北京市海淀区2016届高三第一学期期末练习数学文试题(扫描版)_图文

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海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案
数 学 (文科) 2016.1

阅卷须知: 1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。 2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 A 2 C 3 A 4 B 5 C 6 B 7 D 8 D

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 题号 答案 9
10

10

11

12

13

14 ②; 45?, 65?

2, 5

4

1 4

2或6

说明: 第 13题少写一个减3分,错的则不得分 第 14 题第一空 3 分,第二空 2 分,第二问少或错写的都不得分 三、解答题: 本大题共 6 小题,共 80 分. 15.解: (
d .











{an }









…………………………….1 分 因 为

a3 ?

7a5 ?

, a4 ?





2a1 ? 6d ? a1 ? 3d ? 7 .
因为 a1 ? 1 ,所以 3d ? 6 ,即 d ? 2 , 所以 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 1 . (Ⅱ) 因为 a1 ? 1 ,an ? 2n ? 1 , 所以 Sn ? 分 所 以

…………………………….3 分 …………………………….5 分 …………………………….7 分

a1 ? an n ? n2 , 2

…………………………….9

n2 ? 3 n ?
0

?(

2 ,

1 所

) 以

2

n 2 ? 6n ? ? ,
解 得

5

…………………………….11 分 , 所 以

1? n ? 5

n







-5-

2,3, 4 .

…………………………….13 分

-6-

16.解: (Ⅰ)因为 f ( x ) ? 2cos x(sin x ? cos x ) ? 1
? sin 2 x ? cos 2 x …………………………….4 分





π ? 2 sin(2 x ? ) …………………………….6 分 4 f ( x) 函 数 的 最









T?

2π ?π. |? |

…………………………….8 分

(Ⅱ)因为 x ?[? , ? 所 以

π 6

π ], 12 2x ? ? 1 ) ? π π ? 3 6 2 [ 1


, 2



]



( x?

π 4

π π , 2, ?

…………………………… .9 分 ] [

根据函数 f ( x ) ? sin x 的性质, 当

2x ?

π π ?? 4 12









f ( x)











π …………………………….10 分 ), 12 π π f ( x) 当 时 , 函 数 取 得 最 大 值 2x ? ? 4 12 π …………………………….11 分 2 sin . 12 π π 因为 2 sin(? ) ? 2 sin( ) ? 0 , 12 12 π π ] 的 最 大 值 与 最 小 值 的 和 为 所 以 函 数 f ( x ) 在 区 间 x ?[ ? , ? 上 6 1 2 2 sin( ?
0.

…………………………….13 分

17.解: ( Ⅰ 日. (少写一个扣 1 分) ( Ⅱ ) 最 高
-7-

) 农 学 家 观 察 试 验 的 起 始 日 期 为 …………………………….3 分

7





8











大.

…………………………….6 分 …………………………….7

30]之间” (Ⅲ) 设 “连续三天平均最高温度值都在[27, 为事件 A, 分

则基本事件空间可以设为 ? ? {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),...,(29,20,31)} , 共计 29 个基本事件 …………………………….9 分 由 件, 所 图 表 可 以 看 出 , 事 件 A 中 包 含 10 个 基 本 事

…………………………….11 分 以

P( A) ?
13 分

10 , 29 10 . 29

…………………………….

所选 3 天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率为 18.解: (Ⅰ)取 AD 中点 G ,连接 FG, BG 因为点 F 为 PA 的中点,

P

F D

E C B

A

G

1 PD …………………………….1 分 2 1 又 BE ? PD ,且 BE ? PD , 2
所以 FG ? PD 且 FG ? 所以 BE ? FG, BE ? FG , 所 形. 所以 EF ? BG , 又
A EF ?









BGFE











…………………………….2 分


C D



A

B

,C

BG D ?





,B

…………………………….3 分


A

以 .
B C

EF ?


D …………………………….4 分



(Ⅱ)连接 BD . 因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB =60? ,所以 ?ABD 为等边三角形. 因 为
G



AD











BG ? AD ,

…………………………….6 分

-8-

BG ? 平面 ABCD , 又因为 PD ? 平面 ABCD , 所以 PD ? BG ,

…………………………….7

分 又

PD ? AD ? D



PD, AD ?





PAD ,
所 以

…………………………….8 分
BG ?

平 …………………………….9 分



PAD .
又 EF ? BG , 所以 EF ? 平面 PAD , 又

EF ?





