大值是( )

A.1+ 1 e

B.1

C.e+1

D.e-1

11. f (x), g(x) 分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x ? 0 时 f ?(x)g(x) ? f (x)g?(x) ? 0 且

f (?2) ? 0,则不等式f (x)g(x) ? 0 的解集为( )

A.(-2,0)∪(2,+∞)

B.(-2,0)∪(0,2)

C.(-∞,-2)∪(2,+∞)

D.(-∞,-2)∪(0,2)

12.定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f ?4?=1, f ?? x? 为 f (x) 的导函数,已知函数 y=f ?? x? 的
图象如图所示.若两正数 a,b 满足 f (2a+b) ? 1,则 b ? 2 的取值范围是( ) a?2

A.

? ??

1 3

,

1 2

? ??

B.

? ??

??,

1 2

? ??

(3,+?)

C.

? ??

1 2

,

3

? ??

D. (??, ?3)

二、填空题

13.过坐标原点与曲线 y ? ln x 相切的直线方程为

.

14.观察下列各式: a ? b ? 1, a2 ? b2 ? 3, a3 ? b3 ? 4, a4 ? b4 ? 7, 是 a5 ? b5 ? 11...... 则

a10 ? b10 ? _____________;

15.若曲线 y ? x 在点 P(a,a ) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2 ,则实数 a 的
值是_______.
16.已知复数 z1 ? 2 ? i, z2 ? a ? 3i(a ? R), z1 ? z2 是 实数,则 z1 ? z2 =___________.

二、填空: 13. ___________ 三、解答题

答题卷 14._______________ 15.____________ 16._______________

17.已知函数 f (x) ? ax3 ? bx ? c 在 x ? 1 处取得极值 c ? 4 .

(1)求 a, b ; (2)设函数 y ? f (x) 为 R 上的奇函数,求函数 f (x) 在区间 (?2, 0) 上的极值.

18.设函数 f ? x? ? a x3 ? bx2 ? cx ? d ?a ? 0? ,且方程 f ?? x? ?9x ? 0 的两个根分别为 1,4.
3
(1)当 a ? 3且曲 线 y ? f ? x? 过原点时,求 f ? x? 的解析式; (2)若 f ? x? 在 ???, ??? 内无极值点, 求 a 的取值范围.
19.某学校为调查高三年学生的身高情况,按随机抽样的方法抽取 80 名学生,得到男生身高 情况的频率分布直方图(图(1)和女生身高情况的频率分布直方图(图(2)).已知图(1) 中身高在 170~175cm 的男生人数有 16 人。
(I)试问在抽取的学生中,男、女生各有多少人? (II)根据频率分布直方图,完成下列的 2×2 列联表,并判断能有多大(百分几)的把 握认为“身高与性别有关”?
(Ⅲ)在上述 80 名学生中,从身高在 170~175cm 之间的学生按男、女性别分层抽样的方法, 抽出 5 人,从这 5 人中选派 3 人当旗手,求 3 人中恰好有一名女生的概率。
参考公式:

20.已知函数 f(x)=x2+2x+alnx(a∈R). (1)当时 a=﹣4 时,求 f(x)的最小值; (2)若函数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数 a 的取值范围.
21.已知函数 f (x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程; (2)求函数 f (x) 的极值.
22.某城市理论预测 2000 年到 2004 年人口总数与年份的关系所示

年份 200x(年) 0

1

2

3

4

人口数 y (十万) 5

7

8

11 19

(Ⅰ)请画出上表数据的散点图; (Ⅱ)请根据上表提供的数据,用最小二乘 法求出 y 关于 x 的线性回归方程; (Ⅲ)据此估计 2005 年该城市人口总数。

参考数值:0×5+1×7+2×8+3×11+4×19=132, 02 ?12 ? 22 ? 32 ? 42 ? 30 ,

n

? xi yi ? nx y

? 参考公式:

用最小二乘法求线性回归方程系数公式

b? ?

i ?1 n

xi2

?

2
nx

,a? ? y ? b?x

i ?1

参考答案

1.A

【解析】

试题分析: 5 ? 2i ? (5 ? 2i)(2 ? 5i) ? 10 ? 25i ? 4i ?10i2 ? ?i ,故选 A.

