高考数学热点考点精析 5函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性(新课标)

考点 5 函数的单调性与最值、 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1. (2011· 安徽高考理科· T3) 设 f ? x ? 是定义在R上的奇函数, 当 x ? 0 时,f 则 f ?1? ? (A)-3 (B)-1 (C)1 (D)3 ? x ? ? 2 x2 ? x , 【思路点拨】由奇函数的定义有 f (? x) ? ? f ( x), 所以 f ?1? ? ? f (?1). 【精讲精析】选 A. 由奇函数的定义有 f (? x) ? ? f ( x), 所以 f ?1? ? ? f (?1) ? ?[2 ? (?1)2 ?1] ? ?3 . 2. (2011·福建卷理科·T9)对于函数 f (x)=asinx+bx+c(其中, a,b ? R,c ? Z),选取 a,b,c 的一组值计算 f(1)和 f(-1) ,所得出的正确结果一定不可能 是( ..... A.4 和 6 B.3 和 1 C.2 和 4 ) D.1 和 2 ? 1)与 c 的 关 系 , 然 后 由 c ? Z 限 定 【 思 路 点 拨 】 先求 出 f (1)、f (?1) , 探 究 f (1)? f ( f (1) 和f (-1) 的取值 . 【精讲精析】选 D. ?c ? f (1) ? f ( ?1) ,又 2 f (1) ? a sin1 ? b ? c, f (?1) ? ?a sin1 ? b ? c, ? f (1) ? f (?1) ? 2c , c ? Z, ? f (1)和f (?1)的值一定不可能是1和2 (0, +?) 3.(2011·新课标全国高考理科·T2)下列函数中,既是偶函数又在 单调递增的函 数是 A. y ? x3 B. y ? x ?1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2 ?x 【思路点拨】对选项进行逐个判断,一是看是否满足奇偶性,二是检验单调性 【精讲精析】选 B. 函数 y ? x 是奇函数,故可排除 A,当 x ? 0 时, y ?| x | ?1 ? x ? 1 ,是增 3 函数, y ? ? x ? 1是减函数, y ? 2 2 ?| x| 1 ? 2? x ? ( ) x 为减函数. 2 4.(2011·新课标全国高考文科·T3)下列函数中,既是偶数又在 ? 0, ??? 单调递增的函数 是( ) A. y ? x3 B. y ? x ?1 C. y ? ? x2 ? 1 D. y ? 2 ?x 【思路点拨】对选项进行逐个判断,一是看是否满足奇偶性,二是检验单调性 【精讲精析】选 B 函数 y ? x3 是奇函数,故可排除 A,当 x ? 0 时, y ?| x | ?1 ? x ? 1 ,是增 函数, y ? ? x2 ? 1是减函数, y ? 2 ?| x| 1 ? 2? x ? ( ) x 为减函数. 2 5. (2011·辽宁高考文科·T6)若函数 f ( x) = x 为奇函数,则 a = (2 x ? 1)(x ? a) 3 4 (D)1 (A) 1 2 (B) 2 3 (C) 【思路点拨】利用奇函数的定义,从 f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立入手,即得. 【精讲精析】选 A.∵函数 f ( x) 为奇函数,∴ f (? x) ? f ( x) ? 0 恒成立. 即 x ?x ? ?0 (2 x ? 1)(x ? a) (?2 x ? 1)(? x ? a) 恒 成 立 . 可 化 为 (2 x ? 1)(x ? a) ? (2 x ? 1)(x ? a) 恒成立.整理得 2(1 ? 2a) x ? 0 恒成立,只有 1 ? 2a ? 0 ,∴ a? 1 . 2 6.(2011·广东高考理科·T4)设函数 f ( x ) 和 g ( x) 分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列 结论恒成立的是 A. f ( x ) +| g ( x) |是偶函数 C.| f ( x ) | + g ( x) 是偶函数 B. f ( x ) -| g ( x) |是奇函数 D.| f ( x ) |- g ( x) 是奇函数 【思路点拨】本题主要考查函数的奇偶性,可由奇偶性的概念进行判断. 【精讲精析】选 A.由题意 f (? x) ? f ( x), g (? x) ? ? g ( x) .令 F ( x) ? f ( x)? | g ( x) | ,则 F (? x) ? f (? x)? | g (? x) |? f ( x)? | g ( x) |? F ( x) . ? F ( x ) 是偶函数.故选 A. 7. (2011·北京高考理科·T8)设 A(0,0), B(4,0), C (t ? 4, 4), D(t , 4)(t ? R) ,记 N (t ) 为平行 四边形 ABCD 内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函 数 N (t ) 的值域为( A.{9,10,11} ) C.{9,11,12} D.{10,11,12} y D 4 3 2 1 A B 0 1 2 3 4 C B.{9,10,12} 【思路点拨】作图,分别求出 t=0,1,2,3,4,……时的函数值,即可选出答案. x 【精讲精析】 选 C.如图所示.N(0)=9, N(1)=12, N(2)=11, N(3)=12,……, 故值域为{9,11,12}. 8. (2011·湖南高考文科 T8)已知函数 f(x)= e ? 1 ,g(x)= ? x ? 4 x ? 3. 若有 f(a)=g(b), x 2 则 b 的取值范围为 (A) . [2 ? 2 ,2 ? 2 ] (C) .[1,3] (B) . ( 2 ? 2 ,2 ? 2 ) (D) .(1,3) 【思路点拨】本题以考查函数的值域为载体,重点考查 f(a)=g(b)的理解,

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