PAE











PAE ?





PAD .

…………………………….10 分

法二:因为四边形 ABCD 为菱形, ?DAB =60? ,所以 ?ABD 为等边三角形. 因 为
G



AD











BG ? AD ,

…………………………….6 分

又因为 PD ? 平面 ABCD , PD ? 平面 PAD , 所
A

以 , 平 ,B
C B C


D



PAD ?





…………………………….7 分


A


D

P

? 平面 A

D ?

A ,

BBG ? C

平D

面 A

D

…………………………….8 分
BG ?





平 …………………………….9 分



PAD .
又 EF ? BG , 所以 EF ? 平面 PAD , 又

EF ?





PAE











PAE ?





PAD .
( Ⅲ

…………………………….10 分 ) 因 …………………………….12 分 , 所 以 为

1 S?PAD ? PD ? AD ? 2 , 2
EF ? BG ? 3

1 2 3 . …………………………….14 分 VP ? ADE ? S ?PAD ? EF ? 3 3 1 ? ?) . 19. …………………………….1 解: (Ⅰ) 函数 f ( x) ? ? k ln x 的定义域为 (0, x


-9-

f '( x) ? ?
….3 分

1 k ? . x2 x 1 1 x ?1 ? ? 2 , x2 x x f '( x ) ? 0

…………………………

当 k ? 1 时, f '( x) ? ? 令
x ?1,

, …………………………….4 分



所以 f '( x ), f ( x ) 随 x 的变化情况如下表:

x
f '( x)
f ( x)

(0,1)

1
0
极小值

(1, ??)

?
?

?
?

…………………………….6 分 所 值. 以

f ( x)



x ?1













f( 1 ? ) ,

1







…………………………….7 分 的 单 调 递 减 区 间 为

f ( x)

(0,1)

















(1, ??) .

…………………………….8 分

(Ⅱ)因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解, 令 点, 所

g ( x) ? f ( x) ? k



















g ( x)







…………………………….9 分 以

g '( x) ? ?


1 k kx ? 1 ? ? 2 . x2 x x 1 . k

…………………………….10

令 g '( x) ? 0 ,得 x ?

当 k ? 0 时, g '( x ) ? 0 对 (0, ??) 成立,函数 g ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减, 而 g (1) ? 1 ? k ? 0 , g (e 所 以
1? 1 k

)?

1 e
1 1? k

1 1 1 ? k (1 ? ) ? k ? 1 ? 1 ? ? 1 ? 0 , 1? k e e k




g ( x)







- 10 -

点. 当 k ? 0 时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

…………………………….11 分

x
g '( x ) g ( x)
1 k

1 (0, ) k
?


1 k
0 极小值

1 ( , ??) k

+ ↗

所以 g ( ) ? k ? k ? k ln

1 ? ?k ln k 为函数 g ( x ) 的最小值, k

1 k 1 1 当 g ( ) ? 0 时,即 k ? 1 时,注意到 g (e) ? ? k ? k ? 0 , 所以函数 g ( x ) 存在零点. k e
当 g ( ) ? 0 时,即 0 ? k ? 1 时,函数 g ( x ) 没有零点, 综 解. 法二: 因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解, 所 解, 令 以 问 题 等 价 于 方 程 上 , 当
k?0



k ?1









x







f ( x) ? k



…………………………….13 分

1 ? kx(ln x ? 1) ? 0



…………………………….9 分

g(x ) ? kx(ln x ? 1) ? 1

, …………………………….10 分





g '( x ) ? k ln x ,
令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 1

当 k ? 0 时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)
?


1
0 极大值

(1, ??)

g '( x)
g ( x)

?


所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最大值,而 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 0 .

g (e


1?

1 k

) ? 1 ? ke


1?

1 k

(1 ?

1 1? 1 ? 1) ? 1 ? e k ? 0 , k





g ( x)







- 11 -

点. 当 k ? 0 时, g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

…………………………….11 分

x

(0,1)
?


1
0
极小值

(1, ??)

g '( x) g ( x)

?


所以函数 g(x ) 在 x ? 1 处取得最小值,而 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k . 当 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k ? 0 时,即 0 ? k ? 1 时,函数 g ( x ) 不存在零点. 当 g(1) ? k ( ?1) ? 1 ? 1 ? k ? 0 ,即 k ? 1 时, 所 点. 以 函 数

g ( e? )k

e ( l? n e? 1? ) 1 ? 1
存 在

0


g ( x)

…………………………….13 分

综上,当 k ? 0 或 k ? 1 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解. 法三:因为关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解, 所 解, 设 函 数 以 问 题 等 价 于 方 程

1 ? x( ? 1 x k

有 l

n

)

…………………………….9 分

g ( x ) ? x (1 ? ln x )
x l







g'

??

