广州市流花中学高三文数第三次综合测试卷答案


2011 年流花中学第三次模拟考试文数参考答案

数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 A 2 A 3 C 4 D 5 B 6 B 7 D 8 B 9 0 C 1 D

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11.

2 2

12.

3 3 4?

13. s4 ? s1 ? s2 ? s3
2 2 2

2

14. 2 3

15.1

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查同角三角函数的基本关系、两角差的正弦公式、正弦定理、余弦定理等 知识,考查化归与转化的数数思想方法和运算求解能力) 解: (1)? ?ABC 为锐角三角形,

1 ? sin B ? ……1 分 3

? cos B ? 1 ? sin 2 B ?

2 2 . ……2 分 3

? 在 ?ABC 中,由余弦定理得:
AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos B ……3 分
? 1 3. ……5 分? AC ? ……6 分 3 3 AB AC ? ……7 分 sin C sin B

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理得 得 sin C ?

AB ? sin B 6 6 ……8 分?sin ? A ? B ? ? sin C ……10 分 ? ……12 分 ? AC 3 3

17. (本小题满分 12 分) (本小题主要考查分层抽样、等可能事件、互斥事件的概率等知识,考查或然与必然的数 学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 解: (1)样本容量与总体中的个数比为

6 1 ? ,……2 分 90 15

所以 35 岁以下、35~50 岁、50 岁以上三个年龄段应分别抽取的人数为 3,2,1. ……4 分 (2)设 A1 , A2 , A3 为在 35 岁以下教师中抽得的 3 个教师,B1 , B2 为在 35~50 岁教师中抽 得的 2 个教师, C1 为在 50 岁以上教师中抽得的 1 个教师. ……5 分 从抽取的 6 个教师中随机抽取 2 名有:

?A1 , A2 ?, ?A1 , A3 ?, ?A1 , B1 ?, ?A1 , B2 ?, ?A1 , C1 ?, ? A2 , A3 ?, ? A2 , B1 ?, ?A2 , B2 ?, ? A2 , C1 ?,
1

? A3 , B1 ?, ? A3 , B2 ?, ? A3 , C1 ?, ?B1 , B2 ?, ?B1 , C1 ?, ?B2 , C1 ?共 15 种,……8 分
其中随机抽取的两名教师至少有一个年龄是 35~50 岁的教师的有:

? A1 , B1 ?, ? A1 , B2 ?, ? A2 , B1 ? , ? A2 , B2 ? , ? A3 , B1 ?, ? A3 , B2 ? , ?B1 , B2 ? , ?B1 ,C1 ? , ?B2 ,C1 ?
共9种,……11分 所以:概率为

9 3 ? . ……12分 15 5

18. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间几何体中线面的位置关系,面积与体积,线面夹角等基础知识,考 查数形结合、化归与转化的数学思想方法,以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解 能力)略 19. (本小题满分 14 分) (本小题主要考查圆、椭圆等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想 方法,考查数学探究能力以及运算求解能力)

?c 5 ? ? 3 ?a ? 解: (1)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ?a ? 3 ……3 分 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ? ?b ? 2 ,……4 分 x2 y2 ? 1 .……5 分 ? 所求椭圆方程为 ? 9 4 (2)如图,设 P 点坐标为 ?x0 , y0 ? ,……6 分
若 ?APB ? 90 ,则有 OA ? AP .……7 分
0

即 OA ? 有2 ?

OP ? OA ……8 分
2 2
2 2

x0 ? y 0 ? 4
2 2 2 2

两边平方得 x0 ? y0 ? 8 ……①……9 分

又因为 P?x0 , y0 ? 在椭圆上,所以 4x0 ? 9 y0 ? 36 ……②……10 分 ①,②联立解得 x0 ?
2

36 4 2 , y 0 ? ……11 分 5 5

所以满足条件的有以下四组解

? ? 6 5 ? 6 5 6 5 ? 6 5 ? x0 ? ? x0 ? ? ? x0 ? ? ? x0 ? ? ? ? ? 5 5 5 5 ,? ,? ,? ……13 分 ? ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 ?y ? ? 2 5 ?y ? 2 5 ? 0 ? 0 ? 0 ? 0 5 5 5 5 ? ? ? ? ?6 5 2 5? ?6 5 2 5? ? 6 5 2 5? ? ? ? ? ? 所以,椭圆 C 上存在四个点 ? ? 5 , 5 ? , ? 5 ,? 5 ? , ? ? 5 , 5 ? , ? ? ? ? ? ? ? 6 5 2 5? ?? ? ,分别由这四个点向圆 O 所引的两条切线均互相垂直. ……14 分 ,? ? 5 5 ? ? ?
20. (本小题满分 14 分)
2

