湖北省荆州中学2016-2017学年高一下学期第一次(3月)月考数学(理)试题 Word版含答案

荆州中学 2016~2017 下学期高一年级三月阶段检测

数 学 卷(理科)
考试时间 120 分钟 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1 . 设 A, B 是 非 空 集 合 , 定 义 A ? B ={ x x ? A ? B 且 x ? A ? B } , 己 知 集 合

A ? ? x 0 ? x ? 2? , B ? ?y y ? 0?,则 A ? B 等于
A. ?0?? ?2,??? C. ?0,1? ? ?2,??? B. ?0,1? ? ?2,??? D. ?0?? ?2,???

2.与图中曲线对应的函数是 A. y=|sinx|; C. y=-sin|x|; B. y=sin|x|; D.y=-|sinx|

3.等边三角形 ABC 的边长为 1 ,如果 BC ? a, CA ? b, AB ? c, 那么 a ? b ? b ? c ? c ? a 等于 A. ?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? ?
3 2

? ? ? ? ? ?

1 2

B.

1 2

C. ?

D.

3 2
10 , 10

4. △ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.已知 a ? 3 , c ? 则 b=( A. 5 ) B. 6 C.2

2 , cos A ? ?

D.3 )

5. 已知 ? 是锐角, a ? ? ,sin ? ? , b ? ? cos ? , A. 15
o o

?

?3 ?4

? ? ? ? ?

? ? 1 ? a ,且 ∥ b ,则 ? 为( ? 3?
o o

B. 30
o

C. 30 或 60

D. 15 或 75

o

6. 函数 f ? x ? ? log 1 x 2 ? 2 x ? 3 的单调递减区间是 (
2

?

?

) D. (1,+∞)

A. (-∞,1) 7.若

B. (-∞,-1)

C. (3,+∞) )

sin ? cos ? ? 1, tan ?? ? ? ? ? 3 ,则 tan ? ? ( cos 2? ? 1
B.

A.-1

1 7

C. ?

1 7
) C. (1, 2)

D.1

8. 函数 f ( x) ? 3x ? x ? 2 的零点所在的区间是( A. (?1, 0) B. (0,1)

D.

(2,3)
9. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A.钝角三角形 可能 10. 已知数列 ?an ? 是等差数列, 若 B.直角三角形

c ? cos A ,则 ?ABC 为( b



C.锐角三角形

D.以上三种都有

a12 ? ?1 , 且它的前 n 项和 sn 有最大值, 则使得 sn ? 0 的 a11

n 的最大值为(
A. 11

) B. 12 C. 21 D. 22

11.在△ABC 中,A= 60 ? ,b=1,这个三角形的面积为 3 ,则 ( ) A. 3 3 B.

a?b?c 的值为 sin A ? sin B ? sin C

2 39 3

C.

26 3 3

D.

39 2

12. 设 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , 当 x ? ?? 2,0? 时 ,

f ( x) ? (

2 x 若在区间 (?2,6) 内关于 x 的方程 f ( x) ? loga ( x ? 2) ? 0 (a ? 0, a ? 1) , ) ? 1, 2
) C. (4,8) D. (8,??)

恰有 3 个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是( A. ( ,1)

1 4

B. (1,4)

二、填空题: 本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分
13. f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

)的

部分图象如右图所示,则函数 f ( x ) 的解析式为___________

14. 一艘海警船从港口 A 出发,以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 ? 方向直线航行,30 分 钟后到达 B 处,这时候接到从 C 处发出的一求救信号,已知 C 在 B 的北偏东 65 ? ,港口 A 的 东偏南 20 ? 处,那么 B , C 两点的距离是 15.已知数列 ?an ? 的前五项依次为 0, 海里.

3 2 15 6 , , , ,请参考前四项归纳猜想出一个通 3 2 5 3

项公式,且第五项也满足猜想,你的猜想结果是 an ? __________ ___ 16. 设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 是 函 数 f ? x ? ?

1 x ?log 的图象上任意两点,且 2 2 1? x

???? ? 1 ??? ? ??? ? 1 OM? OA ? OB ,已知点 M 的横坐标为 ,则 M 点的纵坐标为___________. 2 2

?

?

三、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。
17. (本小题 10 分) (1)已知数列 ?an ? 是等差数列,且 a1 ? a5 ? a9 ?
2

? 2017 ?? ? ,求 sin? a4 ? a6 ? ? 的值; 4 2 ? ?

