云南省云天化中学2015-2016学年高二数学4月月考试题 理

云天化中学 2015—2016 学年下学期 4 月月考试卷 高 二 数 学(理)

说明: 1.时间:120 分钟;分值:150 分;

2.本卷分Ⅰ、Ⅱ卷,请将第Ⅰ卷选择题答案填入机.读.答.题.卡. 第Ⅰ卷 选择题(共 60 分)

一、选择题:(每小题 5 分,共 60 分。每小题只.有.一.个.选项符合题意。)

1.已知a-i2i=b+i(a,b∈R),则 a-b=(

).

A.1

B.2

C.-1

D.-3

2.已知命题 P : ?x ? R, x2 ?1 ? 0 ;命题 q : ?x ? R,sin(x ? ? ) ? 1。则下列判断正确的是(



3

A. ?p 是假命题 B. q 是假命题 C. p ? (?q) 是真命题 D. (?p) ? (q) 是真命题

3.若函数 f(x)=ax4+bx2+c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( ).

A.-1

B.-2

C.2

D.0

4.已知动圆圆心在抛物线 y2=4x 上,且动圆恒与直线 x=-1 相切,则此动圆必过定点( ).

A.(2,0)

B.(0,1)

C. (1,0) D.(0,-1)

5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).

A.16+8π

B.8+8π

C.16+16π

D.8+16π

6.用数学归纳法证明

111

1 11 1

1

1-2+3-4+…+2n-1-2n=n+1+n+2+…+2n,则当

n=k+1

时,左端应在

n=k

的基础上

加上( ).

1 A.2k+2

1 B.-2k+2

C.2k1+1-2k1+2

D.2k1+1+2k1+2

7.如果执行如图所示的程序框图,输出的 S=110,则判断框内应填入的条件是( ).

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A.k<10? B.k≥11? C.k≤10?

D.k>11?

8.由直线 x=-π3 ,x=π3 ,y=0 与曲线 y=cos x 所围成的封闭图形的面积为( )

1

3

A.2

B.1

C. 2

D. 3

9.设曲线 y=xx+ -11在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=(

).

1

1

A.2

B.-2

C.-2

D.2

10.设

P

x2 y2 是双曲线16-20=1

上一点,F1,F2

分别是双曲线左、右两个焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=(

).

A.1

B.17

C.1 或 17

D.以上答案均不对

11.设函数 f(x)的定义域为 R,x0(x0≠0)是 f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是

A.? x∈R,f(x)≤f(x0)

B.-x0 是 f(-x)的极小值点

C.-x0 是-f(x)的极小值点

D.-x0 是-f(-x)的极小值点

12.已知椭圆 E:xa22+yb22=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),过点 F 的直线交 E 于 A,B 两点.若 AB 的中点坐标为(1,-1),

则椭圆 E 的离心率为( ).

A. 2 2

B. 3 3

C. 1 2

D. 1 3

第Ⅱ卷 非选择题(共 90 分)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。)

13.已知 2+23=22×23,3+38=32×38,4+145=42×145,…,若 9+ba=92×ba(a,b 为正整数),则 a+b=________.

14.已知函数 f(x)=ax2+bln

x



x=1

1 处有极值2.则

a

?

b

?

.

15.已知函数 f(x)=2ln x-x f ?(1) ,则曲线 y=f(x)在 x=1 处的切线方程是

.

? f (x ? 4), x ? 0

f

(x)

?

? ?

?

? ??2x ?

6 cos 3xdx, x ? 0
0

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16.若

,则 f(2 014)=________.

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17 题(本题满分 10 分)
已知△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 acos B+ 3bsin A=c. (1)求角 A 的大小;
→→ (2)若 a=1,AB·AC=3,求 b+c 的值.

