苏北四市2010届高三第二次调研考试 数学

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2010 年苏北四市高三年级第二次模拟考试 数 学
注意事项: 注意事项: 1.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方. 2.答题时,请使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字迹工整,笔迹清楚. 请按照题号在答题卡上各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无 效. 3.请保持卡面清洁,不折叠,不破损.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回. 填空题: 小题, 请把答案填写在答题卡相应位置 一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置 ....... 上. . 1. 已 知 集 合 A = 0 , 2 , a 2 , B = {1 , a} , 若 A U B = {0 , 1 , 2 , 4} , 则 实 数 a 的 值 为 ▲ . ▲ . ▲ .

{

}

2.已知复数 z = (2 i)i ( i 是虚数单位) ,则 z =

3.已知向量 a = (6 , 2) , b = ( 3 , k ) ,若 a ∥ b ,则实数 k 等于 4.一个算法的流程图如图所示,则输出的 S 值为
开始



.
D1

C1 B1

i←1 , S←0

A1

i <10

N

Y
S←S+ i i←i +1 输出 S

结束

7 9 8 4 4 4 6 7 9 3
第5题

D
O
A

C B

第6题

第4题 5.如图是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图,若去掉一个最高分和一个 最低分,则所剩余分数的方差为 ▲ . (茎表示十位数字,叶表示个位数字) 6.如图,已知正方体 ABCD A1 B1C1 D1 的棱长为 2 , O 为底面正方形 ABCD 的中心,则三 棱锥 B1 BCO 的体积为 ▲ .
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7. 已知函数 f ( x ) = x + 则实数 p 的值为

p ( p 为常数且 p > 0 ) 若 f ( x ) 在区间 (1 , + ∞ ) 的最小值为 4 , , x 1
▲ .

8. 已知数列 {an } 的各项均为正数,若对于任意的正整数 p , q 总有 a p + q = a p aq ,且

a8 = 16 ,则 a10 =

▲ .

9. 将函数 f ( x ) = 2 sin(ω x

π 图象.若 y = g ( x ) 在 [0, ] 上为增函数,则 ω 的最大值为 4

π π ) (ω > 0) 的图象向左平移 个单位,得到函数 y = g ( x) 的 3 3ω
▲ .

10.已知函数 f ( x) = ax 2 bx 1 , 其中 a ∈ ( 0 , 2] ,b ∈ ( 0 , 2] , 则此函数在区间 [1 , + ∞ ) 上 为增函数的概率为 ▲ .
2

11.对于问题:“已知关于 x 的不等式 ax +bx + c > 0 的解集为 ( 1, 2) ,解关于 x 的不等式

ax 2 bx + c > 0 ”,给出如下一种解法:
解:由 ax + bx + c > 0 的解集为 ( 1, 2) ,得 a ( x) 2 + b( x ) + c > 0 的解集为 ( 2,1) ,
2

即关于 x 的不等式 ax bx + c > 0 的解集为 (2, 1) .
2

参考上述解法,若关于 x 的不等式 于 x 的不等式

kx bx + 1 + < 0 的解集为 ax + 1 cx + 1

k x+b 1 1 + < 0 的解集为 (1, ) U ( ,1) ,则关 x+a x+c 3 2
▲ .

uuu uuur uuur uuu r r 12. 如 图, 在平 面四 边 形 ABCD 中 , 若 AC = 3 , BD = 2 , 则 ( AB + DC ) ( AC + BD ) =
▲ . D

y

Q

P
A C

O B

F

x

B 第 12 题

第 13 题

x2 y2 13.如图,已知椭圆 C 的方程为: 2 + 2 = 1 (a > b > 0) , B 是它的下顶点, F 是其右焦点, a b
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BF 的延长线与椭圆及其右准线分别交于 P 、 Q 两点,若点 P 恰好是 BQ 的中点,则此椭
圆的离心率是 ▲ .
x 14.若函数 f ( x) = a ( a > 1) 的定义域和值域均为 [ m, n] ,则 a 的取值范围是 ▲ ___.

参考答案:1. 2 ; 参考答案 8. 32 ; 9.2; 10.

