7.2(3)等差数列的前n项和

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标 题: 关键词: 7.2(3)等差数列的前 n 项和 等差数列、前 n 项和、推导 教学目标 1.掌握等差数列前 n 项和公式推导思路和方法. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的问题 教学重点及难点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及简单应用 灵活应用等差数列前 n 项公式解决简单问题

描 述:

学 科: 媒体格式:

高 中 二 年 级 >数 学 第 一学期>7.2(3) 教学设计.doc

语 种: 学习者: 教育类型: 单 位:

汉语 学生 高中教育>高中二年 级 上海市真如中学

资源类型: 文本类素材 作 者: 地 址: Email: 常一耕

7.2(3)等差数列的前 n 项和
上海市真如中学 常一耕

一、教学内容分析 本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上,使学生掌握等 差数列求和公式,并能利用它求和 解决数列和的最值问题 等差数列
王新敞
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求和公式的推导,采用了倒序相加法,思路的获得得益于等差数列任 意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识 和发现 通过对等差数列求和公式的推导,使学生能掌握“倒序相加”
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数学方法. 二、教学目标设计 1.掌握等差数列前 n 项和公式推导思路和方法. 2.会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的问题 三、教学重点及难点 等差数列 n 项和公式的理解、推导及简单应用 灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的问题 四、教学用具准备 实物投影仪 五、教学流程设计

故事引入 推 导 方法 推导 过程

实际问题

公式推导

课堂基本练习、小结并布置作业

六、教学过程设计

一、情景引入
1.观察 高斯是伟大的数学家、天文学家.高斯十岁时,有一次老师出了一 道题目,老师说:“现在给大家出道题目: 1+2+?+100=?” 过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10;?算得不亦乐 乎时,高斯站起来回答说: “1+2+3+?+100=5050 ”
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教师问:“你是如何算出答案的? 高斯回答说: “因为 1+100=101;2+99=101;?;50+51=101,所以 101× 50=5050.” 2.思考 这个故事告诉我们: (1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能

从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西

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(2)该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想 方法.这就是 “倒序相加”法 3.讨论
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如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一 支铅笔, 往上每一层都比它下面一层多放一支, 最上面 一层放 120 支,这个 V 形架上共放着多少支铅笔? 这是一堆放铅笔的 V 形架,这形同前面所接触过的堆放钢管的 示意图,看到此图,大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的 关系,而且可以用一个式子来表示这种关系,利用它便可以求出每一 层的铅笔数.那么,这个 V 形架上共放着多少支铅笔呢?这个问题又 该如何解决呢?经过分析,我们不难看出,这是一个等差数列求和问 题? 这个问题,类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题,它可以看 成是求等差数列 1,2,3,…,n,…的前 120 项的和.在上面的求解中, 我们设想:如果还有一堆同样放置的铅笔的 V 形架.我们将它倒置拼 在一旁,那么这时每层铅笔的个数相同.可以发现所求的和可用首项、 末项及项数 n 来表示, 且任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项 与末项的和, 这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前 n 项的和 公式.如果我们可归纳出这一个公式,那么上述问题便可迎刃而解.

二、学习新课
1.公式推导 等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 推导过程: 证明: S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an ①
n(a1 ? a n ) . 2

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1



① : 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) . +② ∵a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ??. ∴2S n ? n(a1 ? an ) . 由此得: S n ?
n(a1 ? a n ) . 2
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从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?
n(n ? 1)d . 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , an .把 an ? a1 ? (n ? 1)d 入公式 1 即得: S n ? na1 ?
n(n ? 1)d . 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用) 总之:两个公式都表明要求 S n ,必须已知 n, a1 , d , an 中三个
2 2
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公式2又可化成式子:Sn ? d n2 ? (a1 ? d )n. 当d≠0,是一个常数项为零 的二次式
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2.例题分析 例 1 一个堆放铅笔的 V 型的最下面一层放一支铅笔,往上每一 层都比它下面一层多放一支,最上面一层放 120 支,这个 V 形架上 共放着多少支铅笔? 解:由题意可知,这个 V 形架上共放着 120 层铅笔,且自下而上 各层的铅笔成等差数列,记为 ?an ? ,其中 a1 ? 1, a120 ? 120,根据等差数 列前 n 项和的公式,得
S120 ? 120 ? (1 ? 120 ) ? 7260 . 2
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答:V 形架上共放着 7260 支铅笔

3.问题拓展 例 2 等差数列-10,-6,-2,2,…前多少项的和是 54? 解:设题中的等差数列为 ?an ? ,前 n 项的和为 S n ,则
a1 ? ?10, d ? (?6) ? (?10) ? 4, S n ? 54 .

由公式可得 ? 10 n ?

n(n ? 1) ? 4 ? 54 . 2

解得 n1 ? 9, n2 ? ?3 (舍). 故等差数列-10,-6,-2,2…前 9 项的和是 54.

三、巩固练习
1.求集合 M ? ?m | m ? 7n, n ? N * 且m ? 100?的元素个数,并求这些元 素的和
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解:由 7 n ? 100 得 n ?

100 2 ? 14 . 7 7

∴ 正整数 n 共有 14 个即 M 中共有 14 个元素. 即 7,14,21,…,98 是 a1 ? 7为首项 a14 ? 98 的等差数列. ∴S n ?
14 ? (7 ? 98) ? 735 . 2

四、课堂小结
本节课学习了以下内容: 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ?
n(a1 ? a n ) . 2
n(n ? 1)d . 2

2.等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

3. Sn ? d n2 ? (a1 ? d )n, ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式.
2 2

五、作业布置
课本练习:p19,1,2,3. 补充练习:

1.已知等差数列的前 n 项和为 a ,前 2n 项和为 b ,求前 3n 项和. 2.已知一个等差数列的前 10 项的和是 310,前 20 项的和是 1220,求 其前 n 项和的公式. 补充练习参考答案 1. 3(b ? a) 2.
Sn ? 3n2 ? n

七、教学设计说明 该节课是通过对于 1+2+3+?+100 的算法,发现等差数列任意的 第 k 项与倒数第 k 项的和等于首、末项的和,从而得出了求等差数列 前 n 项和的思路,获得求和的一般思路.关键是通过具体的例子发现 一般规律,然后导出前 n 项和公式.教师应多创造机会让学生自己去 发现、推导,逐步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法.


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