(x .

)

n …………………………… .10 分

令 g '( x ) ? 0 ,得 x ? 1 ,

g '( x), g ( x) 随 x 的变化情况如下表:

x

(0,1)
?


1
0 极大值

(1, ??)

g '( x)
g ( x)

?










gx (

在)

x ?1

















g(1) ? 1 ,

…………………………….11 分

又当 x ? 1 时, 1 ? ln x ? 0 , 所以 x(1 ? ln x ) ? 1 ? ln x , 所 以 函 数

gx

(



)







- 12 -

( ??,1] ,

…………………………….12 分

所以当 ? ( ??,1] 时,关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有解, 所 以

1 k

k ?(


?

.

…………………………….13? ,

- 13 -

20. 解: (Ⅰ) 因 为 椭 圆
W









2 2 A 在 圆 O : x ? y ? 16 上 , 所 以

a ? 4.
又 离 心

…………………………….1 分 率 为

3 2







e?

c 3 ? a 2







c?2 3,


…………………………….2 分 以

b2 ?


4,

…………………………….3 a 2 ?

所以 W 的方程为 (Ⅱ) (i)

x2 y2 ? ? 1 . …………………………….4 分 16 4

法一:设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,显然直线 AP 存在斜率, 设 直 线

AP
)









y? ( ?

k ,

4

x

…………………………….5 分

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 16 4
2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ,…………………………….6 分

因 为 ?4 为 上 面 方 程 的 一 个 根 , 所 以 x1 ? ( ?4) ?

?32k 2 1 ? 4k 2

, 所 以

x1 ?


4 ? 1k 26 .…………………………….7 分 1 ? 4k 2

| AP |? 1 ? k 2 | x1 ? ( ?4) |?
….8 分 代
k ? ?1 ,

8 2 , 5

…………………………







| AP |?

8 1? k2 8 2 ? 1 ? 4k 2 5







…………………………….9 分

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 .

- 14 -



ii

) ,













线

AP









d?


| k 4 k ?1
2

|

…………………………….10 分 以

|A
分 因

?

2

1 1? k2

1? k2

.

Q| …………………………….11

?



|P |A


?

?

1,

Q| …………………………….12 P|

?

代入得到

8 2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? . 2 2 | AP | 8 1 ? k 2 1? k 1? k 1? k2 1 ? 4k 2
…….13 分 显 然

………………………

3?

3 ?3 1? k2















线

AP



使



| PQ | ? 3. | AP |

…………………………….14 分

法二: (i)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,显然直线 AP 存在斜率且不为 0 , 设 直 线

AP









x?

?4, m

y

…………………………….5 分

? x ? my ? 4 ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? ?1 ? ? 16 4
化 简 得 …………………………….6 分 到

(m2 ? 4) y 2 ? 8my ? 0 ,
显 然

?4

上 面 方 程 的 一 个 根 , 所 以 另 一 个 根 , 即 …………………………….7 分
- 15 -

y1 ?

8m , m2 ? 4



| AP |? 1 ? m 2 | y1 ? 0 |?
….8 分 代
m ? ?1 .

8 2 , 5

…………………………







| AP |? 1 ? m 2

8|m| 8 2 ? m2 ? 4 5







…………………………….9 分

所以直线 AP 的斜率为 1, ?1 ( ii ) 因 为 圆 心 到 直 线

AP









d?


| 1? m

2

4 | ,

…………………………….10 分 以

| AQ ?
1分 因

?d2 ?

1 m2 m . ? 2 1? m 1 ? m2

…………………………….1 |

6



|P |A


?

?

1,

Q| …………………………….12 P|

?

代入得到

8|m| | PQ | m2 ? 4 3 1 ? m2 . ? ?1 ? ?1 ? 2 2 8 | m | | AP | 1 ? m 1 ? m 2 1? m 2 m ?4
…….13 分 若 所 ………………………

3 ? 3 ,则 m ? 0 ,与直线 AP 存在斜率矛盾, 1 ? m2
以 不 存 在 直 线

AP



使



| PQ | ? 3. | AP |

…………………………….14 分

- 16 -


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