2 ? 5i (2 ? 5i)(2 ? 5i)

29

另解: 5 ? 2i ? ?5i2 ? 2i ? ?i(2 ? 5i) ? ?i .

2 ? 5i 2 ? 5i

2 ? 5i

考点:复数的运算.

2.A 【解析】

试题分析: y ? x2 ? ax ? b,? y ' ? 2x ? a .由题意可知点 ?0,b? 即为切点,由切线方程可知

切线的斜率 k ?1,由导数的几何意义可知 y ' x?0 ? 2?0 ? a ?1.解得 a ?1,将点 ?0,b? 代入
切线方程是 x ? y ?1 ? 0 可得 b ?1.故 A 正确.

考点:导数的几何意义. 3 .D 【解析】
试 题 分 析 : 因 为 函 数 f (x) 在 ( 0 , 1 ) 上 单 调 递 减 , 所 以 当 x ∈ ( 0 , 1 ) 时 ,

f (x) ? 2x ? 2 ? a ? 2x2 ? 2x ? a ? 0 ,所以 g ? x?=2x2 ? 2x ? a ? 0在 x ??0,1?时恒成立,

x

x

所以 g ?0? ? 0, g ?1? ? 0 ,即 a ? ?4 ,,故选 D.

考点:利用导数研究函数的单调性. 4.D 【解析】

试题分析:

y

'

?

?

4ex (ex ?1)2

,又 (ex

? 1)2

? 4ex

? (ex

?1)2

? 0 (当 ex

? 1 时取等号),所以

(ex

? 1) 2

? 4ex

? 0 ,0

?

4ex (ex ?1)2

? 1,所以 ?1 ?

y ' ? 0 ,即 ?1?ant

?0?

,所以 3? ? ? ? ? , 4

故选 D.

考点:导数的几何意义,直角的倾斜角.

【名师点睛】1.导数的几何意义,函数在某点处的导数就是函数的图象在该点处切线的斜率.

2.直线的斜率 k 与倾斜角 α 的关系: (1)所有的直线都有倾斜角,当直线与 x 轴垂直,即倾斜
角为时,斜率不存在;(2)直线倾斜角的范围为[0,π ),因为正切函数在[0,π )上不单调,所以 在研究斜率与倾斜角的关系时,可结合正切函数在上的图象,对其在上的变化情况分别讨论.

5.B

【解析】

试题分析:设 F (x) ? f (x) ? 2x ? 4 ,则 F?(x) ? f ?(x) ? 2 ,因为 f ?(x) ? 2 恒成立,所以

F?(x) ? f ?(x) ? 2 ? 0 , 即 函 数 F (x) 在 R 上 单 调 递 增 . 因 为 f (?1) ? 2 , 所 以

F (?1) ? f (?1) ? 2(?1)? 4

? 2 ? 2 ? 4 ? 0 .所以有 F (x) ? f (x) ? 2x ? 4 ? 0 ,即 F (x) ? f (x) ? 2x ? 4 ? F (?1) .所以

x ? ?1 ,即不等式的解集是 (?1,? ?) ,故选 B.
考点:1、导数的应用;2、函数的单调性.
【方法点晴】因为函数 f (x) 的解析式未知,所以要利用函数的单调性来解,首先构造出新的

函数 F(x) ,再由已知条件分析出函数 F? x? 的单调性,利用已知条件 找出特殊函数值 F (?1) ? 0 ,最后利用函数 F? x? 的单调性得出关于 x 的不等式,解不等式即可得解集.

6.B 【解析】
试题分析:因为 f ? x? ? x? x ? 2?ex ,易知,当 x ?(??, 0) (2, ??) 时,f (x) ? 0 ,当 x ?02(,)
? ? 时, f (x) ? 0,排除 A、C;又 f ?? x? ? ?2x ? 2?ex ? x2 ? 2x ex ? ex (x ? 2)(x ? 2) ,易

知当 x ? (??, ? 2) ( 2, ??) 时, f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递增,当 x ? (? 2, 2) 时,

f ?(x) ? 0 ,此时 f (x) 单调递减,故选 B.