2. 5 ;

3. 1 ;

4. 45 ;

5.

8 ; 5

6.

2 9 ; 7. ; 3 4
1

3 ; 11. ( 3, 1) U (1, 2) ; 12. 5 ; 13. 4

3 ; 3

14. (1 , e e ) .

小题, 1518请在答 二、解答题: 本大题共 6 小题, 15-17 每题 14 分,18-20 每题 16 分,共计 90 分.请在答 解答题: . 题卡指定的区域内作答, 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. .......... 解答时应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 1 15.在平面直角坐标系 xOy 中,点 P ( , cos 2 θ ) 在角 α 的终边上,点 Q (sin 2 θ , 1) 在角 β 的 2 uuu uuur r 1 终边上,且 OP OQ = . 2 (1)求 cos 2θ 的值; (2)求 sin(α + β ) 的值.

uuu uuur r 1 1 1 解: (1)因为 OP OQ = ,所以 sin 2 θ cos 2 θ = , 2 2 2 1 1 2 即 (1 cos 2 θ ) cos 2 θ = ,所以 cos 2 θ = , 2 2 3

1 .………………………………………………6 分 3 2 1 1 2 1 2 2 (2)因为 cos θ = ,所以 sin θ = ,所以 点P ( , ) , 点Q ( ,1) , 3 3 2 3 3 4 3 1 2 又点 P ( , ) 在角 α 的终边上,所以 sin α = , cos α = . 2 3 5 5
所以 cos 2θ = 2 cos θ 1 =
2

同理 sin β =

3 10 10 , cos β = , 10 10
4 10 3 3 10 10 × + × ( ) = .…… 5 10 5 10 10

所以 sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β = 14 分

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16.如图,在正三棱柱 ABC A1 B1C1 中,点 D 是棱 BC 的中点.求证: (1) AD ⊥ C1 D ; (2) A1 B // 平面 ADC1 . A A1

B D C

B1

C1

证明: (1)因为三棱柱 ABC A1 B1C1 是正三棱柱,所以 C1C ⊥ 平面 ABC , 又 AD 平面 ABC ,所以 C1C ⊥ AD ,……………………………………… 2 分 又点 D 是棱 BC 的中点,且 ABC 为正三角形,所以 AD ⊥ BC , 因为 BC I C1C = C ,所以 AD ⊥ 平面 BCC1 B1 ,………………………………4 分 又因为 DC1 平面 BCC1 B1 ,所以 AD ⊥ C1 D .………………………………6 分 (2)连接 A1C 交 AC1 于点 E ,再连接 DE . 因为四边形 A1 ACC1 为矩形, 所以 E 为 A1C 的中点, 又因为 D 为 BC 的中点, 所以 ED / / A1 B . B D 又 A1 B 平面 ADC1 , ED 平面 ADC1 , C C1 E B1 A A1

所以 A1 B // 平面 ADC1 .…………………………………………………………14 分 17. 设 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和,若

S 2n * ( n ∈ N )是非零常数,则称该数列为“和等比 Sn
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数列” . (1)若数列 2 列” ; (2)若数列 {cn } 是首项为 c1 ,公差为 d ( d ≠ 0) 的等差数列,且数列 {cn } 是“和等比数列” , 试探究 d 与 c1 之间的等量关系. 解: (1)因为数列 2

{ b } 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,试判断数列 {b } 是否为“和等比数
n

n

{ b } 是首项为 2,公比为 4 的等比数列,所以 2 b = 2 4
n
n

n 1

= 22 n 1 ,

因此 bn = 2n 1 .……………………………………………………………2 分 设数列 {bn } 的前 n 项和为 Tn ,则 Tn = n , T2 n = 4n ,所以
2 2

T2 n =4, Tn

因此数列 {bn } 为“和等比数列” .………………………………………………6 分 (2) 设数列 {cn } 的前 n 项和为 Rn ,且

R2 n = k (k ≠ 0) , Rn
n(n 1) 2n(2n 1) d , R2 n = 2nc1 + d, 2 2

因为数列 {cn } 是等差数列,所以 Rn = nc1 +

2n(2n 1) d R2n 2 所以 = = k 对于 n ∈ N* 都成立, n(n 1) Rn nc1 + d 2 2nc1 +
化简得, (k 4) dn + ( k 2)(2c1 d ) = 0 ,……………………………………10 分 则

(k 4)d = 0, ,因为 d ≠ 0 ,所以 k = 4 , d = 2c1 , (k 2)(2c1 d ) = 0
……………………………………14 分

因此 d 与 c1 之间的等量关系为 d = 2c1 .

