福建省清流县第一中学2016届高三上学期第二阶段(期中)考试数学(理)试题


2015—2016 上学期清流一中高三数学(理科)半期考试 卷
一、选择题(本题共 12 题,每题 5 分,共 60 分)
1 ( . )
2







?x ? 1
2



x2 ? 1











A. ?x ? 1 , x ? 1

B. ?x ? 1 , x ? 1 D. ?x0 ? 1, x0 2 ? 1 ( )

C. ?x0 ? 1 , x0 2 ? 1 2.已知函数 f(x)= A.{x|x>-1}
1 1? x

定义域为 M,g(x)=ln(1+x)定义域 N,则 M∩N 等于 C.{x|-1<x<1} D. ?

B.{x|x<1}

3.设方程 ln x ? x ? 5 ? 0 实根为 a ,则 a 所在区间是 ( ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,5) 4. 过两点 ? ?1,0? , ? 0,1? 的直线方程为

( C. 2 x ? y ? 0



A. x ? y ? 1 ? 0
5. 已知 a > 1,f ( x) ? a A. ?1 ? x ? 0
x2 ? 2 x

B. x ? y ? 3 ? 0

D.2 x ? y ? 3 ? 0
( )

, 则使 f ( x) ? 1 成立的一个充分不必要条件是 C. ?2 ? x ? 0 D. 0 ? x ? 1

B. ?2 ? x ? 1

6.设等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 a1 ? ?11 , a4 ? a6 ? ?6 ,则当 Sn 取最小值时,n 等于 ( ) A.6 B.7 C. 8 D.9 7.在 ?ABC 中, A、B、C 是三角形的三内角, a、b、c 是三内角对应的三边,已知

b2 ? c 2 ? a 2 ? bc , sin 2 A ? sin 2 B ? sin 2 C . 则角 B 为
( ) B .

? A . 4
8.数列

? 6

C.

? 3

D.

? 12

1 1 1 1 , ? 的前 n 项和为 , , ,? , 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)
( )

A.

n 2n ?1
9 . 函 数

B.

n 2n ? 1

C.

2n 2n ? 1
图 像 的

D.

2n 2n ?1
形 状 是

| x | ax y? (0 ? a ? 1) x







(

)

10 .定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足: f (? x ) ? ? f (x ), f (x ? 1)?

1 ,当 x ? (? 1, 0)时, f ( x)

f ( x) ? 2 x ? 1
( A. )

, B. ?



f(

2

?

l

1 5

1 5

C.

1 4

D. ?

1 4

π π 11.把函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,|φ |< )的图象向左平移 个单位长度,所得的曲线 2 3 的一部分图象如图所示,则ω 、φ 的值分别是 A.1, ( )

? 3

B.1,-

? 3

C.2,

? 3

D.2,-

? 3

12. 已 知 定 义 域 为 R 的 奇 函 数 y ? f ? x ? 的 导 函 数 为 y ? f? ? x ? ,当 x?0 时,

f ?? x? ?

f ? x? 1 ? 0 ,若 a ? x 2

?1? ? f ? ? ,b ? ?2 f ??2 ?, c ? ? ln ?2? ?

1? ?f 2?

? ? ln ?

1? ? ,则 a, b, c 的大小关 2?
( )

系正确的是 A. a ? c ? b B. b ? c ? a C. a ? b ? c

D. c ? a ? b

二、填空题(本题共 4 题,每题 5 分,共 20 分)
13.直线 3x ? y ?1 ? 0 的倾斜角为 14.已知 tan(? ? ? ?

?

? 1 ? 1 ) ? , tan(? ? ) ? ? ,则 tan(? ? ) =__________ 6 2 6 3 3

15.设等比数列{ an }的前 n 项和为 Sn ,若

S S6 =3 ,则 9 ? ______ S3 S6

16.已知数列 {a n } 中, a1 ? 3, an?1 ? an ? 3bn (b>0)n ? N * , ① b=1 时, S7 =12; ②存在 ? ? R ,数列 {an - l bn } 成等比数列; ③当 b ? (1,

? ) 时,数列 {a2 n } 是递增数列;

④当 b ? (0,1) 时数列 {a n } 是递增数列 以上命题为真命题的是 .(写出所有真命题对应的序号) 。

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2015—2016 上学期清流一中高三数学(理科) 半期考试卷答题卡
满分:150 分 考试时间:120 分钟

一、选择题答案(每题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

座号

二、填空题答案(每题 5 分,共 20 分)
11、____________________ 13、____________________ 12、____________________ 14、____________________

姓名

三、解答题(共 6 题,70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算 步骤.)
17. (本小题满分 10 分) 已知等差数列 {an } 满足 a2 ? 2, a5 ? 8. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设各项均为正数的等比数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn 若 b3 ? a3 , T2 ? 3, 求 Tn。

年级

班级

18.(本小题满分 12 分)已知 sin ? ?

