高等数学方明亮版数学课件102常数项级数的审敛法-文档资料_图文

第十章

第二节 常数项级数的审敛法
(Interrogate of constant term series)

一、正项级数及其审敛法 二、交错级数及其审敛法

三、绝对收敛与条件收敛 四、小结与思考练习
2019年4月22日星期一 1
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一、正项级数及其审敛法
若 un ? 0 , 则称 ? u n 为正项级数 .
n ?1 ?

(Interrogate of positive term series)

定理 1 正项级数 有界 . 证: “ “ 又已知 ”若 ” 有界, 故

收敛

部分和序列

收敛 ,

故有界.

∴部分和数列
收敛 , 从而
2
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单调递增,
也收敛.
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2019年4月22日星期一

定理2 (比较审敛法) 设 且存在 对一切 有

是两个正项级数, (常数 k > 0 ),

则有
(1) 若强级数 收敛 , 则弱级数

也收敛 ;
也发散 .

(2) 若弱级数

发散 , 则强级数

证: 因在级数前加、减有限项不改变其敛散性, 故不妨
设对一切 都有 分别表示弱级数和强级数的部分和, 则有
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(1) 若强级数 因此对一切

收敛, 则有 有 也收敛 .

由定理 1 可知, 弱级数 (2) 若弱级数 因此 发散, 则有

这说明强级数

也发散 .
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定理3 (比较审敛法的极限形式) 设两正项级数
满足 则有

(1) 当 0 < l <∞ 时, 两个级数同时收敛或发散 ;
(2) 当 l = 0 (3) 当 l =∞ 证: 据极限定义,

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(1) 当0 < l <∞时, 同时收敛或同时发散 ; (2) 当l = 0时,

由定理 2 可知 由定理2 知



收敛 , (3) 当l = ∞时, 即

由定理2可知, 若
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发散 ,
6
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例1

1 证明级数 ? n 是收敛的. n ?1 3 ? 1

?

? 1 1 1 解: n ? n 且 ? n 收敛 3 ?1 3 n ?1 3 ?

1 是收敛的. ? n n ?1 3 ? 1

?

1 (a ? 0) 的收敛性. 例 2 判别级数 ? n n ?1 1 ? a

解: (1)当 0 ? a ? 1 时,
1 1 lim ? ?1? 0 , n n ?? 1 ? a 1? 0

1 所以 ? 发散. n n ?1 1 ? a
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?

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(2)当 a ? 1 时, 1 1 lim ? ?0, n n ?? 1 ? a 2 ? 1 所以 ? 发散. n n ?1 1 ? a
(3)当 a ? 1 时,
n

1 ?1? ?? ? n 1? a ?a?

n

? 1 ?1? 由于级数 ? ? ? 收敛,所以级数 ? 收敛. n n ?1 1 ? a n ?1 ? a ?

?

综上所述,当 0 ? a ? 1 时,原级数发散,当 a ? 1 时, 原级数收敛.
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1 1 1 例3 讨论 p 级数 1 ? p ? p ? ? ? p ? ? (常数 p > 0) 2 3 n 的敛散性.
解: 1) 若 p ? 1, 因为对一切

1 ? n
1 而调和级数 ? 发散 , 由比较审敛法可知 p 级数 n ?1 n
发散 .
?

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2) 若

因为当

时,



1 ? 1 1 ? 1 ? p ?1 ?? dx ? p p ? 1 ? n ?1 x p ?1? ? (n ? 1) ? n
n

? 1 ? 1 1 ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? 考虑强级数 ?? ? 的部分和 1 ? ? ? ? ? ? ? ? p ? 1 p ? 1 ?? ? ? ? ? p ? 1 p ? 1 p ? 1 p ? 1 p ? 1 ? (n ? 13 ? ) ? 2 ? n ??22 ?n (n ? 1) ?n ?

?

1 1 1 n?? ? ? ? n ? ? ? p ?1 ? ? 1? 1 p ?1 ? p ? 1 ? (k ? 1) (n ? 1) k ?1 ? k
故强级数收敛 , 由比较审敛法知 p 级数收敛 .
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n

n?3 3 2 3 n ? 3 n 1 2 n ? n 解: (1)因为 lim ? lim 3 ? , n ?? n ?? 2n ? n 1 2 n2 ? ? n?3 1 收敛. 而 ? 2 收敛,所以级数 ? 3 n ?1 2n ? n 1 n ?1 n
(2)因为 lim n
n ?? 1? 1 n

判别下列级数的敛散性: ? ? n?3 1 (1) ? 3 ; (2) ? 1 ; n ?1 2n ? n n ?1 1? n n ? ? 1 ? 1? ln ?1 ? ? ; (3) ? (4) ? n 2 e? n . n ? n? n ?1 n ?1

例4

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1 n

? lim
11

1 n

n ?? n

?1, 又级数 ?
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1 发散, n ?1 n
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?

