6.2《算术平均数与几何平均数》第一课时

6.2 算术平均数与几何平均数
第一课时

一、教学目标:
1.学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理; 2.理解定理的几何意义; 3.能够简单应用定理证明不等式。

二、教学重难点:
重点:均值定理及证明 难点:等号成立条件

三、教学过程:
(一)复习引入: 1.不等式的性质:学生回答 2.利用上述性质,我们可以推导出下列重要的不等式。 (二)新课讲解: 1.重要不等式: (1)定理:如果 a, b ? R ,那么 a (2)证明: a
2

2

) 。 ? b 2 ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“=”

? b 2 ? 2ab ? (a ? b) 2

? b时, ( a ? b) 2 ? 0 ? 2 2 。 ? ? a ? b ? 2ab (当且仅当 a ? b 时取“ ? ”号) 2 当a ? b时, (a ? b) ? 0 ? (3)说明:①指出定理适用范围: a, b ? R 。
当a

? b 时取等号,其含义是 a ? b ? a2 ? b2 ? 2ab ,仅当 a ? b 时取等号,其含义 2 2 2 2 是, a ? b ? 2ab ? a ? b ,综合起来含义是 a ? b 是 a ? b ? 2ab 的充要条件。 a?b 2.定理:如果 a,b 是正数,那么 。 ? ab (当且仅当 a ? b 时取“=”号) 2 2 2 证明:∵ ( a ) ? ( b ) ? 2 ab , ∴ a ? b ? 2 ab , a?b a?b 即: 。 ? ab (当且仅当 a ? b 时, ? ab ) 2 2 ? 说明:①这个定理适用的范围: a, b ? R ,不同于重要不等式; a?b ②我们称 为 a, b 的算术平均数( a, b 等差中项) ,称 ab 为 a, b 的几何平均数( a, b 等比 2
②当 a 中项)即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数; ③“当且仅当”的含义是充要条件。 3.均值定理几何解释: (如图) 以 a ? b 为直径作圆, 在直径

AB 上取一点 C , 过 C 作弦 DD? ? AB , a?b 2 则 CD ? CA ? CB ? ab ,从而 CD ? ab ,而半径 (半径 ? CD ? ab , 2 不小于半弦)当且仅当 C 与圆心重合,即 a ? b 时取等号。
4.均值定理推广: 定理:定理:如果 a, b, c ? R ,那么 a 证明:∵ a
3 ?

3

? b 3 ? c 3 ? 3abc (当且仅当 a ? b ? c 时取“=” )

? b 3 ? c 3 ? 3abc ? (a ? b) 3 ? c 3 ? 3a 2 b ? 3ab2 ? 3abc
6.2 算术平均数与几何平均数 1-1

? (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (a ? b)c ? c 2 ] ? 3ab(a ? b ? c)

? (a ? b ? c)[ a 2 ? 2ab ? b 2 ? ac ? bc ? c 2 ? 3ab] ? (a ? b ? c)( a 2 ? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca) 1 ? (a ? b ? c)[( a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (c ? a) 2 ] 2 ? 3 3 3 ∵ a, b, c ? R ∴上式≥0 从而 a ? b ? c ? 3abc a?b?c 3 ? 推论:如果 a, b, c ? R ,那么 ) ? abc (当且仅当 a ? b ? c 时取“=” 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 证明: ( a ) ? ( b ) ? ( c ) ? 3 a ? b ? c ? a ? b ? c ? 3 abc a?b?c 3 ? abc ? 3
5.关于“平均数”的概念:

n

a1? a 2????? a n 叫做这 n 个正数的算术平均数, n a1? a 2????? a n n ≥ a1a 2 ??? a n a1a 2 ??? a n 叫做这 n 个正数的几何平均数,则 n ? n ? N* , a i , ? R ,1 ? i ? n 即: n 个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
如果 a1 , a2 ,?, an ? R
?

,n ?1

,且 n ? N 则:

?

6.例题分析: 例 1.已知 a, b, c 为两两不相等的实数,求证: a 证明:∵ a, b, c 为两两不相等的实数, ∴a
2 2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 。

? b 2 ? 2ab , b2 ? c2 ? 2bc , c 2 ? a 2 ? 2ca , 2 2 2 以上三式相加: 2(a ? b ? c ) ? 2ab ? 2bc ? 2ca
所以, a 说明:综合法
2

? b 2 ? c 2 ? ab ? bc ? ca 。

例 2. (P10 例 2)已知 a, b, c, d 都是正数,求证 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd 。 证明:由 a, b, c, d 都是正数,得:

ab ? cd ac ? bd ? ab ? cd ? 0 , ? ac ? bd ? 0 , 2 2 (ab ? cd )(ac ? bd ) ∴ ? abcd , 4 即 (ab ? cd )(ac ? bd ) ? 4abcd 。
(三)练习: P11 练习 1、2 (四)小结: 算术平均数、几何平均数的概念,基本不等式,平均不等式。

四、作业:
1.P11 习题 1、2、3(其中 3 给出了调和平均数及加权平均数) 。 2.已知 a、b、c 是互不相等的正数,求证: a(b 3.求证:
2

? c 2 ) ? b(a 2 ? c 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc 。

a 2 ? b 2 ? b 2 ? c 2 ? c 2 ? a 2 ? 2 (a ? b ? c) 。

6.2

算术平均数与几何平均数 1-2


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