2013高考数学(文)一轮复习课件:对数与对数函数


第5讲 对数与对数函数

【2013年高考会这样考】 1.考查对数函数的定义域与值域. 2.考查对数函数的图象与性质的应用. 3.对数函数是重要的函数之一,题目形式多以对数函数为载 体的复合函数来考查有关内容. 【复习指导】 本节复习,利用对数函数的图象掌握对数函数的性质,侧重把 握对数函数与其他知识交汇问题的解决方法.重点解决:(1) 对数式化简与求值;(2)对数函数的图象与性质及其应用.复 习时也应注意分类讨论、数形结合、函数与方程思想的应用.

基础梳理 1.对数的概念 (1)定义:如果ax=N(a>0,a≠1),那么数x就叫做以a为底N的 对数,记作 N叫做

x=logaN


,其中a叫做

对数的底数



真数

即ax=N?x=logaN(a>0,a≠1).

(2)对数的性质 ①零和负数无对数; ②loga1=

0

(a>0,a≠1); (a>0,a≠1); (a>0,a≠1);

③logaa= 1 ④alogaN= N ⑤logaam=

m (a>0,a≠1).

(3)对数的运算性质 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(M· N)= logaM+logaN M ②loga N = ③logaMn= ; ; (n∈R).

logaM-logaN nlogaM

(4)将以10为底的对数叫常用对数,记为lg N,次e=2.718 28? 为底的对数叫自然对数,记作ln N. (5)换底公式 logcb logab=log a(a>0且a≠1,c>0且c≠1,b>0),且 c ①logab· ba=1; log m ②loganb = logab. n
m

2.对数函数的定义、图象与性质 (1)对数函数的定义 一般地,函数y=

logax

(a>0且a≠1)叫做对数函数.

(2)对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

①定义域: (0,+∞) ②值域: 性 ③过点 (1,0)

R

,即 x= 1 时,y= 0 ⑤当 x>1 时,y<0

质 ④当 x>1 时, y>0 当 0<x<1 时, y<0 ⑥在(0,+∞) 上是 增函数

y>0 当 0<x<1 时,
⑦在(0,+∞) 上是 减函数

3.指数函数 y=ax(a>0 且 a≠1)与对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称.

一条规律 对数值取正、负值的规律: 当 a>1 且 b>1 或 0<a<1 且 0<b<1 时,logab>0; 当 a>1 且 0<b<1 或 0<a<1 且 b>1 时,logab<0. 两个防范 解决与对数有关的问题时,(1)务必先研究函数的定义域;(2) 注意对数底数的取值范围.

三个关键点
?1 ? 画对数函数的图象应抓住三个关键点:(a,1),(1,0),?a,-1?. ? ?

四种方法 对数值的大小比较方法 (1)化同底后利用函数的单调性. (2)作差或作商法. (3)利用中间 量(0 或 1).(4)化同真数后利用图象比较.

双基自测 1.(人教 A 版教材习题改编)函数 y= log0.5?4x-3?的定义域为 ( 3 A.{x|x>4}
? 3 ? ? ? ?x| <x≤1? C. 4 ? ? ? ?

).

3 B.{x|4<x<1}
? 3 ? ? ? ?x| ≤x≤1? D. 4 ? ? ? ?

解析

?4x-3>0, ? 由已知? ?log0.5?4x-3?≥0, ?

? 3 ?x> , 即? 4 ?4x-3≤1, ?

? 3 ?x> , ? 3 ? ? ? 4 ?x| <x≤1?. 解得? 故函数的定义域为 4 ? ? ? ? ?x≤1, ? 答案 C

2.已知 5lg x=25,则 x 为( A.5 B.2

). D.100

C.10

解析 5lg x=25=52,∴lg x=2,∴x=100. 答案 D

3.(2011· 石家庄调研)已知函数 f(x)=loga(x+b)(a>0 且 a≠1) 的图象过两点(-1,0)和(0,1),则( A.a=2,b=2 C.a=2,b=1 解析
?log ?b-1?=0, ? a ? 依题意知 ?logab=1, ?

). B.a= 2,b=2 D.a= 2,b= 2

解得:a=b=2. 答案 A

4.(2011· 北京)如果 A.y<x<1 C.1<x<y

那么( B.x<y<1 D.1<y<x

).

答案

D

5.函数 y=loga(x-1)+2(a>0,a≠1)的图象恒过一定点是 ________. 答案 (2,2)

考向一

对数式的化简与求值

lg 2+lg 5-lg 8 【例 1】?(1)计算 ; lg50-lg40 2 1 (2)设 3 =4 =36,求 + 的值. a b
a b

[审题视点] (1)利用对数的运算法则; (2)将指数转化为对数,利用换底公式即可.