18 题(本题满分 12 分) 设数列{an}满足 a1=2,a2+a4=8,且对任意 n∈N*,函数
f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x 满足 f ?(? ) ? 0 . 2
(1)求数列{an}的通项公式;
1 (2)若 bn ? 2(an ? 2an ,) 求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
19 题(本题满分 12 分) 设函数 f(x)=(x-1)ex-kx2.
(1)当 k=1 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,求实数 k 的取值范围.
20 题(本题满分 12 分) 如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,点 E 在线段 PC 上,PC⊥平面 BDE. (1)证明:BD⊥平面 PAC; (2)若 PA=1,AD=2,求二面角 B-PC-A 的正切值.

21 题(本题满分 12 分学) 已知函数 f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,求 a 与 b 的值; (2)若曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,求 b 的取值范围.
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22.(本小题满分 12 分)

在平面直角坐标系 xoy 中,点 P 到 F1(0,? 3) 、 F2(0, 3) 两点的距离之和等于 4 .设点 P 的轨迹为 C 。 (1) 求轨迹 C 的方程;

?

?

?

?

(2) 设直线 l : y ? kx ?1与曲线 C 交于 A 、 B 两点,当 k 为何值时 OA? OB ? AB (O 为坐标原点)此时 AB 的

值是多少?

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云天化中学 2015—2016 学年高二下期 4 月月考 高 二 数 学(理) 参 考 答 案

一、选择题 1—5:ADBCA; 6—10:CCDBB ; 11—12:DA

二、填空题 13. 89 三、解答题

14. a ? b ? ? 1 2

15. x-y-2=0

17. 解 (1)由 acos B+ 3bsin A=c,得

sin Acos B+ 3sin Bsin A=sin (A+B),

即 3sin BsinA=cos Asin B,

所以 tan A= 33,故 A=π6 .

(5 分)

→→ (2)由AB·AC=3,得 bccos

π 6

=3,即

bc=2

3,①

又 a=1,

∴1=b2+c2-2bccos

π 6

,②

由①②可得(b+c)2=7+4 3,所以 b+c=2+ 3.

(10 分)

7 16. 12

18. 解 (1)由题设可得,对任意 n∈N*,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.

f′???π2 ???=an-an+1+an+2-an+1=0,

即 an+1-an=an+2-an+1,故{an}为等差数列. 由 a1=2,a2+a4=8,解得数列{an}的公差 d=1,

所以 an=2+1·(n-1)=n+1.

(6 分)

(2)由 bn=

=2???n+1+2n1+1???=2n+21n+2,

知 Sn=b1+b2+…+bn=2n+2·n

n+ 2

+12???1-???112???n???=n2+3n+1-21n.
1-2

(12 分)

19. 解 (1)当 k=1 时,f(x)=(x-1)ex-x2, ∴f′(x)=ex+(x-1)ex-2x=x(ex-2). 令 f′(x)>0,即 x(ex-2)>0,

∴x>ln 2 或 x<0. 令 f′(x)<0,即 x(ex-2)<0,∴0<x<ln 2.

因此函数 f(x)的递减区间是(0,ln 2);

递增区间是(-∞,0)和(ln 2,+∞).

( 6 分)

(2)易知 f′(x)=ex+(x-1)ex-2kx=x(ex-2k).

∵f(x)在 x∈[0,+∞)上是增函数,

∴当 x≥0 时,f′(x)=x(ex-2k)≥0 恒成立. ∴ex-2k≥0,即 2k≤ex 恒成立.

由于 ex≥1,∴2k≤1,则 k≤12.

又当 k=12时,f′(x)=x(ex-1)≥0 当且仅当 x=0 时取等号.

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因此,实数 k 的取值范围是???-∞,12???.

(12)

20.(1)证明 ∵PA⊥平面 ABCD,BD? 平面 ABCD, ∴PA⊥BD. 同理由 PC⊥平面 BDE,可证得 PC⊥BD. 又 PA∩PC=P,∴BD⊥平面 PAC. (4 分) (2)解

如图,分别以射线 AB,AD,AP 为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系. 由(1)知 BD⊥平面 PAC,

又 AC? 平面 PAC,∴BD⊥AC.

故矩形 ABCD 为正方形,

∴AB=BC=CD=AD=2.

∴A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,1).







∴PB=(2,0,-1),BC=(0,2,0),BD=(-2,2,0).

