江苏省南京师大附中江宁分校2011-2012学年高一下学期期末调研数学试卷(必修5)

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南京师大附中江宁分校 2011~2012 学年度第二学期期末调研测试卷 高一数学
本试卷包括填空题(第 1 题~第 14 题) 、解答题(第 15 题~第 20 题)两部分。本试卷满 分 100 分,考试时间 120 分钟。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分。 1. 已知集合 P ? ?? 1, 0, 2, 4?, Q ? ?x || x |? 1?,则 P ? Q ? __________。 2. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P(1,2)到直线 4 x ? 3 y ? 5 ? 0 的距离为__________。 3. 函数 f ?x ? ? 2 sin? ?x ? 4. 函数 f ? x ? ? log 2 x ?

? ?

??

? ( ? ? 0 )的最小正周期为 ? ,则 ? ? __________。 3?

1 的零点个数为__________。 x

5. 设向量 a ? ?x, ? 2? , b ? ?x ? 1, 1? 互相垂直,则实数 x 的值为__________。 6. 求值: sin?? 870?? =__________。 7. 函 数 y ? a x?2 ? 1?a ? 0, 且a ? 1? 的 图 象 经 过 一 个 定 点 , 则 该 定 点 的 坐 标 是 __________。 8. 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 若 三 条 直 线 2 x ? y ? 5 ? 0 , x ? y ? 1 ? 0 和

ax ? y ? 3 ? 0 相交于一点,则实数 a 的值为__________。
9. 给出下列命题: ①在空间,若两条直线都与第三条直线平行,则这两条直线平行; ②在空间,若两条直线都与第三条直线垂直,则这两条直线平行; ③在空间,若两条直线都与一个平面平行,则这两条直线平行; ④在空间,若两条直线都与一个平面垂直,则这两条直线平行; 其中,正确命题的序号是 。 (写出所有正确命题的序号) 10. 在等差数列 ?an ? 中,若 a3 ? 2, a9 ? 10,则 2a13 ? a20 ? __________。 11. 已知正三角形 ABC 的边长为 2, 沿着 BC 边上的高 AD 将正三角形折起, 使得平面 ABD ⊥平面 ACD(如图) ,则三棱锥 A-BCD 的体积为__________。

(图 1)
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(图 2)

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? x ? y ? 3 ? 0, ? 12. 已知变量 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ? 0, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为__________。 ? x ? 3 ? 0, ?
13. 观察下列数表:

根据以上排列规律,数表中第 n?n ? N *? 行中所有数的和为__________。 14. 设 f ?x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ?? 1? ? 0 ,若不等式

x1 f ?x1 ? ? x2 f ?x2 ? ?0对 x1 ? x2

区间 ?? ?, 0? 内任意两个不相等的实数 x1 , x2 都成立,则不等式 xf ?2 x ? ? 0 的解集是 __________。 二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. (本小题满分 8 分) 已知向量 a ? ?cos? , ? 1? , b ? ?2, 1 ? sin ? ? ,且 a ? b ? ?1 。 (1)求 tan ? 的值; (2)求 tan? ? ?

? ?

??

? 的值。 4?

16. (本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(-2,1) ,直线 l : 2 x ? y ? 3 ? 0 。 (1)若直线 m 过点 A,且与直线 l 垂直,求直线 m 的方程; (2)若直线 n 与直线 l 平行,且在 x 轴、 y 轴上的截距之和为 3,求直线 n 的方程。 17. (本小题满分 10 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PD⊥底面 ABCD,E 为侧棱 PD 的中点,AC 与 BD 的交点为 O。

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求证: (1)直线 OE∥平面 PBC; (2)平面 ACE⊥平面 PBD。 18. (本小题满分 10 分) 在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c ,且 A,B,C 成等差数列。 (1)若 b ? 2 3 , c ? 2 ,求△ABC 的面积; (2)若 sin A, sin B, sin C 成等比数列,试判断△ABC 的形状。 19. (本小题满分 10 分) 某厂生产 A 产品的年固定成本为 250 万元,若 A 产品的年产量为 x 万件,则需另投入 成本 C ?x ? (万元) 。已知 A 产品年产量不超过 80 万件时, C ? x ? ? 量大于 80 万件时,C ? x ? ? 51x ?

