利用基本不等式求最值的技巧


利用基本不等式求最值的技巧
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的功能,但一 定要注意应用的前提: “一正” 、 “二定” 、 “三相等” .所谓“一正”是指“正数” , “二定” 指应用定理求最值时,和或积为定值, “三相等”是指满足等号成立的条件.
2 2 在运用基本不等式 a ? b ? 2ab 与 ab ?

a?b 或其变式解题时,要注意如下技巧 2

1:配系数 【例 1】已知 0 ? x ?

3 ,求 y ? x(3 ? 2 x) 的最大值. 2

2:添加项 【例 2】已知 x ?

3 2 ,求 y ? x ? 的最小值. 2 2x ? 3

3:分拆项 【例 3】已知 x ? 2 ,求 y ?

x 2 ? 3x ? 6 的最小值. x?2

-1-

4:巧用”1”代换 【例 4】已知正数 x, y 满足 2 x ? y ? 1 ,求

1 2 ? 的最小值. x y

一般地有 , (ax ? by)( ?

c x

d ) ? ( ac ? bd ) 2 ,其中 x, y, a, b, c, d 都是正数.这里巧妙 y

地利用”1”作出了整体换元,从而使问题获得巧解. 【例 5】已知正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求

1 4 9 ? ? 的最小值. x y z

5:换元 【例 6】已知 a ? b ? c ,求 w ?

a?c a?c ? 的最小值. a?b b?c

【例 7】已知 x ? ?1 ,求 y ?

x ?1 的最大值. x ? 5x ? 8
2

-2-

6:利用对称性 【例 8】已知正数 x, y , z 满足 x ? y ? z ? 1 ,求 2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 的最大值. 【分析】由于条件式 x ? y ? z ? 1 与结论式

2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 都是关于正数
1 时 取 到 , 这 时 3

x, y , z 轮 换 对 称 的 , 故 最 大 值 必 然 是 当 x ? y ? z ?

2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 ?

5 ,从而得到下面证明思路与方向 3 5 5 ? 2x ? 1 ? , 3 3

【解】利用基本不等式 2 ab ? a ? b 得 2 (2 x ? 1) ?

2 (2 y ? 1) ?

5 5 5 5 ? 2 y ? 1 ? , 2 (2 z ? 1) ? ? 2 z ? 1 ? ,以上三式同向相加得 3 3 3 3

2( 2 x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2 z ? 1)

5 3

? 2( x ? y ? z) ? 3 ? 5 ? 10 , 所 以 化 简 得
1 时 3

2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 ? 15 , 所 以 当 且 仅 当 x ? y ? z ? 2x ? 1 ? 2 y ? 1 ? 2z ? 1 取到最大值 15 .

一般地,如果条件式与结论式都是关于各个元素轮换对称的 ,则最值必定是在各个元素相等 时取到.利用这一思想往往可给解题者提供解题的方向与思路.

7:直接运用化为其它 【例 9】已知正数 a , b 满足 ab ? a ? b ? 3 ,求 ab 的取值范围.

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含参不等式的解法举例

当在一个不等式中含有了字母,则称这一不等式为含参数的不等式,那么此时的参数可 以从以下两个方面来影响不等式的求解,首先是对不等式的类型(即是那一种不等式)的影 响, 其次是字母对这个不等式的解的大小的影响。 我们必须通过分类讨论才可解决上述两个 问题, 同时还要注意是参数的选取确定了不等式的解, 而不是不等式的解来区分参数的讨论。 解参数不等式一直是高考所考查的重点内容, 也是同学们在学习中经常遇到但又难以顺利解 决的问题。下面举例说明,以供同学们学习。 一、含参数的一元二次不等式的解法: 例 1:解关于的 x 不等式 (m ? 1) x2 ? 4 x ? 1 ? 0(m ? R) 分析:当 m+1=0 时,它是一个关于 x 的一元一次不等式;当 m+1 ? 1 时,还需对 m+1>0 及 m+1<0 来分类讨论,并结合判别式及图象的开口方向进行分类讨论:⑴当 m<-1 时,⊿ =4 (3-m) >0, 图象开口向下, 与 x 轴有两个不同交点, 不等式的解集取两边。 ⑵当-1<m<3 时,⊿=4(3-m)>0, 图象开口向上,与 x 轴有两个不同交点,不等式的解集取中间。⑶ 当 m=3 时,⊿=4(3-m)=0,图象开口向上,与 x 轴只有一个公共点,不等式的解为方程

4 x 2 ? 4 x ? 1 ? 0 的根。⑷当 m>3 时,⊿=4(3-m)<0,图象开口向上全部在 x 轴的上方,
不等式的解集为 ? 。 解: 当m ? ?1时, 原不等式的解集为 ? x | x ? ? ;

? ?

1? 4?