考点:1、函数的图象;2、利用导数研究函数的单调性. 【方法点睛】根据已知函数确定函数的图象通常考虑:(1)确定函数的性质,函数的单调性、 奇偶性、周期性、对称性进行判断;(2)根据解析式取特殊点检查图象,或在给出的图象取 特殊点,检查其是否满足函数的解析式. 7.A 【解析】 试题分析:根据导数大于 0 时函数单调递增,导数小于 0 时原函数单调递减确定函数 f(x) 的单调性

解:由图象可知,即求函数的单调减区间,从而有解集为



故选 A.

考点:利用导数研究函数的单调性.

8.A

【解析】

试题分析:求出数据中心( , ),则( , )必在回归直线上.

解: =

=2.5, =

=3.5.

经验证只有 =x+1 经过(2,5,3,5 ), 故选:A. 考点:线性回归方程. 9.B. 【解析】 试题分析:①:根据相关指数的意义可知①正确;②:根据相关系数的意义可知②正确;③:

方差应为 4 ,故③错误;④: k 2 的观察值越小, x 与 y 有关系的把握程度越小,故④错误,

故正确的命题有 2 个,故选 B. 考点:命题的真假. 10.D 【解析】f′(x)=ex-1,令 f′(x)=0,得 x=0.



f(0)=e0-0=1,f(1)=e-1>1,f(-1)= 1 +1>1,而 e

e-1-

? ??

1 e

?

1???

=e-

1 e

-2=

e2 ? 2e ?1 >0, e
所以 f(x)max=f(1)=e-1. 11.A 考点:利用导数研究函数的单调性.. 12.C 【解析】
试题分析:由 y=f ?? x? 的图象知,当 x ? 0 时, f ?? x? ? 0 ,当 x ? 0 时 , f ?? x? ? 0 ,所以

y ? f ? x? 在 (??, 0) 上 单 调 递 减 , 在 (0, ??) 上 单 调 递 增 . 因 为 两 正 数 a,b 满 足

f (2 a+ b) ? 1且 f ?4?=1,所以 2a ? b ? 4 ,如图, b ? 2 表示点 A(?2, ?2) 与线段 BC 上的
a?2

点连线的斜率,其中

B?2, 0?

, C ?0, 4? ,因为 kAB

?

1 2

, kAC

?3

,a

? 0 , b ? 0 ,所以

1 ? b ? 2 ? 3 ,故选 C. 2 a?2

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、简单的线性规划问题.
13. x ? ey ? 0

【解析】

试 题分 析: 设切 点坐 标为 (x0 , y0 )

,∵

y ? ln x

,∴

y'

?

1 x

,∴ k

?

1 x0

,∴切线方程为

y

?

y0

?

1 x0

(x ?

x0 )

,又∵ (0, 0) 在切线上,∴ ? y0

?

1 x0

(?x0 ) 即

y0

? 1 ,又∵ (x0 ,

y0 ) 在曲线

y

?

ln

x

上,∴

y0

?

ln

x0 ,∴

x0

?

e ,∴切线方程为

y

?1 ?

1 (x e

?

e)



x ? ey

?

0

.

考点:过点求切线.

14.123

【解析】

试题分析:观察可得各式的值构成数列 1,3,4,7,11,…,其规律为从第三项起,每项等

于其前相邻两项的和,所求值为数列中的第十项.继续写出此数列为 1,3,4,7,11,18,

29,47,76,123,…,第十项为 123,即 a10 ? b10 ? 123,故答案为 123.
考点:数列的简单应用、推理与证明. 15.4 【解析】

试 题 分 析 : 由 y' ? 1 , 则 切 线 斜 率 k ? 1 , 则 过 P(a,a ) 的 切 线 方 程

2x

2a

为: y ?

a

?

1 2a

?x

?

a

?

,与坐标轴交点分别为

? ???

0,

a 2

? ???

, ? ?a,

0?

,又所成三角形面积为

2,

可得 1 ? a ? a ? 2 ,所以 a ? 4 . 22
考点:导数的应用.

16. 4 2
【解析】
试题分析:显然应该求出 z2 ,z1z2 ? 2a ? 3 ? (a ? 6)i ,它是实数,则 a ? ?6 ,z1 ? z2 ? ?4 ? 4i ,
可得结论. 考点:复数的分类与复数的模.

17.(1)

?a ? 2 ??b ? ?6

(2) f (x) 在 x ? ?1 处有极大值

【解析】

f (?1) ? ?2 ? 6 ? 4 无极小值.