(2)已知数列 ?an ? 是等差数列,且满足 a2 ? a1a5 , a1 ? a2 ? a5 ? 26 ,求数列 ?an ? 的 通 项公式;

18. (本题满分 12 分) 已知向量 a ? ? 3,1? , b ? ? ?2, 4? ,向量 a 与 b 夹角为 ? ; (1)求 cos ? ; (2)求 a 在 b 方向上的投影.

?

?

?

?

?

?

19. (本小题 12 分) 已知函数 f ?x ? ? sin x ? cos x, g ?x ? ? sin 2 x (1)试说明由函数 y ? g ?x ? 的图像经过变换得到函数 y ? f ?x ? 的图像的变换过程; (2)若 h?x? ? f ?x ? ? g ?x? ,求函数 h?x ? 的值域.

20. (本题满分 12 分) 在 ? ABC 中 , 内 角

A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c , 已 知

cs i A n ?

a 3

c Co ,s

(a ? c)(a ? c) ? b(b ? c)

,





f ( x) ? 2sin x cos( ? x) ? 3 sin(? ? x) cos x ? sin( ? x) cos x 2 2
(1)求函数 y ? f ( x) 的周期和对称轴方程; (2)求 f ( B ) 的值.

?

?

21.已知数列 {an } 满足: {

an n?2 an ? 1. } 是公差为 1 的等差数列,且 an ?1 ? n n

(1)求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

1 an?1an

,求数列 ? bn ? 的前 n 项和;

(3)设 cn ?

1 , c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn ? 2 n ?1 . 4 a n

2 2 22.已知定义域为 R 的函数 f ?x ? 满足 f f ?x? ? x ? x ? f ?x? ? x ? x .

?

?

(1)若 f ?3? ? 3 ,求 f ?? 3? 的值; (2) 若有且仅有一个实数 x0 满足 f ?x0 ? ? x0 且函数 g ? x ? ? x 的定义域为 R, ’ 4 ? m ? 2x ? 4 ①求实数 m 的取值范围; ②求 f ?m ? 的取值范围

1

高一理科数学答案
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 A 5 C 6 C 7 C 8 B 9 A 10 C 11 B 12 C

13. 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

14. 10 2

15.

n ?1 n ?1

16.

1 2

17.解 ?1? ? a1 ? a5 ? a9 ?

?
4

? 3a5 ?

?
4

? a5 ?

?
12

2017? ? ?? ? ? ? sin ? a4 ? a6 ? ? ? sin ? 2a5 ? ? 2 ? 2? ? ?

? 3 ?? ? ? ? sin ? ? ? ? cos ? 6 2 ?6 2?
………………………………………….……………………………………………………………………(5 分)
2 (2)? a2 ? a1a5 ? ? a1 ? d ? ? a1 ? a1 ? 4d ? 2

?d 2 ? 2a1d ?d ? 0或d ? 2a1
当 d ? 0时,由a1 ? a2 ? a5 ? 26得a1 ? 此时, an ?

…………..(7 分)

26 3
…………….(8 分)

26 3

当 d ? 2a1时,由a1 ? a2 ? a5 ? 26得13a1 ? 26, 故a1 ? 2, d ? 4 ……(9 分) 此时, an ? 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? 2 综上可知: an ?

26 或 an ? 2 ? 4 ? n ? 1? ? 4n ? 2 ………………………….(10 分) 3

? ? a ?b 18.解: (1) cos ? ? ? ? ? a?b

x1 x2 ? y1 y2
2 2 x ? y12 ? x2 ? y2 2 1

?
…………(6 分) ( 2 )

?2 2 ………………………………………………………………………………………… ?? 10 10 ? 20

? a



? b















? 2 5 ………………………………………………………(12 分) a cos ? ? 10 ? (? )?? 10 5
19.解: (1) f ? x ? ? (2 分) 故先将 y ? sin 2 x 的图像上所有点纵坐标不变,横坐标伸长到原来的两倍得到 y ? sin x 的 图像, 再将 y ? sin x 的图像上所有点横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 2 倍得到 y ? 的图像, 再把所得图像向左平移 分) (2) 令sin x ? cos x ? t, 则 1 ? 2sin x cos x ? t 2 故 sin 2 x ? 1 ? t 2 故 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? ?t ? ? ?t ? t ? 1 ………………………………………… (7
2

?? ? 2 sin ? x ? ? …………………………………………………………… 4? ?

2 sin x

? ?? ? 个单位,即得到 y ? 2 sin ? x ? ? 的图像。…………………(5 4 4? ?

分) 由(1)知, t ? ? ? 2, 2 ? , 所以? ? t ? 在 ? 2, 递增, , 2 递减, ? ?2 ? ? ? 2?