(本小题主要考查等比数列、裂项求和、恒成立问题及解不等式等知识,考查化归与转化 的思想方法以及综合运用知识分析问题和解决问题的能力) 解:(1)由 S1 ? 2a1 ? 1, 得a1 ? 1 ,……1 分 由 S2 ? 2a2 ? 1, 得a1 ? a2 ? 2a2 ? 1, 得a2 ? 2 ……2 分

? 数列 ?an ? 是等比数列 ? 数列 ?an ? 的公比 q ?

所以,数列 ?an ? 的通项公式为

a2 ? 2 ……3 分 a1

an ? a1 ? q n?1 ? 2 n?1 ?n ? N ? ? ……4 分 前 n 项和公式为 1 ? 2 n?1 ? 2 Sn ? ? 2 n ? 1?n ? N ? ? .……6 分 1? 2 1 1 (2) bn ? ……7 分 ? n log 2 ? Sn ? 1? ? log 2 ? Sn?1 ? 1? log 2 2 ? log 2 2n?1 1 1 1 ……9 分 ? ? ? ?n ? N? ? n ? n ? 1? n n ? 1
?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ?? ? bn ……10 分 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ……12 分 2 2 3 3 4 n n ?1 n ?n ? N ? ?……14 分 ? n ?1
21. (本小题满分 14 分) (本小题主要考察函数导数及其几何意义、函数的单调性、极值、图象的交点等知识,考 查化归与转化、分类与整合、数形结合的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能 力和运算求解能力) 解:(1) f ??x? ? x 2 ? 2mx,……1 分

f ??? 1? ? 1 ? 2m 1 1 由 1 ? 2 m ? ,……2 分, 解得 m ? .……3 分 3 3 2 (2) f ??x? ? x ? 2mx= x?x ? 2m? 1 3 ①当 m ? 0 时, f ? x ? ? x ,在 ?? ?,??? 上单调递增;……4 分 3
②当 m ? 0 时

x 变化时, f ??x?, f ?x? 的变化状态如下表: x ?? ?,?2m? ? 2m
f ?? x ? f ?x ?
+ 递增 0 极大值

?? 2m,0?
- 递减

0 0 极小值

?0,???
+ 递增

函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ?? ?,?2m? 和 ?0,??? ,单调递减区间是 ?? 2m,0? .……7 分 当m ? 0时
3

x 变化时, f ??x?, f ?x? 的变化状态如下表: x 0 ?? ?,0? ?0,?2m? + 0 - f ?? x ? 递增 极大值 递减 f ?x ?
综上: 当 m ? 0 时, f ?x ? 的单调递增区间是 ?? ?,??? ;

? 2m
0 极小值

?? 2m,???
+ 递增

函数 f ?x ? 的单调递增区间是 ?? ?,0? 和 ?? 2m,??? ,单调递减区间是 ?0,?2m? .……10 分

当 m ? 0 时, f ?x ? 的单调递增区间是 ?? ?,?2m? 和 ?0,??? ,单调递减区间是 ?? 2m,0? ; 当 m ? 0 时, f ?x ? 的单调递增区间是 ?? ?,0? 和 ?? 2m,??? ,单调递减区间是 ?0,?2m? . (3)由题意 f ??? 2? ? 0 ,解得 m ? 1 . 所以, f ? x ? ?

1 3 x ? x 2 ……11 分 3 由(2)知 f ?x ? 在区间 ?? ?,?2? 上递增,在 ?? 2,0? 上递减, ?0,??? 上递增……12 分 4 所以 f ? x ?极大 ? f ?? 2 ? ? , f ?x?极小 ? f ?0? ? 0, ……13 分 3 要使直线 y ? a 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点 4 只需, 0 ? a ? . ……14 分 3

4


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