2 5 ? ? (? , ? ) , 2 5

2 cos( ? ? ) ? cos(? ? ? ) 2 (1)求 tan? 及 tan 2? ; (2)求 的值. ? sin( ? ? ) ? 3 sin(? ? ? ) 2

?

19. (本小题满分 12 分) 命题 p:不等式 ax ? 2ax ? 1>0 的解集为 R,命题 q:不等式
2

3 1 sin x ? cos x ? a < 0 4 4

恒成立,若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)已知在锐角 中, a, b, c ?ABC (b ? 2c) cos A ? ?a cos B . A (1)求角 A 的值;

为角 所对的边,且 A, B, C

a? 3

b?c

(2)若

,求

的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知:数列{an}的前 n 项和为 Sn,满足 Sn=2an-2n(n∈N*) (1)证明数列{an+2}是等比数列.并求数列{an}的通项公式 an; (2)若数列{bn}满足 bn=log2(an+2),而 Tn 为数列 {

bn } 的前 n 项和,求 Tn an ? 2

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? ln( ?

1 2

1 ax ) ? x 2 ? ax (为常数, a ? 0 ) 2

(1)当 a ? 1 时,求函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线方程; (2) 当 y ? f ( x) 在 x ?

1 处取得极值时, 若关于的方程 f ( x) ? b ? 0 在 ? 0, ?? ? 2

上恰有两个不相等的实数根,求实数 b 的取值范围; ( 3 ) 若 对 任 .意 . 的 a ? (1, 2) , 总 存 .在 . x0 ? [ 2 , 1] , 使 不 等 式

1

f ( x0 ) ? m(a2 ? 2a ? 3) 成立,求实数 m 的取值范围.

2015—2016 上学期清流一中高三数学(理科)半期考试卷答案
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 题号 答案 1 C 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 B 8 B 9 B 10 A 11 D 12 A

二、填空题(每题 4 分,共 20 分) 13、

? , 3

14、1

15、

7 3

16、①②③ .

16.解析:①当 b=1 时, {a n } 为:3,0,3,0,3,0,3,0, L ,所以 S 7 =12 成立;②若数列

{an - l bn } 成等比数列,则 an + 1 - l bn + 1 = - (an - l bn ) ,即
an + 1 + an = 3bn = l (b + 1) b n (b>0)n ? N * , l =

3 ,所以存在 ? ? R , b+ 1
? ) 时 , 由 ② 得

数 列 {an - l bn } 成 等 比 数 列 ; ③ 当 b ? (1,

an - l bn = (a1 - l b)(- 1)
? an
a2n =

n- 1

骣 3 (- 1) n- 1 3 ÷ 3bn ? ÷ 3 1 + = ? ( ) ÷ ? b+ 1 b+ 1 桫 b + 1÷

n- 1

+

3bn b+ 1







- 3 3b2n + b+ 1 b+ 1
? ) 时, 数列 {a2 n } 是递增数列成立; ④由③可知当 b ? (0,1) 时, 数列 {a n }

所以当 b ? (1, 是递增数列不成立.

三、解答题(16-19 题各 13 分,20-21 题各 14 分,共 80 分)

2 2 5 5 17.(本题满分 10 ? 分) sin ?? ? ? ? sin 5 5

cos cos22? ?? ? sin sin22? ?? ?cos cos22? ?? ?1 1? ?

5 5 25 25

解:(I)设等差数列 {an } 的公差为 d。

?a1 ? d ? 2, ?a ? 0 a 2 ? 2, a5 ? 8,? ? 解得? 1 . ?d ? 2 ?a1 ? 4d ? 8
∴数列 {an } 的通项公式 an ? a1 ? (n ? 1)d ? 2n ? 2. (II)设各项均为正数的等比数列 {bn } 的公比为 q(q ? 0) 由(I)知 an ? 2n ? 2,? a3 ? 4, ????5 分

b3 ? a3 ? 4, 又T2 ? 3,?q ? 1
?b1 ? q 2 ? 4 2 ? ?q ? 2, ?q ? ? , ? 2 ? ? b1 (1 ? q ) 解得? 或? 3 (舍去) ?b1 ? 1 ?b ? 9. ? 1 ? q ? 3. ?1 ?

?bn ? 2n?1,?Tn ? 2n ?1.
2 5 18 解:(1) ? sin ? ? 5
又 ?? ? (

????10 分
2 , sin 2 ? ? cos 2 ? ? 1 ?cos ? ????????2 分

5 25

?
2

,? , )

?

cos ? ? ?

sin ? ? ?2 ???????5 分 cos ? 2 tan ? ?4 4 ? tan 2? ? ? ? 2 又 ???????7 分 1 ? tan ? 1 ? 4 3 ?2 sin ? ? cos ? (2)原式 ? ???????9 分 cos ? ? 3sin ?

5 5

?

tan ? ?

?

?2 tan ? ? 1 1 ? 3 tan ?

?