设平面 PBC 的一个法向量为 n=(x,y,z),则

?→ n·PB=0,
??n·→BC=0,

即?????20· ·xx+ +02· ·yy- +z0= ·0z, =0,

∴?????zy= =20x,, 取 x=1 得 n=(1,0,2).

∵BD⊥平面 PAC,



∴BD=(-2,2,0)为平面 PAC 的一个法向量.

→ cos<n,BD>=



n·BD

10

→ =- 10 .

|n|·|BD|

设二面角 B-PC-A 的平面角为 α ,由图知 0<α <π2 ,

∴cos α = 1100,sin α = 1-cos2α =3 1010.

∴tan

α

sin =cos

α α

=3,即二面角 B-PC-A 的正切值为 3.

21.解 由 f(x)=x2+xsin x+cos x,得 f′(x)=2x+sin x+x(sin x)′-sin x=x(2+cos x).

(1)因为曲线 y=f(x)在点(a,f(a))处与直线 y=b 相切,所以 f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).

解得 a=0,b=f(0)=1.

(5 分)

(2)设 g(x)=f(x)-b=x2+xsin x+cos x-b.

令 g′(x)=f′(x)-0=x(2+cos x)=0,得 x=0.

当 x 变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:

x

(-∞,0)

0

(0,+∞)

g′(x)



0



g(x)

1-b

所以函数 g(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,且 g(x)的最小值为 g(0)=1-b.

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①当 1-b≥0 时,即 b≤1 时,g(x)=0 至多有一个实根,曲线 y=f(x)与 y=b 最多有一个交点,不合题意. ②当 1-b<0 时,即 b>1 时,有 g(0)=1-b<0, g(2b)=4b2+2bsin 2b+cos 2b-b>4b-2b-1-b>0. ∴y=g(x)在(0,2b)内存在零点, 又 y=g(x)在 R 上是偶函数,且 g(x)在(0,+∞)上单调递增, ∴y=g(x)在(0,+∞)上有唯一零点,在(-∞,0)也有唯一零点. 故当 b>1 时,y=g(x)在 R 上有两个零点, 则曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点. 综上可知,如果曲线 y=f(x)与直线 y=b 有两个不同交点,那么 b 的取值范围是(1,+∞).(12 分)

22. 解:(1)由点 P 到 F1(0,? 3) 、 F2(0, 3) 两点的距离之和等于 4 结合椭园定义知:

点 P 的轨迹为 C 是以 F2(0, 3) 、 F2(0, 3) 为焦点的椭圆,设椭圆 C 的标准方程为:

x2 a2

?

y2 b2

? 1(a

?b

?

0)

?2a ? 4

?a ? 2

? ?C ? 3 由 ??C 2 ? a2

得??b ? 1 轨迹 C 的方程为 ? b2 ??c ? 3

y2 4

?

x2 1

?1

(4 分)

(2)设 A(x1, y1) , B(x2 , y2 ) ,

?y ? kx?1 由 ??4x2 ? y2 ? 4

得 (k 2 ? 4)x2 ? 2kx ? 3 ? 0 ,

? ? (2k)2 ? 4(k 2 ? 4) ? (?3) ? 16(k 2 ? 3) ? 0

2k

3

x1 ? x2 ? ? k 2 ? 4 , x1x2 ? ? k 2 ? 4

(6 分)

y1 y2 ? (kx1 ?1)(kx2 ?1) ? k 2 x1x2 ? k(x1 ? x2 ) ?1

?

?

?

?

?

由 OA? OB ? AB 得 OA ? OB 所以

??
OA? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即

(8 分)

x1x2

?

y1 y2

?

?

3 k2 ?

4

?

3k 2 k2 ?4

?

k2

2k 2 ? 4?1

?

? 4k 2 ?1 k2 ?4

?

0

(9 分)

解得 k ? ? 1 2

4

12

x1

?

x2

?

?

17

,

x1x2

?

? 17

(10)

?
AB ?

1? k2

(x1 ? x2 )2

? 4x1x2

?

4 65 17

(12 分)

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