试题分析:∵ f ?(x) ? 3ax2 ? b

(1)∴

? ? ?

f f

(1) ? c ? ?(1) ? 0

4



?a ? b ? c ??3a ? b ?

? 0

c

?

4



?a ?? b

? ?

2 ?6

(2)因为其为奇函数∴ f (x) ? 2x3 ? 6x ∴ f ?(x) ? 6x2 ? 6 ? 6(x ?1)(x ?1)

令 f ?(x) ? 0 ∴ x ? ?1 或 1 ∵ x ? (?2, 0) ∴ x ? ?1 ∴当 x ? (?2, ?1), f ?(x) ? 0 x ? (?1, 0), f ?(x) ? 0 ∴ f (x) 在 x ? ?1 处有极大值 f (?1) ? ?2 ? 6 ? 4 无极小值. 考点:本题主要考查应用导数研究函数的单调性、极值。 点评:中档题,本题属于导数应用中的基本问题,通过研究导数的正负,明确函数的单调性。 判断函数的驻点是何种类型的极值点。

18.(1) f ? x? ? x3 ? 3x2 ?12x ;(2)?1,9? ;

【解析】

试题分析:(1)先求出函数的导数 f ?? x? ? ax2 ? 2bx ? c ,根据方程 f ?? x? ?9x ? 0 的两个根

分别为 1,4 得到关于 a,b, c 的方程组,再依据 a ? 3 且曲线 y ? f ? x? 过原点,分别求出

a,b,c, d 的值,从而求得函数 f ? x? 的解析式;(2)函数 f ? x? 在 ???, ??? 内无极值点,再

依据 a

?

0 可知

f

??x?

?

ax2

? 2bx ? c

?

0在 ???,???

内恒成立,可以得到

?? ??a

? ?

0 0

,解出

a



取值范围即可;
试题解析:由 f ? x? ? a x3 ? bx2 ? cx ? d ?a ? 0? ,得 f ?? x? ? ax2 ? 2bx ? c .
3
由于 f ?? x? ?9x ? ax2 ? ?2b ?9? x ? c ? 0 的两个根分别为 1,4,????1a6?a2?b8?bc??c9?=306 ? 0 (*)

(1)当

a

?

3

时,由(*)式得

?2b ??8b

? ?

c c

? 6=0 ?12 ?

0

解得

?b ??c

? ?3 ,又因为曲线 ? 12

y

?

f

? x? 过原点,

所以 d ? 0 ,故 f ? x? ? x3 ? 3x2 ?12x . (2)由于 a ? 0 , f ? x? ? a x3 ? bx2 ? cx ? d 在 ???, ??? 内无极值点,
3
? f ?? x? ? ax2 ? 2bx ? c ? 0 在 ???, ??? 内恒成立.由(*)式得 2b ? 9 ? 5a, c ? 4a ,



?=

?

2b?2

?

4ac

?

9

?

a

?1?

?

a

?

9?

.解

???=9 ?

?

a

?1?

?

a

?

9

?

?

0



a

??1,

9?

,即

a

的取值范

??a ? 0

围为?1,9? .

考点:导数的应用;
19.(1)40,40;(2)能有 99.9%的把握认为身高与性别有关;(3) 6 ? 3 . 10 5
【解析】(1)由频率分布直方图先得身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08?5 ? 0.4 ;(2)

K 2 ? 80? (30? 36 ?10? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ;(3)古典概型. 40? 40? 34? 46
解:(Ⅰ)直方图中,因为身高在 170 ~175cm 的男生的频率为 0.08?5 ? 0.4 ,

设男生数为

n1

,则

0.4

?

16 n1

,得

n1

?

40

.………………………………………4



由男生的人数为 40,得女生的人数为 80-40=40.

( Ⅱ ) 男 生 身 高 ? 170cm 的 人 数 ? (0.08 ? 0.04 ? 0.02 ? 0.01) ? 5? 40 ? 30 , 女 生 身 高

? 170cm 的人数 0.02?5? 40 ? 4,所以可得到下列二列联表:

≥170cm <170cm 总计

男生身高 30

10

40

女生身高 4

36

40

总计

34

46

80

…………………………………………6 分

K 2 ? 80? (30? 36 ?10? 4)2 ? 34.58 ? 10.828 ,…………………………………7 分 40? 40? 34? 46
所以能有 99.9%的把握认为身高与性别有关; …………………………………8 分

(Ⅲ)在 170~175cm 之间的男生有 16 人,女生人数有 4 人.
按分层抽样的方法抽出 5 人,则男生占 4 人,女生占 1 人. ………………………9 分

设男生为 A1, A2 , A3, A4 ,女生为 B .