1 2 x ? 10 x ;A 产品年产 3

10000 ? 1450 。因设备限制,A 产品年产量不超过 200 万 x ? 80

件。现已知 A 产品的售价为 50 元/件,且年内生产的 A 产品能全部销售完。设该厂生产 A 产品的年利润为 L(万元) 。 (1)写出 L 关于 x 的函数解析式 L?x ? ; (2)当年产量为多少时,该厂生产 A 产品所获的利润最大? 20. (本小题满分 10 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ? ?n 2 ,数列 ?bn ? 满足: b1 ? 2 , bn?1 ? 3bn ? t ?n ? 1? ( t ? R, n ? N * ) 。已知 an?1 ? bn?1 ? 3?an ? bn ? 对任意的 n ? N * 都成立。 (1)求 t 的值;
2 (2)设数列 an ? an bn 的前 n 项和为 Tn ,问是否存在互不相等的正整数 m, k , r ,

?

?

使得 m, k , r 成等差数列,且 Tm ? 1, Tk ? 1, Tr ? 1 成等比数列?若存在,求出 m, k , r 的
值;若不存在,说明理由。

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【试题答案】

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说明: 1. 本解答给出的解法供参考。如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内 容比照评分标准制订相应的评分细则。 2. 对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3. 解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4. 只给整数分数,填空题不给中间分数。 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 3 分,共 42 分。 1. ?0? 2. 3 3. 2 4. 1 5. 2 或-1 6. ?

1 2
n ?1

7. (2,2)

8. 1

9. ①④

10. 6

11.

3 6

12. 12

13. 3 ? 2

?2

14. ? ?

? 1 ? ? 1? , 0 ? ? ? 0, ? ? 2 ? ? 2?

二、解答题:本大题共 6 小题,共 58 分。第 15 题 8 分,第 16~20 题每题 10 分。 15. 解: (1)因为 a ? b ? 2 cos? ? ?1 ? sin ? ? ? ?1 , 分) (2 即 sin ? ? 2 cos ? 。 显然, cos ? ? 0 ,所以 tan ? ? 2 。 分) (4 (2)由(1)得 tan?? ?

? ?

??

tan? ? 1 (6 分) ?? 4 ? 1 ? tan?

?

2 ?1 ? ?3 。 分) (8 1? 2 1 , 分) (2 2

16. 解: (1)由题意,直线 l 的斜率为 2,所以直线 m 的斜率为 ? 所以直线 m 的方程为 y ? 1 ? ?

1 ?x ? 2? ,即 x ? 2 y ? 0 。 分) (4 2

(2)由题意,直线 l 的斜率为 2,所以直线 n 的斜率为 2, 设直线 n 的方程为 y ? 2 x ? b 。 分) (6 令 x ? 0 ,得 y ? b ;令 y ? 0 ,得 x ? ? 由题知 b ?

b 。 分) (8 2

b ? 3 ,解得 b ? 6 。 2

所以直线 n 的方程为 y ? 2 x ? 6 ,即 2 x ? y ? 6 ? 0 。 (10 分) 17. 证: (1)在正方形 ABCD 中,AC 与 BD 的交点 O 为 BD 的中点。
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又因为 E 为 PD 的中点,所以 OE∥PB。 分) (2 因为 OE ? 平面 PBC, PB ? 平面 PBC,所以 OE∥平面 PBC。 分) (4

(2)因为 PD⊥底面 ABCD,AC ? 平面 ABCD, 所以 PD⊥AC。 分) (6 在正方形 ABCD 中,AC⊥BD。 又因为 BD ? 平面 PBD,PD ? 平面 PBD,且 BD ? PD ? D , 所以 AC⊥平面 PBD。 分) (8 又因为 AC ? 平面 ACE, 所以平面 ACE⊥平面 PBD。 (10 分) 18. 解:因为 A,B,C 成等差数列,所以 2 B ? A ? C 。 又 A+B+C= ? ,所以 B ?

?
3

。 分) (2

(1)解法一:因为 b ? 2 3 , c ? 2 ,所以

由正弦定理得

b c 3 ? , 即 b s i nC ? c s i nB , 即 2 3 s i nC ? 2 ? ,得 sin B sin C 2

s i nC ?

1 。 2

因为 b ? c ,所以 B ? C ,即 C 为锐角,所以 C ? 所以 S △ ABC ?

?
6

,从而 A ?

?
2

。 分) (4

1 bc ? 2 3 。 分) (6 2
2 2 2

解法二:由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ,
2 即 a ? 2a ? 8 ? 0 ,得 a ? 4 。 分) (4

所以 S △ ABC ?

1 1 3 ac sin B ? ? 4 ? 2 ? ? 2 3 。 分) (6 2 2 2

2 (2)因为 sin A , sin B , sin C 成等比数列,所以 sin B ? sin A ? sin C 。 分) (7

由正弦定理得 b ? ac (8 分)
2

由余弦定理得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? a ? c ? ac 。
2 2 2 2 2

所以 ac ? a ? c ? ac ,即 ?a ? c? ? 0 ,即 a ? c 。 分) (9
2 2

2

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又因为 B ?