? ?

1? ?

?1 ?

? ?

所以 ? ? t ? ? ? 2 ? 1, ,故 h ? x ? 的值域为 ? 2 ? 1, ……………………… .(12 ? ? 4? 4?

? ?

5? ?

? ?

5? ?

分) 20. 解:(1) f ( x) ? 2sin 2 x ? 3sin x cos x ? cos2 x ? sin 2 x ? 3sin x cos x ?1

?

1 ? cos 2 x 3 ?? 3 ? ? sin 2 x ? 1 ? sin ? 2 x ? ? ? 2 2 6? 2 ?
…………………………..…………………………………………………(3 分)

?T ? ? .
令 2x ?

?
6

3 k? , k ? Z …………………………………………………….(6 分) 故对称轴方程为 x ? ? 3 2

?

?
2

? k? , k ? Z , 则x ?

?

?

?

k? ,k ? Z 2

(2)由 c sin A ? 3a cos C 得 sin C sin A ? 3sin A cos C , 化 简 得

t

C?

a

, n

?C ?

?
3

。……………………………………………………………………………………(8 分)

? (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c), a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ,


A?

?
3

,



B ?? ? A?C ?


?
3

,………………………………………………………………………………………(10 分) 以

? 2? ? f ? B? ? s ? ? ? 3
21.解: (1)因为 {

? ?? ?

?

…………………………………………………………………………(12i分)

3 6

an n?2 an ? 1. } 是公差为 1 的等差数列,且 an ?1 ? n n

?

a2 ? a1 ? 1, a 2 ? 3a1 ? 1, 解之得 a1 ? 1 .........................................................................(2 分) 2
所 以

an ? 1 ? ?n ? 1? ? n,? a n ? n 2 ......................................................................................(4 分) n
(2)因为 bn ?

1 an?1an

? bn ?
分) 所 以

1 1 1 ? ? ................................................................................ ( 6 ?n ? 1?n n n ? 1





?bn ?





n





1 1 1 n ? 1? ?1 1? .....(8 分) sn ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? n n ?1 n ?1 n ?1 ? 2? ? 2 3?
(3) 因为 cn ?

4

1 1 2 2 ? ? ? ? 2 n ? n ? 1 ?n ? 2? an n 2 n n ? n ?1

?

?

......................

(10 分) 所 以

c1 ? c2 ? c3 ? ?? cn ? 1 ? 2 2 ?1 ? 2 3 ? 2 ? ?? 2 n ? n ?1 ? 2 n ?1
当且仅当n ? 1时取等号
(12 分) ..................................................................................................

?

? ?

?

?

?

解:( 1 )因为f f ?x? ? x 2 ? x ? f ?x? ? x 2 ? x, f ?3? ? 3
所以 f f ?3? ? 3 ? 3 ? f ?3? ? 3 ? 3 ? ?3
2 2

?

?

?

?

所以 f ?? 3? ? ?3 ............................................................................................................... (2 分)

g ?x ? ? x 的定义域为 R, (2)①因为函数 4 ? m ? 2x ? 4
所以 4 x ? m ? 2 x ? 4 ? 0对任意实数成立 所以 ? m ? 2 ?
x

1

4 4 , 而易知 2 x ? x ? 4 x 2 2

所以 ? m ? 4, 所以m ? ?4 故

m













?? 4,??? .........................................................................................(7 分)
② 因为f f ?x? ? x ? x ? f ?x? ? x ? x对x ? R恒成立
2 2

?

?

又因为有且仅有一个实数 x0满足f ?x0 ? ? x0 所以对任意 x ? R, 有f ?x? ? x ? x ? x0
2

令 x ? x0,则f ?x0 ? ? x0 ? x0 ? x0
2


2





f ?x0 ? ? x0得x0 ? x0 ? 0, 故x0 ? 0, 或x0 ? 1 ...............................................................................
..(9 分) 所以 f ?x ? ? x ? x ? 0或 f ?x? ? x ? x ? 1
2 2

所以 f ?x ? ? x ? x或 f ?x? ? x ? x ? 1
2 2

而当 f ?x ? ? x ? x 时, f ?x ? ? x有两个解,舍去
2

当 f ?x? ? x ? x ? 1 时, f ?x ? ? x只有一个解,
2

故 f ?x ? ? x ? x ? 1
2

所以 f ?m? ? m ? m ? 1, m ? ?? 4,???
2

所以

?3 ? f ?m ? 的取值范围是 ? ,?? ? .............................................................................(12 分) ?4 ?


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