陕西师范大学附属中学2013-2014学年高一下学期期中考试数学试题


陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高一年级数学《必修五》试题
命题人:符洁
1.在 ?ABC 中,若 a2 ? b2 ? c2 ? bc ,则 ? A =(
A . 90 ? B . 60 ?

审题人:张文俊

一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) )
D . 150?

C . 120?

2.若 a ? b, c ? d ,则下列不等关系中不一定成立的是(
A .a ?b ? d ?c C .a?c ? b?c B .a?d ? b?c D .a?c ? a?d



3. ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知 b ? 2, B ? (
A .2

?
6

,C ?

?
4

,则 c 边长为


B .2 2

C. 3

D .2 3

4. 已知各项均为正数的等比数列 {an } 中,a1a2 a3 ? 5 ,a7 a8a9 ? 10 ,a4 a5 a6 ?(
A .5 2 B .7



C .6

D .4 2

? x2 ? y 2 ? 4 5.已知实数 x, y 满足不等式组 ? 则 z ? ( x ? 4) 2 ? ( y ? 4) 2 的最大值和最 ?x ? y ? 0
小值分别为(
A . 36 ? 16 2 ,32


B .4 2 ?2,4 2 D . 36 ? 16 2 ,36

C . 36 ? 16 2 , 4 2

1 4 6.已知 a ? 0, b ? 0, a ? b ? 2 ,则 ? 的最小值是( a b 7 9 A. B .4 C. 2 2


D .5

7.关于 x 的不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 (a ? 0) 的解集为 ( x1 , x2 ) ,且 x2 ? x1 ? 15 则 a ? (
A.


5 2
B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

8.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,把 {Sn } 的前 n 项和称为“和谐和” ,用 H n 来表 示,对于 an ? 3n ,其“和谐和” H n =( )

A.

3n ? 2 ? 6n ? 9 4 3n ?1 ? 6n ? 9 4

B.

3n ?1 ? 6n ? 9 4 3n ? 6n ? 9 4

C.

D.

9.已知等差数列 {an } 的公差 d ? 0 ,若 a4a6 ? 24, a2 ?a8 ?10 ,则该数列的前 n 项和

Sn 的最大值为(
A .50


B .35

C .40

D .45

10 . 对 于 函 数 y ? f ( x) ( x ? I ) , y ? g ( x) ( x ? I ) , 若 对 任 意 x ? I , 存 在 x0 使 得 .已知 f ( x) ? f ( x0 ), g ( x) ? g ( x0 ) 且 f ( x0 ) ? g ( x0 ) ,则称 f ( x), g ( x ) 为“兄弟函数”

f ( x) ? x2 ? px ? q ,g ( x) ?

1 x2 ? x ? 1 是定义在区间 [ , 2] 上的兄弟函数. 那么 f ( x) 在 2 x

1 区间 [ , 2] 上的最大值为( 2 3 A. B .2 2


C .4
D.

5 4

二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.不等式 ( x ? 1)3 ( x ? 2)2 (3 ? x) ? 0 的解集 12.在 ?ABC 中 a ? 80, b ? 150, A ? 30? ,则 B 的解的个数是 13.已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 ,则数列 { 和为 . . 个.
1 } 的前 200 项 an an ?1

14.若 x ? (??, ?1] ,不等式 (m ? m2 )4x ? 2x ? 1 ? 0 恒成立,则实数 m 的取值范围 .

三、解答题(本题共 5 小题,其中 15、16、17 小题每题 8 分,18 小题 12 分,19 小题 14 分) 15.已知 a ? 3 ,求
a 2 ? 3a ? 4 的最小值. a ?3

16.某工厂家具车间造 A, B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已 知木工做一张 A, B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A, B 型桌子分 别需要 3 小时和 1 小时.又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时, 而工厂一张 A, B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A, B 型 桌子各多少张,才能获最大利润?最大利润有多少?

17 . 已 知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b (a , b? R) 的值域为 [ 0,?? ),若关 于 x 的不等式
f ( x) ? c 的解集为 (m, m ? 6) ,求实数 c 的值.

1 3 18.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn ? an ? ? n 2 ? n ? 1 (n ? N * ) 2 2

(1)设 bn ? an ? n ,证明:数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn .

19.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现 有甲、 乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C .假设缆车匀 速直线运动的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1260 m, 经测量 cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 什么范围内?
12 3 cos C ? , 13 5

陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高一年级数学《必修五》答题纸
一、选择题(本题 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本题 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11. 13. 12. 14.

三、解答题(本题共 5 小题,其中 15、16、17 小题每题 8 分,18 小题 12 分,19 小题 14 分)

15.已知 a ? 3 ,求

a 2 ? 3a ? 4 的最小值. a ?3

16.某工厂家具车间造 A, B 型两类桌子,每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已 知木工做一张 A, B 型桌子分别需要 1 小时和 2 小时,漆工油漆一张 A, B 型桌子分 别需要 3 小时和 1 小时.又知木工、漆工每天工作分别不得超过 8 小时和 9 小时, 而工厂一张 A, B 型桌子分别获利润 2 千元和 3 千元,试问工厂每天应生产 A, B 型 桌子各多少张,才能获最大利润?最大利润有多少?