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?
3

,所以△ABC 为等边三角形。 (10 分)

19. 解: (1)由题意知

? 1 2 ?? 3 x ? 40x ? 250, 0 ? x ? 80, ? (4 分) L?x ? ? 50x ? C ?x ? ? 250 ? ? ?1200? ? x ? 10000?, 80 ? x ? 200. ? ? ? x ? 80 ? ? ?
(2)①当 0 ? x ? 80 时, L? x ? ? ?

1 ?x ? 60 ?2 ? 950 ,所以 3

当 x ? 60 时, L?x?max ? L?60? ? 950; 分) (6 ②当 80 ? x ? 200 时,

10000? ? L?x ? ? 1120? ??x ? 80? ? ? 1120? 2 x ? 80? ? ?
当且仅当 x ? 80 ?

(8 ?x ? 80? ? 10000 ? 920。 分)

x ? 80

10000 ,即 x ? 180 时, “=”成立。 x ? 80

因为 180? (80, 200] ,所以 L?x?max ? 920 ? 950。 分) (9 答:当年产量为 60 万件时,该厂所获利润最大。 (10 分) 20. 解: (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? ?n 2 ? ?n ? 1? ? 1 ? 2n ;
2
2 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? ?1 ? 1 ? 2 ?1 ,也适合上式。

所以 an ? 1 ? 2n?n ? N *? 。 分) (2 因为 an?1 ? bn?1 ? 3?an ? bn ? 对任意的 n ? N * 都成立, b1 ? 2 , 所以 a1 ? b1 ? ?1 ? 2? ? 2 ? 1 , 所以 an ? bn ? 0 ,且

a n?1 ? bn?1 ? 3, a n ? bn

所以,数列 ?an ? bn ?是首项为 1,公比为 3 的等比数列。 所以 an ? bn ? 3n?1 , 分) (4 即 bn ? 3
n?1

? ?1 ? 2n? ? 3n?1 ? 2n ? 1 ,

因为 bn?1 ? 3bn ? t ?n ? 1??t ? R? , 所以 3 ? 2n ? 1 ? 3 3
n

?

n?1

? 2n ? 1 ? t ?n ? 1?

?

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所以 ?t ? 4??n ? 1? ? 0 对任意的 n ? N * 都成立, 所以 t ? 4 。 分) (6
2 (2)由(1)得 an ? an bn ? an ?an ? bn ? ? ?1 ? 2n? ? 3n?1 ,

所以 Tn ? ?1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ... ? ?2n ? 1? ? 3n?1 , 所以 ? Tn ? 1 ? 3 ? 3 ? 5 ? 32 ? 7 ? 33 ? ... ? ?2n ? 1? ? 3n?1 ,

? 3Tn ? 3 ? 3 ? 32 ? 5 ? 33 ? 7 ? 34 ? ... ? ?2n ? 1? ? 3n ,
两式相减,得

2Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 ? 32 ? 2 ? 33 ? ... ? 2 ? 3n?1 ? ?2n ? 1?3n
? 1 ? 2 3 ? 32 ? 33 ? ... ? 3n?1 ? ?2n ? 1? ? 3n
? 1? 2? 3 ? 3n ? ?2n ? 1? ? 3n ? 2?1 ? n ? ? 3n ? 2 。 1? 3

?

?

解得 Tn ? ?1 ? n? ? 3n ? 1 。 分) (8 所以 Tn ? 1 ? ?1 ? n? ? 3n 。 若存在互不相等的正整数 m, k , r 成等差数列,且 Tm ? 1, Tk ? 1, Tr ? 1 成等比数列, 则 ?Tk ? 1? ? ?Tm ? 1??Tr ? 1? ,
2

即 ?1 ? k ? ? 32k ? ?1 ? m??1 ? r ? ? 3m?r 。 (*)
2
2k m? r 由 m, k , r 成等差数列,得 2k ? m ? r ,所以 3 ? 3 。

所以由(*)得 ?1 ? k ? ? ?1 ? m??1 ? r ? 。
2

即 k ? 2k ? 1 ? mr ? ?m ? r ? ? 1 。
2

所以 k ? m r ,
2

?m?r? 2 即? ? ? mr ,即 ?m ? r ? ? 0 ,即 m ? r 。 ? 2 ?
2

这与 m ? r 矛盾, 所以,不存在满足条件的正整数 m, k , r 。 (10 分)

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