3 7

???????12 分
2

19.解:∵函数 f ( x) ? lg(ax ? 2ax ? 1) 的定义域为 R ∴ ax ? 2ax ? 1 ? 0 恒成立????????????????????2 分
2

∴a ? 0或?

?a ? 0 ????????????????????????4 分 ?? ? 0

解得 0 ? a ? 1 又∵不等式

?????????????????????????5 分

1 3 1 ????????????8 分 sin x ? cos x ? a <0 恒成立∴ a ? 2 4 4

若“p∧q”为假命题且“p∨q”为真命题 则 p,q 一真一假, 所以 ??????????????????????12 分 1

0?a?

2

或a ? 1

20 解:(1) (b ? 2c) cos A ? ?a cos B

? ?sin B ? 2sin C ? cos A ? ? sin Acos B 由正弦定理得,
sin B cos A ? sin A cos B ? 2sin C cos A 整理得 sin( A ? B) ? 2sin C cos A
,即

,???????2 分 ,

?A ?1 QA sin ? = ?A ? B? ? sin C , 又cos 3 2 a b c ? ? ?2 ? 2? Q sin A sin B sin C
又Q B ? C ?

???????5 分

?b ? c ? 2 ?sin B ? sin C ?

???????7 分

2? 2? ,? C ? ? B 又 Q ?ABC是锐角三角形 3 3 ?? ? ? ? 2? ? ? B? ? 2sin C ? 2sin B ? 2sin ? ? B ? ? 2 3 sin ? B ? ? ? 2sin ?B 6 ? ,???????10 分 6 2 ? 3 ? ?

? ? ?3, 2? ?? ?b 3 ? B? ?c ??2 ? , ? ? 6 ?3 3 ?

?

???????12 分

(2)由 bn ? log2 (a n ? 2) ? log2 2 则 Tn ?

n ?1

? n ? 1, 得

bn n ?1 ? n?1 , ?????????7 分 an ? 2 2

2 3 n ?1 ? 3 ? ? ? n ?1 , ③ 2 2 2 2

1 2 n n ?1 Tn ? 3 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2
③-④,得

,④?????????9 分

1 2 1 1 1 n ?1 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ?1 ? n ? 2 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 1 2 ? n ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? n ?1 ? ?4 1 4 2 n ? 2 4 2 2 n ?1 2 n ? 2 1? 2 3 n?3 ? ? n?2 , 4 2 3 n?3 Tn ? ? n ?1 ????????12 分 2 2 a2 ? 2 1 2 ax ( x ? ) a 2 a 2 22.解: f ?( x) ? .???????2 分 ? 2x ? a ? 1 1 1 ? ax ? ax 2 2
(1)当 a=1 时,

1 1 3 f ( x) ? ln( ? x) ? x 2 ? x, ? () f 1 =0, f ?(1) ? , 2 2 2 3 3 ? 切线方程为y= x ? 3分 2 2
(2)有已知 f ?( ) ? 0 且 又? a ? 0,? a ? 2

1 2

a2 ? 2 ? 0 , a2 ? a ? 2 ? 0 2a

1 1 1 f ( x) ? ln( ? x) ? x 2 ? 2 x , f ( x) 在 (0, ) 递减, ( , 2) 递增且 2 2 2 1 3 5 f (0) ? ? ln 2, f ( ) ? ? , f (2) ? ln 2 4 2 3 ?? ? b ? ? ln 2 ------------7 分 4
(3)当 a ? (1, 2) 时 2a

a2 ? 2

?

1 1 , f ( x) 在 ( ,1) 递增, 2 2

1 1 f ( x) 最大值为 f (1) ? ln( ? a ) ? 1 ? a 2 2
问题等价于: 对任意的 a ? (1, 2) , 不等式 ln( ? 记 g (a ) ? ln( ?

1 2

1 a) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 2a ? 3) ? 0 恒成立. 2
9分

1 2

1 a ) ? 1 ? a ? m(a 2 ? 2a ? 3) , ( 1? a ? 2) 2

则 g ?(a) ?

?a ? 2m(a ? 1) 1 ? 1 ? 2ma ? 2m ? 1? a 1? a

2



当 m ? 0 时, g ?(a) ? 0 , ? g (a ) 在区间 (1, +?) 上递减,此时, g (a) ? g (1) ? 0 ,

? m ? 0 时不可能使 g (a) ? 0 恒成立,故必有 m ? 0 ,

? (a ? 1)2 ? 4a
若m ? ? 若?

1 ,可知 g (a ) 在区间 (1, 2) 上递增,在此区间上有 g (a) ? g (1) ? 0 满足要求 8

1 1 ? n -1 ? m ? 0 , 可 知 g (a) 在 区 间 (1, mi? 8 ? 4m

? 上) 递减,在此区间上,有 ?, 2 ?
12 分

,与 g (a) ? 0 恒成立矛盾, g ( a) ? g (1) ? 0 所以实数的取值范围为

1 ( ?? , ? ] . 8
实验班 110.6 尖子班 126.4

平均分:普通班 82.6


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