17 . 已 知函数 f ( x) ? x2 ? ax ? b (a , b? R) 的值域为 [ 0,?? ),若关于 x 的不等式
f ( x) ? c 的解集为 (m, m ? 6) ,求实数 c 的值.

1 3 18.数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 Sn ? an ? ? n 2 ? n ? 1 (n ? N * ) 2 2

(1)设 bn ? an ? n ,证明:数列 {bn } 是等比数列; (2)求数列 {nbn } 的前 n 项和 Tn .

19.如图,游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径.一种是从 A 沿 直线步行到 C ,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B ,然后从 B 沿直线步行到 C .现 有甲、 乙两位游客从 A 处下山, 甲沿 AC 匀速步行, 速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B ,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C .假设缆车匀 速直线运动的速度为 130 m/min, 山路 AC 长为 1260 m, 经测量 cos A ? (1)求索道 AB 的长; (2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应控制在 什么范围内?
12 3 cos C ? , 13 5

陕西师大附中 2013—2014 学年度第二学期 期中考试高一年级数学《必修五》答案
一、选择题 1 C 2 B 3 B 4 A 5 B 6 C 7 A 8 A 9 D 10 B

二、填空题 11. (?1, 2) ? (2,3) 三、解答题 15.解: Q a ? 3
?a ? 3 ? 0

12.

2

13.

200 201

14. (?2,3)

a 2 ? 3a ? 4 4 4 4 ?a? ? (a ? 3) ? ? 3 ? 2 (a ? 3) ?3? 7 a ?3 a ?3 a ?3 a ?3
当且仅当 a ? 3 ?
4 ,即 a ? 5 时原式有最小值 7. a ?3

16.解:设工厂每天生产 x 张 A 型桌子, y 张 B 型桌子,则

?x ? 2 y ? 8 ?3x ? y ? 9 ? ? ? x ? 0且x ? Z ? ? y ? 0且y ? Z
如图作可行域
z ? 2x ? 3 y

?x ? 2 y ? 8 ? ?3x ? y ? 9

?x ? 2 ? ?y ? 3

即 M (2,3)

做 l0 : 2x ? 3 y ? 0 向上平移至经过点 M 时 Z 最大 当 x ? 2, y ? 3 时 Zmax ? 2 ? 2 ? 3 ? 3 ? 13 即每天生产 2 张 A 型桌子,3 张 B 型桌子可以使利润最大,最大值为 13 千元.
a a2 17.解: f ( x) ? x 2 ? ax ? b ? ( x ? )2 ? b ? 2 4

Q f ( x) 的值域为 [0, ??)

?b ?

a2 ?0 4

a 即: f ( x) ? ( x ? ) 2 2

又? f ( x) ? c
a ? ( x ? )2 ? c 2

即? c ?

a a ?x? c? 2 2

a ? ? c? ?m ? ? 2 ?? a ? c ? ?m?6 ? ? 2
?c ? 9

1 3 18.解: (1) S n ? an ? ? n 2 ? n ? 1 2 2 1 3 Sn ?1 ? an ?1 ? ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 1 2 2

? 2an ?1 ? an ? ?n ? 2 2(an ?1 ? n ? 1) ? an ? n
bn ?1 1 ? (n ? 1) bn 2

即 2bn ?1 ? bn
1 2

b1 ?

1 1 ,公比为 的等比数列. 2 2 1 n n nbn ? n (2) bn ? ( ) 2 2 1 2 3 4 n Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? L ? n ① 2 2 2 2 2 1 1 2 3 4 n Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? L ? n ?1 ② 2 2 2 2 2 2

所以数列 {bn} 是一个首项为

①-②
1 1 1 1 1 1 1 n 1 n Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? L ? n ? n ?1 ? 1 ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n?2 ? Tn ? 2 ? n 2 12 3 19. (1)在 ?ABC 中 Q cos A ? , cos C ? 13 5 5 4 ? sin A ? ,sin C ? , 13 5

sin B ? sin[? ? ( A ? C )] ? sin( A ? C ) ? sin A cos C ? sin C cos A
5 3 12 4 63 ? ? ? ? 13 5 13 5 65 AB AC ? 由正弦定理得: sin C sin B 4 1260 ? AC ? sin C 5 ? 1040 即: AB ? ? 63 sin B 65 ?

(2)假设乙出发 t 分钟后,甲乙两游客距离为 d .这时甲行走了 (100 ? 50t ) 米, 乙距离 A 处 130t 米

d 2 ? (100 ? 50t )2 ? (130t )2 ? 2 ?130t ? (100 ? 50t ) ?

12 ? 200(37t 2 ? 70t ? 50) 13

?0 ? t ?

1040 即0 ? t ? 8 130 35 35 ? 当 t ? , 即乙出发后 min ,甲乙两游客距离最短. 37 37 BC AC ? (3)由正弦定理 得 sin A sin B AC 1260 5 BC ? ? sin A ? ? ? 500 63 13 sin B 65

乙从 B 出发时甲走了 50 ? (2 ? 8 ? 1) ? 550 设乙步行的速度为 v m
?3 ?

min

,则
1250 625 ?v? 43 14

500 1260-550 ? ?3 v 50

解得:

所以,为使两游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟,乙步行的速度应为
1250 625 [ , ] . 43 14

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