从 5 人任选 3 名有: ( A1, A2 , A3), ( A1, A2 , A4 ), ( A1, A2 , B), ( A1, A3, A4 ), ( A1, A3, B), ( A1, A4 , B),

( A2 , A3, A4 ), ( A2 , A3, B), ( A2 , A4 , B), ( A3, A4 , B) ,共 10 种可能, ……10 分

3



















有 : ( A1, A2 , B), ( A1, A3, B), ( A1, A4 , B), ( A2 , A3, B), ( A2 , A4 , B), ( A3, A4 , B), 共 6 种 可

能,

………………………11 分

故所求概率为 6 ? 3 . 10 5

…………………………………………12 分

20.(1)当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 3.(2)实数 a 的取值范围是{a|a≥0,或 a≤﹣4}.

【解析】

试题分析:(1)当 a=﹣时,f(x)=x2+2x﹣4lnx,x>0.



由此能求出 f(x)的极小值. (2)由 f(x)=x2+2x+alnx(a∈R),知

,设 g(x)=2x2+2x+a,由函

数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数,能求出实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=﹣4 时,f(x)=x2+2x﹣4lnx, x>0



令 f′(x)=0,得 x=﹣2(舍),或 x=1, 列表,得
x (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) ↓ 极小值 ↑ ∴f(x)的极小值 f(1)=1+2﹣4ln1=3, ∵f(x)=x2+2x﹣4lnx,x>0 只有一个极小值, ∴当 x=1 时,函数 f(x)取最小值 3. (2)∵f(x)=x2+2x+alnx(a∈R),



,(x>0),

设 g(x)=2x2+2x+a, ∵函数 f(x)在区间(0,1)上为单调函数, ∴g(0)≥0,或 g(1)≤0, ∴a≥0,或 2+2+a≤0, ∴实数 a 的取值范围是{a|a≥0,或 a≤﹣4}. 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;函数的单调性与导数的关系 . 21.(1) x ? y ? 2 ? 0 ;(2)详见解析. 【解析】
试题分析:(1)根据导数的几何意义,当 a ? 2 时, f ??x? ? 1 ? 2 ,得出 f ??1? ? ?1,再代入点
x
斜式直线方程;
(2) f ?(x) ? 1 ? a ? x ? a , x ? 0 讨论,当 a ? 0和 a ? 0 两种情况下的极值情况. xx
试题解析:解:函数 f (x) 的定义域为 (0, ??) , f ?(x) ? 1 ? a . x
(1)当 a ? 2 时, f (x) ? x ? 2ln x , f ?(x) ? 1 ? 2 (x ? 0) , x
? f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1, ? y ? f (x) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 y ?1 ? ?(x ?1) , 即x? y?2?0. (2)由 f ?(x) ? 1 ? a ? x ? a , x ? 0 可知:
xx ①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 为 (0, ??) 上的增函数,函数 f ( x) 无极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a ;
x ? (0, a) 时, f ?(x) ? 0 , x ? (a, ??) 时, f ?(x) ? 0 ? f (x) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a) ? a ? a ln a ,无极大值. 综上:当 a ? 0 时,函数 f ( x) 无极值 当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 x ? a 处取得极小值 a ? a ln a ,无极大值. 考点:1.导数的几何意义;2.利用导数求极值. 22. (1)见解析. (2) y = 3.2 x + 3.6

(3)2005 年该城市人口总数为 196 万。

n

? xi yi ? nx y

? 【 解 析 】( 2) 利 用 公 式 b? ?

i ?1 n

xi2

?

2
nx

,a? ? y ? b?x 求线性回归方程即可。

i ?1

(3)根据(2)的结果,把 x=5 代入线性回归方程求值即可。

y

2

·

10

18 6 1

41 21

·

08 ·· 4·6

2

0 1234 5

x

(1)

(2) y = 3.2 x + 3.6

(3)2005 年该城市人口总数为 196 万。


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