发散. n ?1 1 ? 1? n ? 1? ln ?1 ? ? ln ?1 ? ? n? n? (3)因为 lim n ? ? lim ? ?1, n ?? n ?? 1 1 3 n 2 n ? ? 1 1 ? 1? 而级数 ? 3 收敛,所以级数 ? ln ?1 ? ? 收敛. n ? n? n ?1 n ?1 2 n ? n2 e? n n4 1 (4)因为 lim ? lim n ? 0 ,而级数 ? 2 收敛, n ?? n ?? e 1 n ?1 n n2 ? 所以级数 ? n 2 e? n 收敛.
1 1? n
n ?1

所以级数 ?

?

1

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1 ? ? ln 1 ? 例 5 判别级数 ? ? 的敛散性. ( p ? 0 ,且为常数) p ? n ? ? n ?1

?

解: (1)因为 1 ? ? ln ?1 ? p ? np ? np ? 1 ? 1 ? n ? ? ? ? lim ? lim ln ?1 ? p ? ? ln ? lim ?1 ? p ? ? ? 1 n ?? n ?? n ?? 1 ? n ? ? ? ? n ? ? ? p n ? 1 而 p ? 级数 ? p 当 p ? 1 时收敛, 所以当 p ? 1 时原级数收敛; n ?1 n
1 当 p ? 1 时 ? p 发散, 故当 p ? 1 原级数发散. n ?1 n
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?

说明:判别级数的敛散性,如果已知一些收敛级数和 发散级数,则可以以它们为标准进行比较.
因此必须记住它们.

常用于比较的级数有 p ? 级数、等比级数与调和级数,

另一方面, 由比较审敛法的定理我们知道, 它是通过与 某个敛散性已知的级数的比较来判断给定级数的敛散性,

但有时作为比较对象的级数不容易找到, 那么能不能从给 定的级数自身直接判别级数的敛散性?
为此,下面我们将给出使用上很方便的比值审敛法和 根值审敛法.
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定理4 比值审敛法 ( D’ Alembert 判别法) 设 (1) 当 (2) 当 证: (1) 为正项级数, 且 时, 级数收敛 ; 或 时, 级数发散 . 则

收敛 , 由比较审敛法可知
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(2) 当 ? ? 1 或 ? ? ?时,必存在 N ? Z ? , u N ? 0, 当n ? N 时 从而

un ?1 ? un ? un ?1 ? ? ? u N
因此 lim u n ? u N ? 0 , 所以级数发散.

u n ?1 说明: 当 lim ? 1 时,级数可能收敛也可能发散. n ?? u n 1 u n ?1 ( n ?1) p lim ? lim 1 ? 1 例如, p – 级数 n ?? u n n ?? p
n

n ??



p ? 1, 级数收敛 ; p ? 1, 级数发散 .
16
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12 22 32 例 6 判别级数 ? 2 ? 3 ? 2 2 2

n2 ? n? 2

的敛散性.

n2 解: (1)令 un ? n ,则 2 (n ? 1)2 2 n ? 1 un ?1 1 1 ? n ?1? 2 ? ?1, lim ? lim ? lim ? ? 2 n ?? u n ?? n ?? 2 n 2 ? n ? n 2n
根据比值审敛法知,原级数是收敛的. ? 3n 例 7 判别级数 ? 2 n 的敛散性. n ?1 n 2
提示:解法与例 6 完全类似!
2019年4月22日星期一 17
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1 1 1 ? ? ? 例 8 判别级数 1? 2 3 ? 4 5 ? 6

1 ? ? (2n ? 1) ? 2n

的敛散性.

1 解:令 un ? ,则 (2n ? 1) ? 2n

un ?1 (2n ? 1) ? 2n ?1, lim ? lim n ?? (2n ? 1)(2 n ? 2) n ?? u n

比值审敛法此时失效.
? 1 1 1 ? 2 ,而级数 ? 2 收敛, 但注意到 (2n ? 1) ? 2n n n ?1 n

1 所以级数 ? 收敛. n ?1 (2n ? 1) ? 2 n
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?

定理5 根值审敛法 ( Cauchy判别法) 设 数, 且 lim n u n ? ? , 则
n ??

为正项级

证明提示: ? lim n un ? ? , ?对任意给定的正数 ?
n ??

存在 N ? Z ,

?

? ? ? ? n un ? ? ? ?


? ?1

( ? ? ? ) n ? un ? ( ? ? ? ) n

? ?1

? ?? ?1 ? ?? ?1

分别利用上述不等式的左,右部分, 可推出结论正确.
2019年4月22日星期一 19
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说明 :

时 , 级数可能收敛也可能发散 .

例如 , p – 级数
n

1 ? ? 1 ( n ? ?) ? un ? ? n ? ? n?

p



p ? 1, 级数收敛 ; p ? 1, 级数发散 .

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1 ? 1? 例 9 判别级数 ? ? n ?1 ? ? 的敛散性. 5 ? n? n ?1

?

n2

解:因为 lim n un ? lim n
n ?? n ??

1 ? 1? 1? ? n ? 5 ? n?
?

n2

1? 1? e ? lim ?1 ? ? ? < 1 n ?? 5 ? n? 5
n2

n

1 ? 1? 所以由根值审敛法可知级数 ? ?1 ? ? 收敛. n? n ?1 5n ?
例 10
2n 判别级数 ? ln n 的敛散性. n ?1 3
n

?