18.已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,准线 l 的方程为 x = 2 ,点 P 在准线 l 上,纵坐标为

1 (t ∈ R , t ≠ 0) ,点 Q 在 y 轴上,纵坐标为 2t . t (1)求抛物线 C 的方程; 3t
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(2)求证:直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,并求出圆 M 的方程。
2 解: (1)设抛物线 C 的方程为 y = 2 px ( p > 0) ,

因为准线 l 的方程为 x = 2 ,所以
2

p = 2 ,即 p = 4 , 2

因此抛物线 C 的方程为 y = 8 x . …………………………………………4 分 (2)由题意可知, P ( 2 , 3t ) , Q (0 , 2t ) ,

1 t

1 2t (3t ) t x, 则直线 PQ 方程为: y 2t = 2
即 (t 2 1) x + 2ty 4t 2 = 0 ,……………………………………………………8 分 设圆心在 x 轴上,且与直线 PQ 相切的圆 M 的方程为 ( x x0 )2 + y 2 = r 2 (r > 0) , 则圆心 M ( x0 , 0) 到直线 PQ 的距离

(t 2 1) x0 4t 2 (t 2 1) 2 + 4t 2

= r , …………………10 分

即 (t 2 1) x0 4t 2 = r + rt 2 ①或 (t 2 1) x0 4t 2 = r rt 2 ② 由①可得 ( x0 r 4)t 2 + x0 r = 0 对任意 t ∈ R , t ≠ 0 恒成立,则有

x0 r 4 = 0, x0 = 2, ,解得 (舍去)……………………………………14 分 r = 2, x0 r = 0,
由②可得 ( x0 + r 4)t 2 x0 + r = 0 对任意 t ∈ R , t ≠ 0 恒成立,则有

x0 + r 4 = 0, x0 = 2, ,可解得 r = 2, x0 + r = 0,
因此直线 PQ 恒与一个圆心在 x 轴上的定圆 M 相切,圆 M 的方程为 ( x 2)2 + y 2 = 4 . ………………………………………………………………………………………16 分 19.一走廊拐角处的横截面如图所示, 已知内壁 FG 和外壁 BC 都是半径为 1 m 的四分之一圆 弧, AB , DC 分别与圆弧 BC 相切于 B , C 两点, EF ∥ AB , GH ∥ CD ,且两组平行
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墙壁间的走廊宽度都是 1 m . (1)若水平放置的木棒 MN 的两个端点 M , N 分别在外壁 CD 和 AB 上,且木棒与内壁圆 弧相切于点 P .设 ∠CMN = θ (rad) ,试用 θ 表示木棒 MN 的长度 f (θ ) ; (2)若一根水平放置的木棒能通过该走廊拐角处,求木棒长度的最大值. M C D 1m B P G H

θ

N

F

Q

1m A 解:(1)如图,设圆弧 FG 所在的圆的圆心为 Q , 过 Q 点作 CD 垂线,垂足为点 T ,且交 MN 或其 延长线与于 S ,并连接 PQ ,再过 N 点作 TQ 的 垂线,垂足为 W . 在 Rt NWS 中,因为 NW = 2 , ∠SNW = θ , 所以 NS = B P S G E

