指数函数图像和性质_课件_图文

A先生从今天开始每天给你10万 元,而你承担如下任务:第一天给A先 生1元,第二天给A先生2元,,第三天给 A先生4元,第四天给A先生8元,依次下 去…那么,A先生要和你签定15天的合 同,你同意吗?又A先生要和你签定30 天的合同,你能签这个合同吗?

一、指数函数的定义: 函数

y ? a x (a ? 0且a ? 1)

叫做指数函数,其中x是自变量 函数定义域是R

下列函数中,哪些是指数函数?

y?4

x

y ? ?4

x

y? x
y?4

4

y?4

?x
x

x ?1

3 y? 2

二、发现问题,探求新知
? 怎样得到指数函数图像?

? 指数函数图像的特点?
? 通过图像,你能发现指数函数的哪



性质?

在同一坐标系下作出下列函数的图象 解:列出函数数据表,作出图像 x -3
x
x

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

2

?1? ? ? ?2? x

1 8 8 1 27
27

1 4
4

1 2 2 1 3 3

1
1 1

3

?1? ? ? ?3?

x

1 9 9

1 2 3 1 3

1 4 9 1 9

1 8 27 1 27

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

1

0

1

x

y

y

y ? ax
(a ? 1)

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1

1

0

x

0

x

a>1

6

0<a<1
6

5

5

4

4

3

3


1
-4 -2

2

2

1

1

1

-4

-2

0
-1

2

4

6

0
-1

2

4

6

1.定义域:R



2.值域:(0,+∞) 3.恒过定点(0,1),即x=0时,y=1

4.x>0时,y>1 x<0时,0<y<1 质 5.在 R上是增函数

x>0时,0<y<1 x<0时, y>1 在R上是减函数

三、深入探究,加深理解
观察图像,发 现图像与底的 关系
0<a<1时, 底越小图像 越靠近y轴
?1? y?? ? ? 2?
x

y

a>1时,底 越大图像越 靠近y轴

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x y ? 2x

底互为倒数的 两个函数图像 关于y轴对称
1 0
?1? y?? ? ? 3?
x

?1? y?? ? ? 2?

x

x

比较下列各题中两个值的大小: ①

1 .7

2 .5



1.7

3

同底比较大小

解 :利用函数单调性, 1.7 2.5 与 1.7 3 的底数是1.7,它们可以看成函数 y= 1.7 x 当x=2.5和3时的函数值;
5



因为1.7>1,所以函数y= 1.7 在R上是增函数, 而2.5<3,所以,

x

4.5

同底指数幂比大 小,构造指数函数, 利用函数单调性解决

4

3.5

f?x? = 1.7x
2.5 2 1.5 1

3

1 .7

2 .5

< 1.7

3
-2 -1

0.5

1

2

3

4

5

6

-0.5



0.8

?0.1

?0.2 0 . 8 ,

同底比较大小

解:利用函数单调性

0.8

?0.1



0.8

?0.2

的底数是0.8,它们可以看成函数 y= 0.8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值; 因为0<0.8<1,所以函数y= 0.8 x 在R是减函数,
同底指数幂比大 小,构造指数函数, 利用函数单调性
1.8

f?x? = 0.8x

1.6

1.4

而-0.1>-0.2,所以,

1.2

1

0.8

?0.1

<

0.8

?0.2

0.8

0.6

0.4

0.2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.2

比较下列各题中两个值的大小: ① ,
不同底但可化同底



比较下列各题中两个值的大小:

(0.3)

?0.3

,(0.2)

?0.3

不同底但同指数

不同底数同指数幂 比大小,利用指数函 数图像与底的关系比 较
0<a<1时, 底越小图像 越靠近y轴 a>1时,底 越大图像越 靠近y轴





.3 0 .9 3.1 1.7 0 ,

底不同,指数也不同

3.2

3

2.8

2.6

2.4

解 :根据指数函数的性质, 由图像得,

2.2

2

1.8

f?x? = 1.7x

1.6

1.4

1.2

1

1.7

0.3

?1 且
0.3

0.9

3.1

?1
-2 -1.5 -1 -0.5

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

从而有

1.7
或者

> 0 .9

3.1

利用函数图像或 中间变量(一般 为0或1)进行比 较

-0.4

3.2

3

2.8

2.6

2.4

2.2

2

1.8

f?x? = 0.9x

1.6

1.4

1.2

1.7

0.3

>

1.7

0

=

0.9

0

>

0 .9

3.1
-0.5

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0.5 -0.2

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

-0.4

比较指数函数值常常 借助于指数函数的图像

或直接利用函数的单调性

或选取适当的中介值(常用的特殊值是0和1),再利用单调性比较大小

练习:1、比较下列各数的大小:

1 , 0.4?2.5 , 2?0.2
2m ? 2n
0.2m ? 0.2n

0

? 0.4

?2.5

? 10 ? 2?0.2

2、已知下列不等式,试比较m、n的大小: 知识的逆用,建立函数思 想和分类讨论思想

a ? a (a ? 0且a ? 1)
m n


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