解:因为
n

un ?

n

2n 2 ln n 的极限为 0 , ? ln n ,而当 n ?? 时, ln n 3 n n 3

所以 lim u n ? lim
n ??

2

n ??

3

ln n n

? 2 ?1 , 因此所给级数发散.
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二、交错级数及其审敛法

(Interrogate of staggered series)

则各项符号正负相间的级数 称为交错级数 . 定理6 ( Leibnitz 判别法 ) 若交错级数满足条件:

则级数

收敛 , 且其和

其余项满足

2019年4月22日星期一

22

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证:

是单调递增有界数列, 故 又
故级数收敛于S, 且

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用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:

1 1 1 n1? 1 n ?1 1 1) 1 ? ? ? ? ? ? (?1) ? ? n ?1 收敛 2 3 4 u n ?1 n (n 1 1n ? 1 ? 1) ! 10 ? ?? ? n 1 1 1 u n n ?1 1 1 10 n n ?收敛 1 2) 1 ? ? ? ? ? ? (?1) ?? n 2! 3! 4! n ! 10 n! 1 2 3 4 n ?1 n 3) ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? (?1) ? ? 收敛 10 10 10 10 10n
上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛 ?

1 1) ? ; n ?1 n
发散
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?

1 2) ? ; n ?1 n !
收敛
24

?

n 3) ? n . n ?1 10
收敛
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?

三、绝对收敛与条件收敛
(Absolute convergence and conditional convergence)

定义 对任意项级数 数 绝对收敛 ;



收敛 , 则称原级

若原级数收敛, 但取绝对值以后的级数发散, 则称原级
数 条件收敛 .
? n ?1 1 n ?1

例如 :? (?1)

n

为条件收敛 .

n ?1
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? (?1)

?

n ?1

n 均为绝对收敛. n 10
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定理7 绝对收敛的级数一定收敛 .

证: 设

收敛 , 令

显然



根据比较审敛法

收敛,

收敛 也收敛
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例11 证明下列级数绝对收敛 :
sin n? (1) ? 2 ; n n ?1
? 2 n n (2) ? (?1) n . (补充题) e n ?1 ?

证: (1)

sin n? 1 ? 2 , 而 2 n n

1 收敛 , ? 2 n ?1 n

?

?

?
n ?1
?

?

sin n? n2

收敛

sin n? 因此 ? 绝对收敛 . 2 n n ?1
2019年4月22日星期一 27
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(2) 令

(n ? 1) 2 n ?1 u n ?1 e ? lim ? lim n ?? u n n ?? n2 n e 2 1 ? n ? 1? 1 ? lim ? ? ? ?1 n ?? e ? n ? e
?

?

?

n ?1

2 ? n n (?1) n 收敛, 因此 ? (?1) n 绝对收敛. n e e n ?1
n

2

(自学课本 例13、14)
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xn 例 12 判别级数 ? p 的敛散性,若收敛,讨论其是绝 n ?1 n 对收敛还是条件收敛?(课本例 15)

?

解:对级数 ?
n ?1

?

n ? xn | x |n | x | n ? lim ?| x | 知, ,由 ? p p p n ?? n n n ?1 n

级数收敛(绝对收敛) ; 当 | x |? 1 时, p 为任意实数,
当 | x |? 1 时, p 为任意实数, 级数发散;

当 x ? 1 时, (1) p ? 1 时,级数收敛(绝对收敛) ;
(2) p ? 1 时,级数发散;

当 x ? ?1 时, (1) p ? 1 时,级数收敛(绝对收敛) ; (2) 0 ? p ? 1 时,级数收敛(条件收敛) ;
(3) p ? 0 时,级数发散.
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绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.

*定理8 绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.
*定理9 ( 绝对收敛级数的乘法 ) 设级数 与 都绝对收敛, 其和分别为

则对所有乘积

按任意顺序排列得到的级数

也绝对收敛, 其和为 说明: 条件收敛级数不具有这两条性质.
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内容小结
1. 利用部分和数列的极限判别级数的敛散性
2. 利用正项级数审敛法
必要条件 满足 比值审敛法 根值审敛法 比较审敛法 不定 部分和极限
用它法判别

不满足

发 散

积分判别法

收 敛
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发 散
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3. 任意项级数审敛法
概念: 为收敛级数 绝对收敛

条件收敛 Leibniz判别法: 则交错级数
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收敛
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课外练习
习题10-2 1(1)(2)(4); 2 (奇数题) ;

3 (3)(4)(6); 4(2)(3)(5)(7); 5

思考练习
1、设正项级数 提示: 注意: 反之不成立. 例如,
2019年4月22日星期一 33

收敛, 能否推出

收敛 ?

由比较判敛法可知 收敛 ,
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收敛 .

发散 .
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2. C

则级数

(A) 发散 ;
(C) 条件收敛 ; 分析: 又

(B) 绝对收敛;
(D) 收敛性根据条件不能确定. ∴ (B) 错 ;

2019年4月22日星期一

34

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