C

T

θ

M

D 1m H

2 . cos θ

N

F

Q W

因为 MN 与圆弧 FG 切于点 P ,所以 PQ ⊥ MN , 在 Rt QPS ,因为 PQ = 1 , ∠PQS = θ , 所以 QS =

1m A E

1 1 , QT QS = 2 , cos θ cos θ

①若 S 在线段 TG 上,则 TS = QT QS

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在 Rt STM 中, MS =

TS QT QS QT QS = ,因此 MN = NS + MS = NS + sin θ sin θ sin θ

②若 S 在线段 GT 的延长线上,则 TS = QS QT

TS QS QT = , sin θ sin θ QS QT QT QS 因此 MN = NS MS = NS = NS + sin θ sin θ QT QS 2 2 1 f (θ ) = MN = NS + = +( ) sin θ cos θ sin θ sin θ cos θ 2(sin θ + cos θ ) 1 π = (0 < θ < ) .………………………………………8 分 sin θ cos θ 2
在 Rt STM 中, MS = (2)设 sin θ + cos θ = t (1 < t ≤ 因此 f (θ ) = g (t ) = 因为 g ′(t ) =

2) ,则 sin θ cos θ =

t 2 1 , 2

4t 2 . t 2 1

4(t 2 t + 1) ,又 1 < t ≤ 2 ,所以 g ′(t ) < 0 恒成立, (t 2 1)2
4t 2 在 t ∈ (1, 2] 是减函数,所以 g (t ) min = g ( 2) = 4 2 2 , t 2 1

因此函数 g (t ) =

即 MN min = 4 2 2 . 答:一根水平放置的木棒若能通过该走廊拐角处,则其长度的最大值为 4 2 2 . …………………………………………………………………………16 分 20.已知函数 f ( x) = ax 3 + bx 2 + (b a ) x ( a , b 不同时为零的常数) ,导函数为 f ′( x) . (1)当 a =
1 时,若存在 x ∈ [3 , 1] 使得 f ′( x) > 0 成立,求 的取值范围; b 3

(2)求证:函数 y = f ′( x) 在 (1 , 0) 内至少有一个零点; (3)若函数 f ( x) 为奇函数,且在 x = 1 处的切线垂直于直线 x + 2 y 3 = 0 ,关于 x 的方程

1 f ( x) = t 在 [1 , t ] (t > 1) 上有且只有一个实数根,求实数 t 的取值范围. 4 1 1 1 2 2 2 解: (1)当 a = 时, f ′( x) = x + 2bx + b = ( x + b) b + b ,其对称轴为直线 3 3 3
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x = b ,



b ≥ 2, b < 2, 26 ,解得 b < ,当 , b 无解, 15 f ′(3) > 0 f ′(1) > 0
26 ) .………………………………………………4 分 15

所以 b 的的取值范围为 (∞ ,

(2)因为 f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + (b a ) , 法一:当 a = 0 时, x =

1 适合题意………………………………………6 分 2 b b b 2 2 当 a ≠ 0 时, 3 x + 2 x + ( 1) = 0 ,令 t = ,则 3 x + 2tx + (t 1) = 0 , a a a 1 1 令 h( x ) = 3 x 2 + 2tx + (t 1) ,因为 h( ) = < 0 , 2 4
1 当 t > 1 时, h(0) = t 1 > 0 ,所以 y = h( x ) 在 ( , 0) 内有零点. 2

当 t ≤ 1 时, h( 1) = 2 t ≥ 1 > 0 ,所以 y = h( x ) 在( 1, ) 内有零点. 因此,当 a ≠ 0 时, y = h( x ) 在 (1 , 0) 内至少有一个零点. 综上可知,函数 y = f ′( x ) 在 (1 , 0) 内至少有一个零点.……………………10 分 法二: f ′(0) = b a , f ′( 1) = 2a b , f ′( 1 ) = b 2a . 3 3 由于 a , b 不同时为零,所以 f ′( ) f ′( 1) < 0 ,故结论成立. (3)因为 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + (b a ) x 为奇函数,所以 b = 0 , 所以 f ( x ) = ax ax ,
3

1 2

1 3

又 f ( x ) 在 x = 1 处的切线垂直于直线 x + 2 y 3 = 0 ,所以 a = 1 ,即 f ( x ) = x 3 x . 因 为 f ′( x ) = 3( x