当m ? ?1时, (m ? 1) x 2 ? 4 x ? 1 ? 0的判别式?=( 4 3-m); ? 2? 3?m 2? 3?m? 则当m ? ?1时,原不等式的解集为 或x ? ?x | x ? ? m ?1 m ?1 ? ? ? 2? 3?m 2? 3?m? 当 ? 1 ? m ? 3时, 原不等式的解集为 ?x? ?x | ? m ?1 m ?1 ? ?
当 m=3 时,原不等式的解集为 ? x | x ? 当 m>3 时, 原不等式的解集为 ? 。 小结:⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解,若不易分解,也可对判 别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确:①图象开口方向,②判别式确定解的存在范围, ③两根大小。⑶二次项的取值(如取 0、取正值、取负值)对不等式实际解的影响。 牛刀小试:解关于 x 的不等式 ax ? 2(a ? 1) x ? 4 ? 0, (a ? 0)
2

? ?

1? ?; 2?

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思路点拨:先将左边分解因式,找出两根,然后就两根的大小关系写出解集。具体解答 请同学们自己完成。 二、含参数的分式不等式的解法: 例 2:解关于 x 的不等式

ax ? 1 ?0 x ?x?2
2

分析:解此分式不等式先要等价转化为整式不等式,再对 ax-1 中的 a 进行分类讨论求 解,还需用到序轴标根法。 解:原不等式等价于 (ax ? 1)(x ? 2)(x ? 1) ? 0 当 a =0 时,原不等式等价于 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 解得 ? 1 ? x ? 2 ,此时原不等式得解集为{x| ? 1 ? x ? 2 }; 当 a >0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

1 则:当 a ? 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? ?1且x ? 2? ; 2 1 1 ? 当 0< a ? 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; 2 a ? ?

1 1 ? 当 a ? 时, 原不等式的解集为 ? ? x | ?1 ? x ? 或x ? 2? ; 2 a ? ?
当 a <0 时, 原不等式等价于 ( x ?

1 )( x ? 2)( x ? 1) ? 0 , a

则当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ?x | x ? 2且x ? ?1? ;
1 ? 当 ? 1 ? a ? 0 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? 或 ? 1 ? x ? 2? ; a ? ? 1 ? 当 a ? ?1 时, 原不等式的解集为 ? ? x | x ? ?1或 ? x ? 2? ; a ? ?

小结:⑴本题在分类讨论中容易忽略 a =0 的情况以及对

1 ,-1 和 2 的大小进行比较再 a

结合系轴标根法写出各种情况下的解集。 ⑵解含参数不等式时, 一要考虑参数总的取值范围, 二要用同一标准对参数进行划分, 做到不重不漏, 三要使划分后的不等式的解集的表达式是 确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段,把不等号一边化为 0,再 转化为乘积不等式来解决。

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牛刀小试:解关于 x 的不等式

a ( x ? 1) ? 1, (a ? 1) x?2
a?2 与 2 的大小关系分为 a ?1

思路点拨:将此不等式转化为整式不等式后需对参数 a 分两级讨论:先按 a >1 和 a <1 分 为 两 类 , 再 在 a <1 的 情 况 下 , 又 要 按 两 根

a ? 0, a ? 0和0 ? a ? 1 三种情况。有很多同学找不到分类的依据,缺乏分类讨论的意识,
通过练习可能会有所启示。具体解答请同学们自己完成。 三、含参数的绝对值不等式的解法: 例 3:解关于 x 的不等式 | ax ? 2 |? bx, (a ? 0, b ? 0) 分析:解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号,本题要用到同解变形 | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ,首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式, 然后就 a 、 b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。 解: | ax ? 2 |? bx ? ax ? 2 ? ?bx或ax ? 2 ? bx ? (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 当 a ? b ? 0 时, (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 ? x ?
2 2 ?; 此时原不等式的解集为 ? 或x ? ?x | x ? ? a?b a ? b? ?

2 2 或x ? a?b a?b

当 a ? b ? 0 时,由 (a ? b) x ? 2得x ?

2 , 而(a ? b) x ? 2无解 , a?b

2 ?; 此时原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

当 0 ? a ? b 时, (a ? b) x ? 2或(a ? b) x ? 2 ? x ?
2 ?; 此时此时原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

2 2 2 或x ? ? x? a?b a?b a?b

2 2 ?; 综上所述, 当 a ? b ? 0 时, 原不等式的解集为 ? 或x ? ?x | x ? ? 当 b ? a ? 0 时, a?b a ? b? ? 2 ?。 原不等式的解集为 ? ?x | x ? ? a ? b? ?

小结:去掉绝对值符号的方法有①定义法: | a |? {?a ( a?0) ②平方法: | f ( x) |?| g ( x) |?

a ( a?0)

f 2 ( x) ? g 2 ( x)

















| x |? a ? ?a ? x ? a, (a ? 0);| x |? a ? x ? ?a或x ? a, (a ? 0);
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| f ( x) |? g ( x) ? ? g ( x) ? f ( x) ? g ( x); | f ( x) |? g ( x) ? f ( x) ? ? g ( x)或f ( x) ? g ( x) ;

牛刀小试: (2004 年辽宁省高考题)解关于 x 的不等式 | x ? 1 | ?a ? 1 ? 0, (a ? R) 思路点拨:⑴将原不等式化为 | x ? 1 |? 1 ? a 然后对 a 进行分类讨论求解。⑵要注意

a ? 0时, | x |? a的解集为空集; a ? 0时, | x |? a的解x ? 0; a ? 0时, | x |? a的解集为 R;
⑶抓住绝对值的意义, 在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。 具体解答请同学们自 己完成。

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