2×5 lg lg 2+lg 5-lg 8 lg 8 (1) = = 50 lg 50-lg 40 lg 40 lg

5 4 =1. 5 4

(2)由 3a=36,4b=36 得 a=log 336,b=log436. 1 1 由换底公式得:a=log363,b=log364, 2 1 ∴ + =2log363+log364=log3636=1. a b

n (1)利用换底公式及 logamN =mlogaN(a>0,a≠1,N
n

>0),尽量转化为同底的和、差、积、商的运算; (2)利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转化为 对数真数的积、商、幂再运算.

【训练 1】 计算:(1)lg 25+lg 2· 50+(lg 2)2; lg (2)(log32+log92)· 43+log83). (log 解 (1)原式=(lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52 =(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5 =(1+1)lg 2+2lg 5 =2(lg 2+lg 5)=2.
?lg (2)原式=?lg ? ?lg =?lg ?

2 lg 2? ?lg 3 lg 3? ?· ? ? + + 3 lg 9? ?lg 4 lg 8?

2 lg 2 ? ? lg 3 lg 3 ? ? +2lg 3?· 2+3lg 2? 3 ? ?2lg ?

3lg 2 5lg 3 5 =2lg 3· 2=4. 6lg

考向二 对数函数的图象及应用 【例 2】?若 0<a<1,则下列不等式成立的是( ).

[审题视点] 本题可依据对数函数的单调性先将各个值分置于 不同的区间上,然后依区间内的大小而确立大小关系,也可以 运用图象法,直观地判断其大小.

解析 法一

,log5a<0,log3a<0,可排除B,C,

又∵loga5<loga3,∴log5a>log3a. ∴应选A. 法二 在同一坐标系中作出函数 的图象,令x=a(0<a<1),如图.∴应选A. y=log5x,y=log3x

答案 A

对数比较大小 (1)不同底问题或可以化为同底的问题利用单调性处理; (2)不可化为同底的问题,一般利用中间值来比较大小.

【训练2】 已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,a≠1)的图象如图 所示,则a,b满足的关系是( A.0<a-1<b<1 B.0<b<a 1<1 C.0<b-1<a<1 D.0<a-1<b-1<1 解析 首先由于函数φ(x)=2x+b-1单调递增,所以a>1;又-1 <f(0)<0,即-1<logab<0,所以a-1<b<1,故0<a-1<b<1. 答案 A


).

考向三

对数函数的性质及应用

1-mx 【例3】?(2011· 南京模拟)已知f(x)=loga (a>0,a≠1)是 x-1 奇函数. (1)求m的值; (2)讨论f(x)的单调性. [审题视点] (1)利用奇函数的定义有f(-x)+f(x)=0,可求m;(2) 可采用导数讨论.

解 (1)∵f(x)是奇函数, 1+mx 1-mx ∴f(-x)+f(x)=loga +loga = -x-1 x-1 1-m2x2 loga 2 =0对定义域内的任意x恒成立, 1-x 1-m2x2 ∴ 2 =1, 1-x ∴(m2-1)x2=0,对定义域内的任意x恒成立,m=± 1. 1-mx 当m=1时, =-1,函数无意义,∴m=-1. x-1

x+1 (2)由(1)知f(x)=loga , x-1 ∴定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞), x+1 2 设t=g(x)= =1+ . x-1 x-1 ①当a>1时,f(t)=logat在(0,+∞)上为增函数, g(x)在(-∞,-1)与(1,+∞)上为减函数, ∴f(x)在(-∞,-1)与(1,+∞)上是减函数; ②当0<a<1时,f(t)=logat在(0,+∞)上为减函数,g(x)在(- ∞,-1)与(1,+∞)上为减函数,∴f(x)在(-∞,-1)与(1,+∞) 上是增函数.

研究与对数函数有关的复合函数的单调性时,一种 方法是利用导数,这时应注意正确地进行求导运算,另一种方 法是根据复合函数单调性的判断规则“同增异减”进行判断, 对于含有参数的函数,必须进行分类讨论.

【训练3】 函数f(x)=ax+loga(x+1)(a>0,a≠1)在[0,1]上最大 值和最小值之和为a,求a的值. 解 y=ax与y=loga(x+1)的单调性相同. ①当a>1时,f(x)的最大值为f(1),最小值为f(0); ②当0<a<1时,f(x)的最大值为f(0),最小值为f(1). ∴不论a>1,还是0<a<1都有f(0)+f(1)=a, 即a0+loga1+a+loga2=a. 解得:a=2.

难点突破5——与指数、对数函数求值问题有关的解题基本方法
指数与对数函数问题,高考中除与导数有关的综合问题外,一 般还出一道选择或填空题,考查其图象与性质,其中与求值或 取值范围有关的问题是热点,难度虽然不大,但要注意分类讨 论.

一、与对数函数有关的求值问题 【示例】? ______. (2011· 陕西)设f(x)=
?lg x,x>0, ? ? x ?10 ,x≤0, ?

则f(f(-2))=

二、与对数函数有关的解不等式问题 【示例】?
?21-x,x≤1, ? (2011· 辽宁改编)设函数f(x)= ? ?1-log2x,x>1, ?



满足f(x)≤2的x的取值范围是________.

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