3 3 )( x + ) 3 3

所 以 f ( x ) 在 (∞,

3 3 ) , ( , +∞) 上 是 増 函 数 , 在 3 3

[

3 3 , ] 上是减函数,由 f ( x) = 0 解得 x = ±1 , x = 0 ,如图所示, 3 3

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当 1 < t ≤

3 1 t 3 3 3 ≤t ≤ 时, f (t ) ≥ t ≥ 0 ,即 t t ≥ ,解得 ; 3 4 4 2 3



3 1 3 <t < 0; < t < 0 时, f (t ) > t ≥ 0 ,解得 3 4 3

当 t = 0 时,显然不成立; 当0 < t ≤

3 1 t 3 3 时, f (t ) ≤ t < 0 ,即 t t ≤ ,解得 0 < t ≤ ; 3 4 4 3
y

当t >

3 1 3 3 时, f (t ) < t < 0 ,故 <t < . 3 4 3 2 3 3 ≤ t < 0 或0 < t < . 2 2

所以所求 t 的取值范围是

-1

O

1

x

数学附加题部分 数学附加题部分
分钟, (考试时间 30 分钟,试卷满分 40 分)
21. 【选做题】在 A,B,C,D 四个小题中只能选做 2 个小题,每小题 10 分,共计 20 分.请 在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 几何证明选讲 A.选修 4-1:几何证明选讲 选修 如图,在 ABC 中,D 是 AC 中点,E 是 BD 三等分点,AE 的延长线交 BC 于 F, A 求

SBEF

S四边形DEFC

的值.

D

E B 解:过 D 点作 DM∥AF 交 BC 于 M,因为 DM∥AF,
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F

A

C

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D

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所以

BF BE 1 = = ,………………………………2分 BM BD 3

因为 EF∥DM,所以

S BEF 1 = ,即 S BDM = 9 S BEF …4分 S BDM 9



S DMC 2 = , S BDM 3 2 S BDM = 6 S BEF ,…………………………8分 3

即 S DMC =

所以 S四边形DEFC = 14 S BEF ,因此 B.选修 4-2:矩阵与变换 选修 已知矩阵 M =

SBEF S四边形DEFC

=

1 . ………………10 分 14

2 1

0 ,求矩阵 M 的特征值及其相应的特征向量. 1

解:矩阵 M 的特征多项式为 f (λ ) =

λ 2

0

1 λ 1

= λ 2 3λ + 2 ,…………2分

令 f (λ ) = 0 ,解得 λ1 = 1 , λ2 = 2 , 将 λ1 = 1 代入二元一次方程组

………………………………………4分

(λ - 2)x + 0 y = 0, 解得 x = 0 ,……6分 x + (λ 1) y = 0, 0 1

所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ;………………………8分

同理,矩阵 M 属于特征值 2 的一个特征向量为 .……………………10 分 C.选修 4 - 4:坐标系与参数方程 选修 在极坐标系中,直线 l 的极坐标方程为 θ =

1 1

π
3

( ρ ∈ R ) ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正
x = 2 cos α , ( α 为参数) ,求直线 l 与 y = 1 + cos 2α

半轴建立平面直角坐标系,曲线 C 的参数方程为 曲线 C 的交点 P 的直角坐标.

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解:因为直线 l 的极坐标方程为 θ = 所以直线 l 的普通方程为 y = 又因为曲线 C 的参数方程为

π
3

(ρ ∈ R)

3 x ,……………………………………………3分

x = 2 cos α , ( α 为参数) y = 1 + cos 2α 1 2 x ( x ∈ [ 2, 2]) , ………………………6分 2

所以曲线 C 的直角坐标方程为 y = 联立解方程组得

x = 0, x = 2 3, 或 ,…………………………………………8分 y = 0, y = 6 x = 2 3, ,故 P 点的直角坐标为 (0, 0) .……………10 分 y = 6
(a +b + c)2 ( a , b , c 为实数)的最小值为 m , 3

根据 x 的范围应舍去 D.选修 4-5:不等式选讲 选修

已知函数 f (x) = (x a) + (x b) + (x c) +
2 2 2

若 a b + 2c = 3 ,求 m 的最小值.
2 2 2

(a + b + c)2 解:因为 f ( x ) = ( x a ) + ( x b) + ( x c ) + 3 (a + b + c)2 = 3 x 2 2(a + b + c) x + a 2 + b 2 + c 2 + 3 a+b+c 2 = 3( x ) + a 2 + b 2 + c 2 ,………………………………2 分 3 a+b+c 2 2 2 所以 x = 时, f ( x ) 取最小值 a + b + c , 3 2 2 2 即 m = a + b + c ,………………………………………………………………5 分 因为 a b + 2c = 3 ,由柯西不等式得 12 + (1) 2 + 2 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ (a b + 2c) 2 = 9 ,……………………8 分

9 3 = , 6 2 a b c 3 3 3 当且仅当 = = ,即 a = ,b = ,c = 时等号成立, 1 1 2 4 4 2 3 所以 m 的最小值为 . …………………………………………………………10 分 2
所以 m = a + b + c ≥
2 2 2

22. 【必做题】某电视台综艺频道组织的闯关游戏,游戏规定前两关至少过一关才有资格闯 第三关,闯关者闯第一关成功得 3 分,闯第二关成功得 3 分,闯第三关成功得 4 分.现有一
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位参加游戏者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 三关所得总分为 ξ . (1)求该参加者有资格闯第三关的概率; (2)求 ξ 的分布列和数学期望.

1 1 1 、 、 ,记该参加者闯 2 3 4

解:⑴设该参加者单独闯第一关、第二关、第三关成功的概率分别为 p1 =

1 1 、 p2 = 、 2 3

1 ,该参加者有资格闯第三关为事件 A . 4 2 则 P ( A) = p1 (1 p2 ) + (1 p1 ) p2 + p1 p2 = ;………………………………4 分 3 p3 =
(2)由题意可知, ξ 的可能取值为 0 、 3 、 6 、 7 、 10 ,

P (ξ = 0) = (1 p1 )(1 p 2 ) =

1 , 3
1 1 3 + = , 4 8 8

P (ξ = 3) = p1 (1 p2 )(1 p3 ) + (1 p1 ) p2 (1 p3 ) =
1 P (ξ = 6) = p1 p2 (1 p3 ) = , 8

P (ξ = 7) = p1 (1 p2 ) p3 + (1 p1 ) p2 p3 = P (ξ = 10) = p1 p2 p3 =
所以 ξ 的分布列为

1 1 1 + = , 12 24 8

1 , 24

ξ
p

0 1 3

3 3 8

6

7 1 8

10

1 8

1 24

………………………………………………8 分

1 3 1 1 1 1 所以 ξ 的数学期望 Eξ = 0 × + 3 × + 6 × + 7 × + 10 × = 3 …………………10 分 3 8 8 8 24 6
23.【必做题】如图,已知抛物线 M : x 2 = 4 py ( p > 0) 的准线为 l , N 为 l 上的一个动点, 过点 N 作抛物线 M 的两条切线,切点分别为 A , B ,再分别过 A , B 两点作 l 的垂线,垂 足分别为 C , D . (1)求证:直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q ,并写出点 Q 的坐标;
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(2)若 ACN , BDN , ANB 的面积依次构成等差数列,求此时点 N 的坐标. y

B

A C

x O N D

解法一: (1)因为抛物线的准线 l 的方程为 y = p ,所以可设点 N , A , B 的坐标分别为
2 (m, p) ( x1, 1 ) , ( x2, 2 ) ,则 x12 = 4 py1 , x2 = 4 py2 , 由 x 2 = 4 py ,得 y = , y y

x2 ,求 4p

x12 +p x y1 + p x1 x 4p 导数得 y′ = ,于是 = ,即 = 1 , 2p x1 m 2 p x1 m 2 p
化简得 x1 2mx1 4 p = 0 ,
2 2

同理可得 x 2mx2 4 p = 0 ,
2 2 2

y
2

所以 x1 和 x2 是关于 x 的方程 x 2mx 4 p = 0 两个实数根,
2

B E Q A C x O N D

所以 x1,2 = m ± m + 4 p ,且 x1 x2 = 4 p .
2 2 2

在直线 AB 的方程 y y1 = 令x=0,

y2 y1 ( x x1 ) 中, x2 x1

y y1 x y x y x x (x x ) xx 得 y = y1 2 x1 = 2 1 1 2 = = 1 2 1 2 = 1 2 = p 为定值, x2 x1 x2 x1 4 p ( x2 x1 ) 4p 所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q (0,p ) ,即抛物线的焦点.……………5 分 (2)由(1)知 x1 + x2 = 2m ,所以 N 为线段 CD 的中点,取线段 AB 的中点 E , 因为 Q 是抛物线的焦点,所以 AQ = AC,BQ = BD ,所以 AC + BD = AB , 1 1 1 所以 S ANB = S ANE + S BNE = EN CN + EN DN = EN (CN + DN ) 2 2 2 AC + BD AB CN = EN CN = CN = , 2 2 AC CN AQ CN BD DN BQ CN 又因为 S ACN = = , S BDN = = , 2 2 2 2 AQ CN BQ CN AB CN 所以 , , 成等差数列,即 AQ,BQ,AB 成等差数列, 2 2 2
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即 0 x1,x2 0,x2 x1 成等差数列,所以 x2 2 x1 = 2 x2 , x2 = 2 x1 , 所以 x1 x2 = 2 x1 = ( m + m + 4 p )( m m + 4 p ) = 4 p , x1 = ± 2 p ,
2 2 2 2 2 2

x1 + x2 2 = p, 2 2 x +x 2 2 x1 = 2 p 时, x2 = 2 2 p , m = 1 2 = p ,所以所求点 N 的坐标为 (± p, p) . 2 2 2

x1 = 2 p 时, x2 = 2 2 p , m =

……………………………………………………………………………10 分 解法二: (1)因为已知抛物线的准线 l 的方程为 y = p ,所以可设点 N,A,B 的坐标分别 为 (m, p) ( x1, 1 ) , ( x2, 2 ) ,则 x1 = 4 py1 , x2 = 4 py2 , , y y
2 2 2 设过 N 点与抛物线相切的直线方程为 y + p = k ( x m) , 与抛物线方程 x = 4 py 联立, 消去

y 得 x 2 4 pkx + 4 pmk + 4 p 2 = 0 ,
因为直线与抛物线相切,所以 = 16 p 2 k 2 16( pmk + p 2 ) = 0 ,即 pk 2 mk p = 0 ,解

m ± m2 + 4 p 2 2 2 ,此时两切点横坐标分别为 x1, = 2 pk = m ± m + 4 p , 2 2p y y1 在直线 AB 的方程 y y1 = 2 ( x x1 ) 中,令 x = 0 得 x2 x1 y y x y x y x x (x x ) xx y = y1 2 1 x1 = 2 1 1 2 = = 1 2 1 2 = 1 2 = p 为定值, x2 x1 x2 x1 4 p ( x2 x1 ) 4p 所以直线 AB 必经过 y 轴上的一个定点 Q (0,p ) ,即抛物线的焦点.……………5 分
得 k1, = 2

m ± m2 + 4 p 2 (2) (1) 由 知两切线的斜率分别为 k1, = , k1 k2 = 1 , 则 所以 AN ⊥ BN , 2 2p 2p 连接 QN ,则直线 QN 斜率为 kQN = , m 2 y y1 x2 x12 x + x 2m m 又因为直线 AB 的斜率 k AB = 2 = = 2 1= = , x2 x1 4 p( x2 x1 ) 4p 4p 2p 2p m 所以 kQN k AB = = 1, m 2p 所以 QN ⊥ AB ,又因为 AQ = AC,BQ = BD ,所以 ACN ≌AQN,BDN ≌BQN , 所以 AQN,BQN 和 ANB 的面积成等差数列,所以 AQ,BQ,AB 成等差数列, 所以 0 x1,x2 0,x2 x1 成等差数列,所以 x2 2 x1 = 2 x2 , x2 = 2 x1 ,
所以 x1 x2 = 2 x1 = ( m + m + 4 p )( m m + 4 p ) = 4 p , x1 = ± 2 p ,
2 2 2 2 2 2

x1 = 2 p 时, x2 = 2 2 p , m =

x1 + x2 2 = p, 2 2
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x1 = 2 p 时, x2 = 2 2 p , m =
所以所求点 N 的坐标为 ( ±

x1 + x2 2 = p, 2 2

2 p, p) ………………………………10 分 . 2

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